ly thuyet on tap chuong chi tiet toan lop 8

Ôn tập chương A Lý thuyết 1 Hình hộp chữ nhật 1 1 Hình hộp chữ nhật Định nghĩa Hình hộp chữ nhật là hình không gian có 6 mặt đều là những hình chữ nhật + Hình hộp chữ nhật có 6 mặt, 8 đỉnh, 12 cạnh +[.]

+ Qua ba điểm không thẳng hàng xác định một và chỉ một mặt phẳng

+ Qua hai đường thẳng cắt nhau xác định một và chỉ một mặt phẳng

+ Đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt của một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đó đều thuộc mặt phẳng

Ví dụ 1 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’

+ Các đỉnh: A; B; C… như là các điểm

+ Các cạnh: AD; DD’; AC … như là các đoạn thẳng

+ Mỗi mặt, chẳng hạn như mặt ABCD; CC’D’D… là một phần của mặt phẳng

+ Đường thẳng qua hai điểm A, B của mặt phẳng (ABCD) thì nằm trọn trong mặt

phẳng đó

1.3 Hai đường thẳng song song trong không gian

- Hai đường thẳng a, b gọi là song song với nhau nếu chúng cùng nằm trong một

mặt phẳng và không có điểm chung Kí hiệu a // b

- Hai đường thẳng phân biệt, cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau

- Chú ý: Hai đường thẳng phân biệt trong không gian có thể: Cắt nhau – Song song–

Chéo nhau (không cùng nằm trong một mặt phẳng)

Ví dụ 2 Cho hình hộp chữ nhật ABCD MNPQ

+ Cắt nhau: Chẳng hạn như AD và DQ cắt nhau tại D, chúng cùng nằm trong mặt phẳng (ADQM),…

+ Song song: Chẳng hạn như MN và AB song song với nhau, chúng cùng nằm trong mặt phẳng (ABNM),…

+ Chéo nhau: Chẳng hạn như AN và BD, chúng nằm ở hai mặt phẳng khác nhau

1.4 Đường thẳng song song với mặt phẳng Hai mặt phẳng song song

a) Đường thẳng song song với mặt phẳng

– Một đường thẳng a gọi là song song với một mặt phẳng (P) nếu đường thẳng đó không nằm trong mặt phẳng (P) và song song với một đường thẳng d nằm trong mặt phẳng

Kí hiệu a // (P)

- Nhận xét Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì chúng không có

điểm chung

b) Hai mặt phẳng song song

– Nếu mặt phẳng (Q) chứa hai đường thẳng cắt nhau, cùng song song với mặt phẳng (P) thì mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) Kí hiệu (Q)// (P)

–Nhận xét:

+ Hai mặt phẳng song song với nhau thì không có điểm chung

+ Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có chung một đường thẳng

đi qua điểm chung đó Ta nói hai mặt phẳng này cắt nhau

- Ví dụ 3

Các đường thẳng song song với mặt phẳng như:

BC// mp(A’B’C’D’) vì BC không nằm trong mp(A’B’C’D’) nhưng BC// B’C’ – nằm trong mặt phẳng (A’B’C’D’

Hoặc AD’// (BB’C’C)…

Các mặt phẳng song song với nhau:

Mặt phẳng (ABCD) chứa hai đường thẳng cắt nhau AB và CD, mặt phẳng

(A’B’C’D’) chứa hai đường thẳng cắt nhau A’B’ và C’D’ Hơn nữa, AB// A’B’;

CD // C’D’ nên mp(ABCD)// mp(A’B’C’D’)

Ngoài ra, ta còn có mp(AA’D’D) // mp(BB’C’C)…

2 Thể tích của hình hộp chữ nhật

2.1 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Hai mặt phẳng vuông góc

a) Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

- Đường thẳng d gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng (P) Kí hiệud⊥mp(P)

