Diện tích hình thoi I Lý thuyết 1 Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc Tứ giác có hai đường chéo vuông góc có diện tích bằng nửa tích của hai đường chéo 1 2 1 S d d 2 trong đó 1 2d ,d là độ[.]
Trang 1Diện tích hình thoi
I Lý thuyết
1 Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc
Tứ giác có hai đường chéo vuông góc có diện tích bằng nửa tích của hai đường chéo
1 2
1
S d d
2
trong đó d ,d1 2là độ dài hai đường chéo
Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau Khi đó diện tích tứ giác ABCD là: S 1AC.BD
2
2 Diện tích hình thoi
Diện tích hình thoi bằng nửa tích hai đường chéo
1 2
1
S d d
2
trong đó d ,d1 2là độ dài hai đường chéo
Trang 2Cho ABCD là hình thoi, hai đường chéo AC và BD có độ dài là d ,d1 2 Khi đó diện tích hình thoi ABCD là:
1
2
1d d1 2
2
II Dạng bài tập
Dạng 1: Tính diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc
Phương pháp giải:
Bước 1: Chứng minh tứ giác có hai đường chéo vuông góc (nếu đề bài chưa cho) Bước 2: Sử dụng công thức tính diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc
1 2
1
S d d
2
trong đó d ,d1 2là độ dài hai đường chéo
Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD, có AC và BD vuông góc với nhau, AC = 4cm, BD =
6cm Tính diện tứ giác ABCD
Lời giải:
Vì tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau nên diện tích tứ giác ABCD là
2
Ví dụ 2: Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AB = 5cm, CD = 12cm, BD = 8cm,
AC = 15cm
a) Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt CD ở E Tính DBE
Trang 3b) Tính diện tích hình thang ABCD
Lời giải:
a) Đường thẳng qua B song song với AC cắt CD ở E nên BE // AC và CE // AB (do AB // CD)
Xét tứ giác ABEC có:
BE // AC (chứng minh trên)
CE // AB (chứng minh trên)
Do đó tứ giác ABEC là hình bình hành
AB = CE = 5cm; AC = BE = 15cm (tính chất)
Ta có: DE = DC + CE = 12 + 5 = 17cm
Xét tam giác BED có:
2 2
BE 15 225
2 2
BD 8 64
2 2
DE 17 289
Nhận thấy: DE2 BD2 BE2(289 = 64 + 225)
Do đó tam giác BED vuông tại B (định lý Py – ta – go đảo)
b) Vì DBE 90 nên BDBE Mà BE // AC nên BD AC
Trang 4Diện tích hình thang ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau là
2 ABCD
Dạng 2: Tính diện tích hình thoi
Phương pháp giải: Có hai cách tính diện tích hình thoi
Cách 1: Dựa vào công thức tính diện tích theo hai đường chéo vuông góc
Cách 2: Xem hình thoi là một hình bình hành rồi sử dụng công thức tính diện tích hình bình hành
Ví dụ 1: Tính diện tích hình thoi có cạnh bằng 2cm và một trong các góc của nó
bằng 60
Lời giải:
Gọi hình thoi cần tính diện tích là ABCD, có A 60
Vì ABCD là hình thoi nên AB = BC = CD = AD = 2cm
Xét tam giác ABD có:
AB = AD
A 60
Do đó tam giác ABD là tam giác đều (dấu hiệu nhận biết)
AB = AD = BD = 2cm (tính chất)
Trang 5Vì ABCD là hình thoi nên BD vuông góc AC và BD, AC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
Gọi E là giao điểm của AC và BD
E là trung điểm của BD BE = ED = 1cm
Xét tam giác AED vuông tại E
AE ED AD
2 2 2
AE 1 2
2
AE 3
Vì E là trung điểm của ACAC2AE2 32 3cm
Diện tích hình thoi ABCD là:
ABCD
cm
Ví dụ 2: Cho hình thang ABCD cân (AB // CD) có E, N, G, M lần lượt là trung
điểm của AB, BC, CD, DA
a) Tứ giác MENG là hình gì?
b) Cho SABCD 800m2 Tính SMENG?
