50 bài tập về rút gọn biểu thức hữu tỉ (có đáp án 2022) – toán 8

Rút gọn biểu thức hữu tỉ I Lý thuyết Biểu thức hữu tỉ là một phân thức hoặc nhiều phân thức được nối với nhau bởi các phép toán cộng, trừ, nhân, chia trên phân thức Biến đổi biểu thức hữu tỉ là bằng c[.]

Rút gọn biểu thức hữu tỉ

I Lý thuyết

- Biểu thức hữu tỉ là một phân thức hoặc nhiều phân thức được nối với nhau bởi các phép toán cộng, trừ, nhân, chia trên phân thức

- Biến đổi biểu thức hữu tỉ là bằng các phép toán cộng, trừ, nhân, chia ta đưa các biểu thức hữu tỉ về phân thức

II Dạng bài tập

Dạng 1: Tìm điều kiện xác định của biểu thức hữu tỉ

Phương pháp giải: Ta tìm điều kiện để tất cả các mẫu thức khác 0

Ví dụ: Tìm x để các biểu thức hữu tỉ sau xác định

a)

2 2

x x 64

x 8 x

b)

2

8 4 x 1 x 1

c)

2 2

x 5x 6 x 3 x 1

Lời giải:

a) Biểu thức A xác định x 8 0

x 0

 





x 8

x 0







Vậy x 0và x8thì biểu thức A xác định

b) Biểu thức B xác định x 1 0

x 1 0

 





x 1

x 1

x 1





     

Vậy x 1thì biểu thức B xác định

c) Biểu thức C xác định

2

x 5x 6 0

x 3 0

x 1 0



  



x 3 x 2 0

x 3

x 1





 



x 2

x 3

x 1







 



Vậy x2;x1;x3 thì biểu thức C xác định

Dạng 2: Biến đổi biểu thức hữu tỉ thành phân thức

Phương pháp giải: Thực hiện theo hai bước

Bước 1: Sử dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia phân thức đã học để biến đổi

Bước 2: Biến đổi cho tới khi được một phân thức mới có dạngA

B

Ví dụ: Biến đổi các biểu thức sau thành phân thức:

a)

1

2

x

A

1

2

x





 với

1

x 0; x

2

b)

12

x 8

x B

6

x 7

x

 



  với x0;x 1;x 6

Lời giải:

a)

1

2

x

A

1

2

x







2x 1

x x

A

2x 1

x x



 



2x 1

x

A

2x 1

x



 



2x 1 2x 1

 

2x 1 x

x 2x 1



 



2x 1 x 2x 1

A

x 2x 1 2x 1

Vậy A 2x 1

2x 1





 với

1

x 0; x

2

b)

12

x 8

x B

6

x 7

x

 



 

2

2

x 8x 12

B

x 7x 6

 

2

2

x 8x 12

x B

x 7x 6

x

 

x 8x 12 x 7x 6

 

2

2

x 8x 12 x

 

 

  

x 2 x 6 x

B

x x 6 x 1

 

x 2

B

x 1



 

 với x0;x 1;x 6

Dạng 3: Thực hiện phép tính với các biểu thức hữu tỉ

Phương pháp giải: Sử dụng kết hợp các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia các phân

thức đại số đã học để biến đổi

Ví dụ 1: Thực hiện phép tính

2x 1 2x 1

1 x 2

 

Lời giải:

2x 1 2x 1

 2   2x 1   2x 1   2x 1 2x 1   

B 4x 1

2x 1 2x 1 2x 1 2x 1 2x 1 2x 1

 2  2x 1  2x 1   2x 1 2x 1  

B 4x 1

2x 1 2x 1

2 2x 1 2x 1 4x 1

B 4x 1

2x 1 2x 1

2

2

4x 3

B 4x 1

4x 1

2

4x 1 4x 3

B

4x 1

 



2

B 4x 3

2

 

Ví dụ 2: Cho biểu thức

 

2

x 2x x 6 108 6x

P

2x 12 x 2x x 6

a) Tìm điều kiện xác định của P

b) Rút gọn P

c) Tìm x để P = 3

2

Lời giải:

a) P có nghĩa

2x 12 0

x 0 2x x 6 0





2x 12

x 0

x 0; x 6

 







x 0

x 6





   



Vậy để P có nghĩa thì x0 và x 6

b)

2

x 2x x 6 108 6x

P

2x 12 x 2x x 6

2

x 2x x 6 108 6x

P

2 x 6 x 2x x 6

2

x x 2x x 6 2 x 6 108 6x P

2x x 6 2x x 6 2x x 6

x 2x 2x 72 108 6x

P

2x x 6 2x x 6 2x x 6

x 2x 2x 72 108 6x

P

2x x 6

 



 

x 2x 2x 72 108 6x

P

2x x 6

 



3 2

x 4x 6x 36

P

2x x 6

 



x 216 4x 6x 36 216

P

2x x 6

 



x 216 4x 6x 180

P

2x x 6

 



2

x 6 x 6x 36 x 6 4x 30 P

2x x 6

 



2

x 6 x 6x 36 4x 30

P

2x x 6

 



2

x 6 x 6x 36 4x 30

P

2x x 6

 



2

x 6 x 2x 6

P

2x x 6

 



2

x 2x 6

P

2x

c) Để P = 3

2

2

x 2x 6 3

2 x 2x 6 2x.3

2

2x 4x 12 6x

2

2x 4x 12 6x 0

2

2x 10x 12 0

 2 

2 x 5x 6 0

2 x 2x 3x 6 0

2 x x 2 3 x 2 0

2 x 2 x 3 0

x 2 0

x 3 0

 



   

x 2 (tm)

x 3 (tm)





  

Vậy để P = 3

2thì x2hoặc x3

III Bài tập vận dụng

Bài 1: Tìm điều kiện xác định của các phân thức sau

a) 3 x 12

x 4x 3x



b)

2

2

x 1

9x 16





c) 2 x y 2

x 4xy 4y



d) 2 x 1

x 6x 9



Bài 2: Chứng minh các phân thức sau luôn xác định với mọi x,y

a) 2 x 3

x 2x 6



b)

3

2

x 1

9x 1





c) 2 x y2

x 2y 1



d)

x 3y

x 1 y 2y 3



Bài 3: Đưa biểu thức sau thành phân thức

a)

2

4 1

x 2 A

2x 1

x 2x 4









với x 2

b) B x

x 1

x 3







với x 3

2

1 3x

9x C

1

3x 9x





  với x 0



Bài 4: Thực hiện phép tính

a)

2

x 2y



x 8x 16 x 8x 16 x 4 x 4

Bài 5: Cho biểu thức

2

2

x 2x x 5 5x 50 A

2x 10 x 2x 10x

a) Tìm điều kiện xác định của A

b) Rút gọn A

c) Tính giá trị của tại điểm x = 1

d) Tìm x để A = 0

Bài 6: Cho biểu thức  2 2 2



a) Tìm điều kiện xác định của B

b) Rút gọn B

c) Tính B khi x = 5

Bài 7: Đưa biểu thức sau thành phân thức

a)

2 7

1 x

x 1 P

7 2

x 1









với x 1; x 5

2

b) Q 1 1

1 2

1 3 x

 





với giả xử mẫu số luôn khác 0

Bài 8: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến

2

2

2

x 1 x M

1

x x 1 x





Bài 9: Cho P 22xy 2

x y



2xy Q

x y





Rút gọn biểu thức A 2PQ 2

P Q



Bài 10: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến

x 49 x 7x x 7x 7 x

7

x 7; x 0; x

2