- Nhận xét: Nếu một đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) tại điểm A thì nó

vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong (P) và đi qua điểm A

A

- Ví dụ 4 Đường thẳng BC vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau CD và CP

Ví dụ 6 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = 4cm; AD = 6cm; AA’ =

5cm Thể tích hình hộp chữ nhật đã cho là

V = 4.6.5 = 120 cm3

3 Hình lăng trụ đứng

3.1 Hình lăng trụ đứng

Hình vẽ dưới đây gọi là lăng trụ đứng

Trong hình lăng trụ đứng này:

+ A; B; C; D; A’; B’; C’; D’ là các đỉnh

+ ADD’A’; BCC’B’, là những hình chữ nhật, gọi là các mặt bên

+ AA’; BB’; CC’; DD’ song song với nhau và bằng nhau, chúng được gọi là các cạnh bên

+ Hai mặt ABCD và A’B’C’D’ là hai đáy Hình lăng trụ trên có hai đáy là tứ giác nên gọi là lặng trụ tứ giác, kí hiệu : ABCD A’B’C’D’

Chú ý:

+ Hai đáy là hai đa giác bằng nhau và nằm trên hai mặt phẳng song song

+ Các cạnh bên song song, bằng nhau và vuông góc với hai mặt phẳng đáy Độ dài cạnh bên được gọi chiều cao của hình lăng trụ đứng

+ Các mặt bên là những hình chữ nhật và vuông góc với hai mặt phẳng đáy

+ Hình hộp chữ nhật, hình lập phương là những hình lăng trụ đứng

+ Hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp đứng

- Ví dụ 7 Cho hình lăng trụ đứng sau:

- Hai mặt đáy ABC và A’B’C’ là hai tam giác

bằng nhau (nằm trong hai mặt phẳng song song)

- Các mặt bên ABB’A’; ACC’A’; BCC’B’ là các hình

chữ nhật

- Chú ý:

+ BCC’B’ là một hình chữ nhật, khi vẽ nó trên mặt phẳng, ta thường vẽ thành hình bình hành

+ Các cạnh song song vẽ thành các đoạn thẳng song song

+ Các cạnh vuông góc có thể không vẽ thành các đoạn thẳng vuông góc ( BB’ và

BC chẳng hạn)

4 Diện tích xung quanh của hình lăng trụ

4.1 Công thức tính diện tích xung quanh

Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng bằng chu vi đáy nhân với chiều cao:

Sxq = 2p.h (p: nửa chu vi đáy, h: chiều cao)

Diện tích toàn phần của hình lăng trụ đứng bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích hai đáy

Stp = Sxq + S2day

Ví dụ 8 Cho hình lăng trụ đứng có đáy là lục giác đều cạnh 6cm, chiều cao lăng trụ là

4cm Tính diện tích xung quanh của hình lăng trụ?

Thể tích của hình lăng trụ đứng bằng diện tích đáy nhân với chiều cao:

V = S.h (S: diện tích đáy, h: chiều cao)

này gọi là đỉnh của hình chóp

- Đường thẳng đi qua đỉnh và vuông góc với mặt phẳng đáy gọi là đường cao

6.2 Hình chóp đều

- Định nghĩa: Hình chóp đều là hình chóp có đáy là một đa giác đều, các mặt bên là

những tam giác cân bằng nhau có chung đỉnh ( là đỉnh của hình chóp)

+ Chân đường cao của hình chóp đều là tâm của đường tròn đi qua các đỉnh của mặt đáy

+ Đường cao vẽ từ đỉnh của mỗi mặt bên của hình chóp đều được gọi là trung đoạn

của hình chóp đó

6.3 Hình chóp cụt đều

- Cắt hình chóp đều bởi một mặt phẳng song song với đáy Phần hình chóp nằm giữa

mặt phẳng đó và mặt đáy của hình chóp gọi là hình chóp cụt đều

- Nhận xét: Mỗi mặt bên của hình chóp cụt đều là một hình thang cân

Hình trên có hình chóp cụt đều là ABCD.A’B’C’D’