Lời giải:
a) Vì E là trung điểm của AB, N là trung điểm của BC nên EN là đường trung bình của tam giác ABC
Trang 6EN / /AC
(1) 1
2
Vì M là trung điểm của AD, G là trung điểm của CD nên MG là đường trung bình của tam giác DAC
MG / /AC
(2) 1
2
Từ (1) và (2) MG / /EN
MG EN
Xét tứ giác ENGM có:
MG / /EN
MG EN
tứ giác ENGM là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)
Vì E là trung điểm của AB, M là trung điểm của AD nên EM là đường trung bình của tam giác ADB
1
2
(tính chất đường trung bình trong tam giác)
Mà ABCD là hình thang cân nên AC = BD
Do đó EM = NE (1BD 1AC
Hình bình hành ENGM có EM = NE
Hình bình hành ENGM là hình thoi
b) Vì ABCD là hình thang cân nên AD = BC do đó AM = BN; MD = CN
Xét tam giác MAE và tam giác NBE có:
MAENBE(hai góc ở đáy của hình thang cân)
AE = BE (do E là trung điểm của AB)
Trang 7AM = BN (chứng minh trên)
Do đó MAE NBE(c – g – c)
SMAE SNBE
Vì E là trung điểm của AB nên độ dài đường vuông góc kẻ từ E xuống AD bằng nửa độ dài đường vuông góc kẻ từ B xuống AD Gọi h là độ dài đường vuông góc 1
kẻ từ E xuống AD, h là độ dài đường vuông góc kẻ từ B xuống AD khi đó: 2
2
h = 2h1
Ta có: SMAE 1h AM1
2
ABD 2
1
2
Tỉ số diện tích tam giác MAE và tam giác ABD là
1
2
1
h AM
1
2
MAE EBN ABD
1
2
(doSMAE SNBE)
Chứng minh tương tự ta được: SMDG SGCN 1SBCD
2
Ta có:
ENGM ABCD MAE NBE MDG GNC
S S S S S S
ENGM ABCD MAE NBE MDG GNC
ENGM ABCD ABD BCD
1
2
Trang 8Mà SABCDSABDSBCD
ENGM ABCD ABCD
m
III Bài tập vận dụng
Bài 1: Tính diện tích hình thoi có cạnh 5cm và một trong các góc của nó bằng 30
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) Gọi I là trung điểm của cạnh
BC Qua I kẻ IM vuông góc với AB tại M và IN vuông góc với AC tại N Lấy D đối xứng I qua N
a) Tứ giác ADCI là hình gì?
b) Đường thẳng BN cắt DC tại K Chứng minh: DK 1
DC 3 c) Cho AB = 12cm, BC = 20cm Tính diện tích hình ADCI
Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A, trung tuyến AM, D thuộc tia đối của tia MA
sao cho AD = 3AM Tính diện tích tứ giác ABDC, biết AB = 5cm, BC = 6cm
Bài 4: Cho hình thoi ABCD Chứng minh: AC.BD2AB2
Bài 5: Cho tam giác ABC cân tại A, trung tuyến AM D thuộc tia đối của tia MA
sao cho AD = 3AM Tính diện tích tứ giác ABDC, biết AB = 5cm, BC = 6cm
Bài 6: Tính diện tích hình thoi có cạnh bằng 17cm, tổng hai đường chéo bằng
46cm
Bài 7: Tính cạnh của hình thoi có diện tích bằng 24cm2, tổng hai đường chéo bằng 14cm
Bài 8: Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có AC vuông góc với BD tại O
a) Chứng minh các tam giác OCD, OAB vuông cân
b) Biết AB = 2cm, CD = 8cm, AD = 5cm Tính diện tích hình thang ABCD
Bài 9: Cho hình thoi ABCD có AC = 10cm, BD = 6cm Gọi E, F, G, H theo thứ tự
là trung điểm của AB, BC, CD, DA
a) Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?
b) Tính diện tích hình thoi ABCD
Trang 9c) Tính diện tích tứ giác EFGH
Bài 10: So sánh diện tích của một hình thoi và một hình vuông có cùng chu vi