50 bài tập về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của phân thức (có đáp án 2022) – toán 8

Giá trị lớn nhất, Giá trị nhỏ nhất của phân thức I Lý thuyết Cho biểu thức f(x, y, ) M là giá trị lớn nhất của biểu thức f(x, y, ) nếu M thỏa mãn hai điều kiện sau + Với mọi x, y, thỏa mãn điều kiện x[.]

Giá trị lớn nhất, Giá trị nhỏ nhất của phân thức

I Lý thuyết

Cho biểu thức f(x, y, )

- M là giá trị lớn nhất của biểu thức f(x, y, ) nếu M thỏa mãn hai điều kiện sau + Với mọi x, y, thỏa mãn điều kiện xác định thì f(x,y,…) M

+ Tồn tại x ; y 0 0 sao cho f x ; y ,  0 0 M

- m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức f(x, y, ) nếu m thỏa mãn hai điều kiện sau + Với mọi x, y, thỏa mãn điều kiện xác định thì f(x,y,…) m

+ Tồn tại x ; y 0 0 sao cho f x ; y ,  0 0 m

Chú ý:

Với hai số a, b cùng dấu a > b 1 1

 

2

a  m mvới mọi m

2 2

a b 2ab với mọi a, b

II Bài tập vận dụng

Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất của phân thức

Phương pháp giải: Cho phân thức  

 

A x

B x với B x 0 Bước 1: Đánh giá tử thức và mẫu thức để tìm ra giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất ở cả

tử và mẫu

Bước 2: Đánh giá phân thức sao cho  

 

A x

M

B x  Bước 3: Dùng giá trị M vừa tìm được để giải ra x thỏa mãn

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau

a) A 2 3



b)

2

2

B





Lời giải:

a) Điều kiện xác định:

x 6x 13 x 6x  9 4 x3 4

Vì  2

x3 0nên  2

x3  4 4

A xác định với mọi x

2

3

A



2

3 A

 

3 A

x 3 4

 

Ta có:

x3 0

 2

x 3 4 0 4 4

4

x 3 4

3

A

4

 

Dấu “=” xảy ra      x 3 0 x 3

Vậy Amax = 3

4khi x = -3 b) Điều kiện xác định:

B xác định với mọi x

2

2

B





2

B

 



2

B

 



B

2

x 1

B 4

x 1



  



Ta có:

x  0 x   1 1 0và  2

x 1 0

2

x 1

0

x 1





2

x 1

x 1



 Dấu “=” xảy ra khi x 1 0    x 1

Vậy Bmax = 4 khi x = -1

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của C 2 x



  với x 10

Lời giải:

2

x

C



x

C

x 10

 



Đặt y 1 x 1 10

x 10 y

 thay vào C ta được

2

1

10 y C

1

10 10 y



 

 

2

1 10y

y

C

1

y



 

2

1 10y 1

y y



 

2

1 10y

y



 

C 1 10y y 10y y

2 1

C 10 y y

10

C 10 y 2.y

20 20 20

         

   

2

C 10 y

20 400

       

2

C 10 y

20 40

      

Ta có:

2

1

   

2 1

20

     

2

20 40 40 40

        

1

C

40

 

Dấu “=” xảy ra khi y 1

20

 = 0

1

20

        (thỏa mãn điều kiện)

Vậy Cmax = 1

40khi x = 10

Dạng 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức

Phương pháp giải: Cho phân thức  

 

A x

B x vớiB x 0 Bước 1: Đánh giá tử thức và mẫu thức để tìm ra giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất ở cả

tử và mẫu

Bước 2: Đánh giá phân thức sao cho  

 

A x

m

B x  Bước 3: Dùng giá trị m vừa tìm được để giải ra x thỏa mãn

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức sau:

2

2

4x 4x 4 A=

4 x 1

 



Lời giải:

Điều kiện: x 1

2

2

4x 4x 4

A=

4 x 1

 



 

2

3x 6x 3 x 2x 1

A

4 x 1

 



2

3 x 2x 1 x 2x 1

A

4 x 1

 



2

3 x 1 x 1

A

4 x 1

 



3 x 1 x 1

A

4 x 1 4 x 1

2

3 x 1

A

4 2 x 1

     

2

3 x 1

A

4 2x 2



     

Ta có:

2

x 1

0 2x 2



  

2

A

4 2x 2 4





3

A

4

 

Dấu “=” xảy ra

2

x 1

0 2x 2





x 1

2x 2





   x 1 0  x 1 (thỏa mãn điều kiện) Vậy Amin = 3

4khi x = 1

2 2

x y

B

x 2xy y





  với x y; x0; y0

Lời giải:

2 2

x y

B

x 2xy y





2 2

2 x y

B

2 x 2xy y



 

2 2

2

2x 2y

B

2 x y



 



2

x 2xy y x 2xy y

B

2 x y

 



2

x y x y

B

2 x y

 



B

2 x y 2 x y

2

B



2

B

Ta có:

2

0



2

B



Dấu “=” xảy ra

2

0



x y

0 2x 2y





    x y

Vậy Bmin = 1

2 khi x = y và x; y thỏa mãn điều kiện

Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức

2

6

C





 

Lời giải:

Điều kiện:

 2

x 2x 9 x 2x 1 8   x 1 8

Vì  2

x 1 0nên 2

x 1  8 8

C xác định với mọi x

2

6

C





2

6 C



 

 2

6 C

x 1 8



 

 

Ta có:

 2

x 1 0

 2

x 1 8 8

 2

8

x 1 8

 

 2

8

x 1 8

 

 2

4

x 1 8

 

Dấu “=” xảy ra  2

x 1 0

x 1 0

     x 1

Vậy Cmin = 3

4

 khi x = -1

III Bài tập tự luyện

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của phân thức sau: A 2 5



Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức: B 2 3





 

Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức sau:

2

2

A



  với x1

Bài 4: Tìm gá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của phân thức: M 3 4x2

x 1







Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2

2

N

x

Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2

2

E







Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất P 2 2017



Bài 8: Cho biểu thức

2 2

   với x0;x8 Tìm giá trị nhỏ nhất của Q



a) Tìm điều kiện xác định của B

b) Rút gọn B

c) Tìm x để B đạt giá trị lớn nhất



  với x 2;x0 Tìm giá tri lớn nhất của Q