7 Diện tích xung quanh của hình chóp đều

7.1 Công thức tính diện tích xung quanh của hình chop đều

- Diện tích xung quanh của hình chóp đều bằng tích của nửa chu vi đáy với trung đoạn:

Sxq = p.d (trong đó p: nửa chu vi đáy, d: trung đoạn)

- Diện tích toàn phần của hình chóp

Diện tích toàn phần của hình chóp bằng tổng của diện tích xung quanh và diện tích đáy:

Stp = Sxq + S (trong đó S: diện tích đáy)

- Ví dụ 10 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh

đáy là 3cm, chiều cao 5cm

a) Tính diện tích xung quanh của hình chóp

b) Tính diện tích toàn phần của hình chóp

Lời giải:

a) Ta có ABCD là hình vuông, khi đó nửa chu vi bằng:

Xét tam giác ACD, có:

O là trung điểm của AC

M là trung điểm của CD

Suy ra OM là đường trung bình của tam giác ACD

2 xq

109

S p.d p.SM 6 3 109 cm

b) Diện tích đáy là: S = 32 = 9 cm2

+ Diện tích toàn phần của hình chóp đều là

= (trong đó S: diện tích đáy, h: chiều cao)

Ví dụ 11 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh

đáy là 4cm, chiều cao 6cm Tính thể tích của hình chóp

Lời giải:

Diện tích đáy của hình chóp là: S = 42 = 16cm2

Thể tích của hình chóp đều là

3 ABCD

a) Đường thẳng BC song song với mặt phẳng nào?

b) Đường thẳng DH song song với mặt phẳng nào?

Lời giải:

a) Ta có: BC // mp(EFGH) vì BC// FH trong đó FH nằm trong mp(EFGH) (Ngoài ra BC // mp(AEHD) vì BC // AD trong AD nằm trong mp(AEHD)) b) Ta có: DH // mp(ABFE) vì DH // BE trong đó BE nằm trong mp(ABFE) (Ngoài ra DH // mp(BCGF) vì DH // CG trong đó CG nằm trong mp(BCGF))

Bài 2 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ Có bao nhiêu đường thẳng song

song với BC’?

Lời giải:

Ta có: AB // C’D’ ( vì cùng // CD) và AB = C’D’ ( = CD)

Suy ra tứ giác ABC’D’ là hình bình hành

Suy ra: BC’// AD’

Vậy có một đường thẳng song song với đường thẳng BC’

Bài 3 Cho hình hộp chữ nhật ABCD MNPQ có DC = 5cm; AD = 4cm; AM =

3cm Tính độ dài các cạnh DP và DM

Lời giải:

Vì AMQD là hình chữ nhật nên AM = DQ = 3cm

Vì DCPQ là hình chữ nhật nên tam giác DCQ là tam giác vuông tại D

Áp dụng định lí Py ta go vào tam giác DCQ ta có:

CQ2 = DC2 + DQ2 = 52 + 32 = 34 nên CQ= 34 cm

Theo tính chất hình chữ nhật ta có: DP = CQ= 34cm

Vì AMQD là hình chữ nhật nên tam giác ADM vuông tại A

Áp dụng định lí pyta go vào tam giác ADM có:

Bài 8 Cho hình hộp chữ nhật ABCD MNPQ có AB = 6cm; BC = 8cm và thể tích

Gọi a là độ dài cạnh của hình lập phương

Thể tích của hình lập phương là;

Bài 10 Cho một hình hộp chữ nhật có các kích thước tỉ lệ với 3; 4; 5 và thể tích

của hình hộp là 60cm3 Khi đó, kích thước lớn nhất của hình hộp là:

Lời giải:

Gọi kích thước của hình hộp chữ nhật đã cho là a, b, c

Vì các kích thước tỉ lệ với 3; 4; 5 nên:

Vậy cạnh lớn nhất của hình hộp là 5cm

Bài 11 Diện tích toàn phần của hình lập phương l50 cm2 Tính thể tích của nó?

