50 bài tập về diện tích tam giác (có đáp án 2022) – toán 8

Diện tích tam giác I Lý thuyết + Tam giác thường Diện tích tam giác bằng nửa tích một cạnh với chiều cao tương ứng S = a 1 a h 2 (đơn vị diện tích) Với a là độ dài cạnh BC; ah là độ dài đường cao tươn[.]

Diện tích tam giác

I Lý thuyết

+ Tam giác thường:

Diện tích tam giác bằng nửa tích một cạnh với chiều cao tương ứng

S = 1a.ha

2 (đơn vị diện tích)

Với a là độ dài cạnh BC; halà độ dài đường cao tương ứng với cạnh BC + Tam giác vuông

Diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = c; AC = b

Diện tích tam giác vuông ABC: S = 1bc

2 (đơn vị diện tích)

Chú ý:

- Nếu hai tam giác có một cạnh bằng nhau thì tỉ số diện tích hai tam giác đó bằng tỉ

số hai đường cao tương ứng với hai cạnh đó

- Nếu hai tam giác có một đường cao bằng nhau thì tỉ số diện tích hai tam giác đó bằng tỉ số các cạnh tương ứng

II Dạng bài tập

Dạng 1: Tính diện tích tam giác và chứng minh hệ thức về diện tích tam giác Phương pháp giải: Sử dụng công thức tính diện tích tam giác

+ Đối với tam giác thường

S = 1a.ha

2 (đơn vị diện tích)

Với a là độ dài cạnh; halà độ dài đường cao tương ứng

+ Đối với tam giác vuông

S = 1bc

2 (đơn vị diện tích)

Với b, c là độ dài hai cạnh góc vuông

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC và đường trung tuyến AM Chứng minh SAMB SAMC

Lời giải:

Ta có: M là trung điểm của BC nên BM = CM

Kẻ AH BC tại H

Xét tam giác ABM có: AH BC AH BM nên AH là đường cao của tam giác ABM

Diện tích tam giác ABM là

AMB

1

2

 (đơn vị diện tích) (1)

Xét tam giác AMC có: AH BC AH CM nên AH là đường cao của tam giác ACM

AMC

1

2

Từ (1) và (2) kết hợp với BM = CM  SAMB= SAMC

Ví dụ 2: Tính diện tích tam giác cân có độ dài cạnh bên là a độ dài cạnh đáy là b

theo a, b

Lời giải:

Giả sử tam giác cân cần tính diện tích là tam giác ABC cân tại A với AB = AC = a;

BC = b

Gọi H là chân đường cao hạ từ A xuống BC Vì tam giác ABC cân tại A nên AH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên H là trung điểm của BC

BH = CH = 1

2BC =

1

2b Xét tam giác AHB vuông tại H ta có:

AB AH BH (định lý Py – ta – go)

2

a AH

2

 

 

2

AH a

4

2

AH a

4

Diện tích tam giác ABC là

1 1 4a b b 4a b

Dạng 2: Sử dụng công thức diện tính tích tam giác để tính độ dài các đoạn thẳng,

chứng minh hệ thức hình học

Phương pháp giải:

+ Từ công thức S 1ah

2

 ta suy ra công thức h 2S

a

 và a 2S

h



a, h là độ dài đáy và chiều cao tương ứng

+ Phát hiện quan hệ diện tích trong hình rồi sử dụng các công thức trên

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân tại A Có BC = 60cm Đường cao AH = 40cm

Tính các đường cao BE và CF của tam giác

Lời giải:

Vì tam giác ABC là tam giác cân tại A nên AH vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến trong tam giác nên H là trung điểm BC

BC 60

2 2

Xét tam giác ABH vuông tại H ta có:

AB AH BH (định lý Py – ta – go)

AB 40 30

2

AB 1600 900

2

AB 2500

AB 50cm

Mà tam giác ABC là tam giác cân

AB AC 50cm

Diện tích tam giác ABC là

2 ABC

S AH.BC 40.60 1200cm

Lại có: SABC 1BE.AC 1BE.50 1200cm2

BE 1200.2 : 50

BE 48cm

Tính toán tương tự CF48cm

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC nhọn Đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H

Chứng minh HD HE HF 1

AD  BE  CF 

Lời giải:

Diện tích tam giác ABC là

ABC

S AD.BC BE.AC CF.AB

Diện tích tam giác BHC là: SBHC 1HD.BC

2



Diện tích tam giác AHC là: SAHC 1HE.AC

2



Diện tích tam giác AHB là: SAHB 1HF.AB

2



Tỉ số diện tích của tam giác BHC và tam giác ABC là:

ABC

1

HD.BC

1

S AD.BC AD

2

Tỉ số diện tích của tam giác AHC và tam giác ABC là:

AHC

ABC

1

HE.AC

1

S BE.AC BE

2

  (2)

Tỉ số diện tích của tam giác AHB và tam giác ABC là:

AHB

ABC

1

HF.AB

1

S CF.AB CF

2

  (3)

Cộng vế với vế của (1); (2); (3) ta được:

S S S  AD BE  CF

ABC

HD HE HF S S S

AD BE CF S

ABC ABC

HD HE HF S

1

AD BE CF S

Dạng 3: Tìm diện tích lớn nhất, nhỏ nhất của một hình

Phương pháp giải: Để tìm diện tích lớn nhất và nhỏ nhất của một hình ta có thể

liên hệ giữa đường vuông góc và đường xiên

Chú ý:

+ Nếu diện tích của một hình luôn lớn hơn hoặc bằng một số m và tồn tại vị trí của hình để diện tích bằng m thì m là diện tích nhỏ nhất của hình

+ Nếu diện tích của một hình luôn nhỏ hơn hoặc bằng một số M và tồn tại vị trí của hình để diện tích bằng M thì M là diện tích lớn nhất của hình

Ví dụ 1: Tìm diện tích lớn nhất của tam giác ABC biết AB = 3cm, BC = 4cm

Vẽ AH vuông góc với BC tại H

Theo quan hệ đường vuông góc và đường xiên ta có:

AHAB

Khi đó diện tích tam giác ABC là

ABC

S AH.BC AB.BC

ABC

S

 lớn nhất khi SABC 1AB.BC

2

 Dấu “=” xảy ra khi AH AB hay H B, tam giác ABC vuông tại B

Diện tích lớn nhất của tam giác ABC là:

2 ABC

S AB.BC 3.4 6cm

Ví dụ 2: Tính diện tích lớn nhất của tam giác vuông ABC với cạnh huyền BC = a

Lời giải:

Đặt AC = b; AB = c

Xét tam giác ABC vuông tại A ta có:

a b c (định lý Py – ta – go)

Áp dụng bất đẳng thức cho hai số b, c ta có:

b c

bc

2





Diện tích tam giác ABC là:

ABC

ABC

b c

S

4





2

ABC

a

S

4

Dấu “=” xảy ra b = c

ABC

  vuông cân tại A

Vậy diện tích lớn nhất của tam giác ABC là

2

a

4 khi tam giác ABC là tam giác vuông cân

III Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến AM, BN, CP cắt nhau tại trọng

tâm G Chứng minh:

a) SAGP SPGBSBGM SMGC SCGN SNGA

b) Các tam giác GAB; GBC và GCA có diện tích bằng nhau

Bài 2: Cho tam giác ABC có cạnh BC = 60cm, đường cao AH; AH = 40cm Gọi D

và E theo thứ tự là trung điểm của AB và AC Tính diện tích tứ giác BDEC

Bài 3: Tính diện tích tam giác đều có cạnh bằng a

Bài 4: Cho tam giác ABC Hãy chỉ ra vị trí điểm M trong tam giác sao cho

MAB MAC MBC

S S S

Bài 5: Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD,

DA Chứng minh:

a) SBMN 1SABC

4



b) SMNPQ 1SABCD

2



Bài 6: Cho tam giác ABC có diện tích 30 cm2 G là trọng tâm tam giác Tính diện tích tam giác BCG

Bài 7: Cho tam gác ABC có AB = AC = 10cm, BC = 12cm Tính độ dài đường cao

BK

Bài 8: Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD và CE Cho biết BC = 10cm,

BD = 9cm, CE = 12cm

a) Chứng minh BD vuông góc với CE

b) Tính diện tích tam giác ABC

Bài 9: Cho tam giác ABC có BC = 6cm Lấy M trên cạnh AC sao cho AM 1AC

3

 Xác định vị trí điểm N trên BC sao cho MN chia tam giác ABC thành hai phần thỏa mãn tứ giác AMNB có diện tích gấp ba lần diện tích MNC

Bài 10: Các hình chữ nhật có độ dài đường chéo là 10cm Hình nào có diện tích

lớn nhất