50 bài tập về phân thức đại số và các tính chất cơ bản của phân thức (có đáp án 2022) – toán 8

Phân thức đại số và các tính chất của phân thức đại số I Lý thuyết 1 Khái niệm phân thức đại số Phân thức đại số (hay gọi là phân thức) là biểu thức có dạng A B với A, B là các đa thức và B 0 A được[.]

Phân thức đại số và các tính chất của phân thức đại số

I Lý thuyết

1 Khái niệm phân thức đại số

Phân thức đại số (hay gọi là phân thức) là biểu thức có dạng A

B với A, B là các đa thức và B0

A được gọi là tử thức (hay tử)

B được gọi là mẫu thức (hay mẫu)

2 Hai phân thức bằng nhau

+ Hai phân thức A

B và

C

D (B, D0) được gọi là bằng nhau nếu A.D = B.C Ta viết:

A C

B = (B, DD 0) nếu A.D = B.C

Chú ý:

- Các tính chất của tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau của phân số cũng đúng cho phân thức

- Các giá trị của biến làm cho mẫu bằng 0 gọi là giá trị làm phân thức vô nghĩa hoặc không xác định

3 Các tính chất cơ bản của phân thức

- Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác 0 thì được phân thức mới bằng phân thức đã cho

A A.M

B = B.M (với A

Blà phân thức; B, M  0)

- Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức cho một nhân tử chung của tử và mẫu

ta được một phân thức mới bằng phân thức đã cho

B = B : N(với N là nhân tử chung của A và B)

4 Quy tắc đổi dấu

- Nếu đổi dấu cả tử và mẫu của một phân thức đã cho thì ta được phân thức mới bằng phân thức ban đầu

−

=

− (với B0)

- Nếu đổi dấu tử hoặc mẫu của phân thức và đồng thời đổi dấu phân thức ta được phân thức mới bằng phân thức đã cho

−

= − = −

− (với B0)

II Các dạng bài tập

Dạng 1: Tìm điều kiện để phân thức có nghĩa

Phương pháp giải: Phân thức A

Bcó nghĩa khi và chỉ khi B0

Ví dụ 1: Tìm điều kiện để các phân thức sau có nghĩa

a) 4x 3

2 x

−

+

b) 5x 4

3x 2

−

−

Lời giải:

a) Phân thức 4x 3

2 x

− + có nghĩa  2 x 0+    − x 2

b) Phân thức 5x 4

3x 2

−

− có nghĩa  3x 2 0−  3x2

2 x 3

 

Ví dụ 2: Tìm điều kiện để các phân thức sau có nghĩa

a) 23x 2

x 5x 6

+

− +

b) 23x 4

2x 7x 3

−

− +

Lời giải:

a) Phân thức 23x 2

x 5x 6

+

− + có nghĩa thì

2

x −5x+6 0

2

(x 3 x)( 2) 0

− 









 





Vậy để phân thức có nghĩa thì x và x 23 

b) Để phân thức 23x 4

2x 7x 3

−

− + có nghĩa thì

2

2x −7x+ 3 0

2

(2x 1 x)( 3) 0

2x 1 0

− 











1

x

2

x 3

 



 

 



Vậy để phân thức có nghĩa thì x 1

2

 và x 3

Dạng 2: Tính giá trị phân thức tại một giá trị của biến

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm điều kiện có nghĩa của phân thức

Bước 2: Kiểm tra giá trị của biến với điều kiện

Bước 3: Tính giá trị phân thức bằng cách thay giá trị của biến vào phân thức rồi thực hiện tính toán biểu thức số

Ví dụ 1: Tính giá trị phân thức 3x 2

5x 6

+ + tại điểm x = 3

Lời giải:

Điều kiện xác định:

5x+6 0

6

x

5

−

 

Thay x = 3 (thỏa mãn điều kiện) vào phân thức ta được

3.3 2 11

5.3 6 21

+ =

+

Vậy giá trị phân thức là 11

21tại x =3

Ví dụ 2: Tính giá trị phân thức 2 x 2

x 6x 8

+

− + tại các điểm x = 2 và x =

6 5

−

Lời giải:

Điều kiện xác định:

2

x −6x+ 8 0

2

(x 2 x)( 4) 0

x 2 0

− 











Với x = 2 (không thỏa mãn điều kiện) nên phân thức không xác định

Với x = 6

5

−

(thỏa mãn điều kiện) thay vào phân thức ta được

2

6

2 5

=

4

5 5

416 104 25

=

Vậy:

Với x = 2 ta không xác định được giá trị của phân thức

Với x = 6

5

−

phân thức có giá trị là 5

104

Dạng 3: Tìm giá trị của biến để phân thức thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp giải: Cho biểu thức bằng với giá trị cho trước Sau đó dùng các

phương pháp tìm x thông thường để giải

Ví dụ 1: Tìm x để phân thức 3x 2

4x 1

+

− có giá trị bằng 2

Lời giải:

Điều kiện xác định:

4x 1 0− 

4x 1

 

1

x

4

 

Ta có: 3x 2 2

4x 1

+ =

−

3x 2 8x 2

 + = −

8x 3x 2 2

 − = +

5x 4

 =

4

x

5

 = (thỏa mãn điều kiện)

Vậy x 4

5

= thì phân thức 3x 2

4x 1

+

− có giá trị là 2

Ví dụ 2: Cho phân thức A =

2 2

x 1 2x 3x 1

−

− + Tìm x để A = 1

Lời giải:

Điều kiện xác định:

2

2x −3x 1 0+ 

2

(2x 1 x 1)( ) 0

2x 1 0

x 1 0

− 











1

x

2

x 1

 



 

 



Để A = 1 thì

2 2

x 1

1 2x 3x 1

− +

2

2

(x 2 x 1)( ) 0

x 1 0

− =





=





Vậy để A = 1 thì x = 2

Dạng 4: Chứng minh phân thức bằng nhau

Phương pháp giải: Hai phân thức A

B và

C

D (B, D0) được gọi là bằng nhau nếu A.D = B.C Ta viết:

A C

B = (B, DD 0) nếu A.D = B.C Chọn một trong bốn cách biến đổi sau

Cách 1: Dùng định nghĩa A C

B = (B, DD 0) nếu A.D = B.C Cách 2: Biến đổi vế trái thành vế phải

Cách 3: Biến đổi vế phải thành vế trái

Cách 4: Biến đổi đồng thời cả hai vế

Ví dụ 1: Chứng minh đẳng thức sau 22x 1 1

2x 3x 2 x 2

−

= + − + với

1

x 2; x

2

 − 

Lời giải:

Đặt

2

2x 1

VT

2x 3x 2

−

=

+ −

1

VP

x 2

=

+

Ta biến đổi vế trái

2

2x 1

VT

2x 3x 2

−

=

+ −

2

2x 1 VT

2x 4x x 2

−

+ − −

VT

2x x 2 x 2

−

+ − +

VT

x 2 2x 1

−

1

x 2

+ (điều phải chứng minh)

Ví dụ 2: Hai phân thức 2 x 4

x 5x 4

−

− + và 2

x 2

x 3x 2

−

− + có bằng nhau không với

x2;x ;4 x 1

Lời giải:

Ta có:

x 5x 4 x 4x x 4

x x 4 x 4 x 1 x 4

x 1

=

− (1)

Ta lại có:

x 3x 2 x 2x x 2

x x 2 x 2 x 1 x 2

1

x 1

=

− (2)

Từ (1) và (2) 2 x 4 2 x 2 1

x 5x 4 x 3x 2 x 1

− + − + − (điều phải chứng minh)

Dạng 5: Tìm phân thức thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp giải: Ta thực hiện theo hai bước

Bước 1: Phân tích tử thức, mẫu thức ở cả hai vế

Bước 2: Triệt tiêu các nhân tử chung và rút ra đa thức cần tìm

Chú ý: Áp dụng tính chất của hai phân thức bằng nhau

A C

A.D B.C B, D 0

Ví dụ 1: Tìm đa thức A trong đẳng thức sau 2 x 1 3A

x 2x 4 x 8

+ + − với x 2

Lời giải:

x 2x 4 x 8

−

Ta có:

x +2x+ =4 x +2x 1 3+ + = x 1+ + 3

Vì ( )2

x 1+  với mọi x nên 0 ( )2

x 1+ +  với mọi x 3 3

2

Nhân cả hai vế với 2

x +2x+ 4 A

x 1

x 2

 − =

−

2

2

Vậy A=x2 −3x+2 với x 2

Ví dụ 2: Tìm đa thức B thỏa mãn đẳng thức sau 2x32 4x2 B

− − với x  2

Lời giải:

2

2

+

2

2

 = (vì x  nên x – 2 2 0)

Vậy B = 2x với x2   2

III Bài tập vận dụng

Bài 1: Tìm điều kiện của các phân thức sau

a) 4x 1

2x 5

−

+

b) 24x 2

2x 3x 1

−

− +

c)

3x 1

x 2

−

−

d) 3 2x2 3

x x x 1

−

− + −

Bài 2: Tính giá trị phân thức

a) 24x 3

2x 3x 1

−

− + với x = 2

b) 3x 1

2x 5

−

− với

1 x 2

=

Bài 3: Tìm các đa thức B trong mỗi trường hợp sau

a) 2x 1 1 2 1

x 3 B x 4x 3

−

=

x ;x 1;x

b)

2 2

B 2x 3x

2x 3 4x 9

+

=

− − với

3 x 2

 

Bài 4: Tính giá trị phân thức

2 2

A

=

− + tại x trong các trường hợp sau:

a) x= 3

b) 2x 1 1− =

c) 4x+ =3 7

Bài 5: Chứng minh các đẳng thức bằng nhau

2

x 3x 2 x 4x 4

x 1 x 2 4 x

=

x 2;x 1

Bài 6: Tìm một cặp đa thức A, B thỏa mãn đẳng thức ( 2 ) ( )

x 1 A x 1 B

x 2x 1 x x 6

=

Với x 1;x  −2;x 3

Bài 7: Cho ba phân thức

2 2

;

− − +

x 2

; x

2

− có bằng nhau không? Vì

sao?

Bài 8: Cho đẳng thức ( ) ( )

2

x 3 A x 1 B

=

− − với x  Tìm cặp số A, B thỏa mãn 3

Bài 9: Tìm đa thức M thỏa mãn mỗi đẳng thức sau:

a)

2 3

+ với x −1;x − 2

b)

.M

+ + với x 3;x − 2

Bài 10: Cho

2 2

B

=

Tính giá trị của B khi x thỏa mãn 2

x −8x 15+ =0