Lời giải:

Hình lập phương có 6 mặt, diện tích mỗi mặt là;

150 : 6 = 25 cm2

Độ dài mỗi cạnh là: 25 =5 cm

Thể tích của hình lập phương là V = 53 = 125 cm3

Bài 12 Cho hình lăng trụ ngũ giác ABCDE.A’B’C’D’E’

a) Các mặt bên là mặt ABB’A’; mặt BCC’B’; mặt CDD’C’; mặt DEE’D’; mặt AEE’A’

b) Tên các đỉnh là A; B; C; D; E; A’; B’; C’; D’ và E’

c) Hai mặt đáy là mặt ABCDE và mặt A’B’C’D’E’

d) Tên các cạnh song song và bằng nhau

+ Các cạnh AA’; BB’; CC’; DD’ và EE’ là các cạnh bên song song và bằng nhau + AB song song và bằng A’B’

+ BC song song và bằng B’C’

+ CD song song và bằng C’D’

+ DE song song và bằng D’E’

+ AE song song và bằng A’E’

Bài 13 Cho hình lăng trụ đứng tứ giác ABCD A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình

bình hành

a) Kể tên các đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD)

b) Hình này có bao nhiêu cạnh bên?

c) Kể tên các cạnh đáy?

d) Những cặp mặt nào vuông góc với nhau

Lời giải:

a) Các đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) là AA’; BB’; CC’ và DD’ b) Hình này có 4 cạnh bên là: AA’; BB’; CC’ và DD’

c) Các cạnh đáy là AB; BC; CD; DA; A’B’; B’C’; C’D’ và D’A’

d) Những cặp mặt vuông góc với nhau:

+ Mặt (ABB’A’) và (ABCD) hoặc mặt (ABB’A’) và (A’B’C’D’)

+ Mặt ( BCC’B’) và (ABCD) hoặc mặt (BCC’B’) và (A’B’C’D’)

+ Mặt (CDD’C’) và (ABCD) hoặc mặt (CDD’C’) và (A’B’C’D’)

+ Mặt (DAA’D’) và (ABCD) hoặc mặt (DAA’D’) và (A’B’C’D’)

Bài 14 Cho hình lăng trụ đứng ABCD.MNPQ có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB

= 6cm; BC = 4cm, chiều cao h = 3cm Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình lăng trụ đứng là?

Lời giải:

Ta có nửa chu vi của đáy là: p = AB + BC = 6 + 4 = 10 cm

Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng là:

Sxq = 2ph = 2 10.3 = 60cm2

Diện tích 1 đáy là: S = AB BC =6.4 = 24 cm2

Diện tích toàn phần của hình lăng trụ đứng là:

Stp = 60+ 2.24 = 108 cm2

Bài 15 Cho hình lăng trụ đứng đáy là tam giác có độ dài ba cạnh đáy là 4 cm, 6cm

và 8cm Biết diện tích xung quanh bằng 90cm2 Tính chiều cao của hình lăng trụ?

Lời giải:

Chu vi đáy là: P = 4 + 6+ 8 = 18cm

Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng

Sxq = P.h nên chiều cao:

Vậy chiều cao của hình trụ là 5cm

Bài 16 Tính chiều cao của hình lăng trụ đứng ABCD.EFGH, biết rằng đáy ABCD là

hình thoi có các đường chéo AC = 10cm; BD = 24cm và diện tích toàn phần bằng

Vì đáy ABCD là hình thoi nên AC vuông góc với BD tại

trung điểm O (tính chất về đường chéo của hình thoi)

Bài 17 Cho hình lăng trụ đứng ABC.MNP có đáy là tam giác ABC vuông tại A có

AB = 6cm; AC = 8cm Hình lăng trụ có chiều cao h = 4cm Thể tích của hình lăng trụ đó là?

Lời giải:

Ta có diện tích đáy ABC là:

2 ABC

V S h 24.4 96cm

Bài 18 Cho hình lăng trụ đứng ABCD.MNPQ có đáy hình thang AB // CD và AB =

6cm; CD = 10 cm và chiều cao của hình thang là 4cm, chiều cao của hình lăng trụ là: 4cm Tính thể tích của hình lăng trụ?

Gọi I là trung điểm của AC là AI = IC = 4

Áp dụng định lí Py ta go vào tam giác vuông BCI có:

Bài 20 Hình chóp lục giác đều có :

a) Đáy là hình gì?

b) Các mặt bên có đặc điểm gì?

c) Tìm số cạnh đáy, số cạnh và số mặt bên của hình chóp đã cho?

Lời giải:

a) Đáy của hình chóp đã cho là lục giác đều

b) Các mặt bên là các tam giác cân, bằng nhau và có chung đỉnh c) Số cạnh đáy là 6 cạnh

d) Chiều cao của hình chóp là SH

Bài 22 Cho hình chóp có tất cả 14 cạnh Hỏi đáy của hình chóp là hình gì?

Lời giải:

Đối với hình chóp thì số cạnh bên bằng số cạnh đáy Gọi là n

Suy ra, tổng số cạnh của hình chóp là n + n = 2n

Theo đầu bài: 2n = 14 nên n = 7

Suy ra, đáy là đa giác có 7 cạnh nên đáy của hình chóp gọi là ngũ giác

Bài 23 Cho hình chóp tứ giác đều có các mặt bên là tam giác đều cạnh 6cm Tính

diện tích toàn phần của hình chóp?

6 3

2

Diện tích xung quanh là Sxq =p.d 12.3 3= =36 3cm2

Diện tích đáy là; 62 = 36cm2

Diện tích toàn phần là: Stp =36 3+36 cm2

Bài 24 Một hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh bên là 5cm và đáy là

hình vuông cạnh 8cm.Tính diện tích xung quanh của hình chóp?

Gọi H là trung điểm của CD, suy ra: CH =DH = 4cm

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông SHC có:

SH2 = SC2 – CH2 = 52 – 42 = 9 nên SH = 3cm

Diện tích xung quanh của hình chóp là;

Sxq= p SH = 16 3 = 48 cm2

Bài 25 Một hình chóp đều có độ dài cạnh bên là 13cm, đáy là tam giác đều ABC

Biết độ dài trung đoạn bằng 12 cm Tính diện tích xung quanh của hình chóp

Lời giải:

Gọi M là trung điểm của BC

Theo giả thiết ta có: SM = 12 cm; SC = 13cm

Áp dụng định lí Pyta go vào tam giác vuông SMC có:

MC2 = SC2 – SM2 = 132 – 122 = 25

Suy ra: MC = 5cm

Vì M là trung điểm BC nên BC = 2MC = 10cm

Vì đáy là tam giác đều nên AB = BC= CA = 10cm

Nửa chu vi đáy là p AB BC CA 15cm

2

Diện tích xung quanh là: Sxq = p.d = 15 12 = 180cm2

Bài 26.Cho hình chóp S.MNPQ có đáy là hình chữ nhật và MN = 3cm; NP = 4cm Biết thể tích của hình chóp S.MNPQ bằng 48cm3 Tính độ dài đường cao của hình chóp?

1 3V 3.48

Bài 27 Một hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên SA = 5cm và độ dài cạnh

đáy là 3 2cm Tính thể tích của hình chóp tứ giác đều

Lời giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông ABC có;

Thể tích của hình chóp đều là;

Gọi độ dài cạnh đáy là a

Do đáy là tam giác đều nên diện tích đáy là

2

2 d

a 3

4

=Suy ra: