Nguyễn Thiên Hương Trường THCS Tứ Trưng 1 SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THANH HÓA LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2021 2022 MÔN TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài 150 phút Ngày thi 26/12[.]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
THANH HÓA LỚP 9_THCS NĂM HỌC 2021-2022
MÔN TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút
Ngày thi 26/12/2021 Thời gian làm bài :150 phút
Tên : Trương Quang An Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng
Ngãi.Điện thoại : 0708127776
Câu I: ( 4,0 điểm)
1.Rút gọn biểu thức
3
2
P
với x 0,y 0 ,x 4y y, 1
2.Cho a, b, c là các số thực dương thỏa : 2 2 2
a b c abc
Pa b c b a c c b a abc
Câu II: ( 4,0 điểm)
3x 6x 6 3 (2 x) (7x 19) 2 x
2.Giải hệ phương trình
2 2
2 2
2 4
2 6
1
x x
x x
Câu III: ( 4,0 điểm)
a 2.Cho ba số tự nhiên a, b, c thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: a – b là số nguyên tố và 3c2
= ab + bc + ca Chứng minh rằng 8c + 1 là số chính phương
Câu IV: ( 6,0 điểm) Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB và C thay đổi trên đó (C
khác A,B).Trên cùng 1 nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến Ax
,By.Tiếp tuyến tại C của đường tròn cắt Ax,By tại D,E.Gọi I là giao điểm AE,DB và CI cắt AB tại H
1.Chứng minh CH//BE và I là trung điểm CH
2.Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc AB tại K.Chứng minh KA.KB=CH.CO 3.Qua C vẽ đường thẳng song song AB cắt By tại F.Gọi M là giao điểm AF và BC.Xác định vị trí C trên nửa đường tròn (O;R) sao cho tam giác ABM có diện tích lớn nhất.Tính diện tích lớn nhất đó theo R
Câu V: ( 2,0 điểm) Cho a,b là các số thực dương Chứng minh
Trang 2Từ (1) và (2) => b + c < 2c => b < c (3)
Ta lại có (a + c) – (b + c) = a – b là số nguyên tố
=> Hoặc a – b ƯC(a + c, b + c) hoặc (a + c, b + c) = 1
* Nếu a – b = p ƯC(a + c, b + c) => a + c = p.k và b + c = p.h (k, h N)
=> pk – ph = a – b = p => k – h = 1 (vì p 0) => k = h + 1
Khi đó (1) trở thành (2c)2
= p2kh = p2k(k + 1) => k(k + 1) là số chính phương
Mà k và k + 1 là hai số tự nhiên liên tiếp
=> k = 0 => b + c = pk = 0 (mâu thuẫn với (3))
* Nếu (a + c, b + c) = 1
Từ (1) => (2c)2
= (a + c)(b + c)
Đặt a + c = m2
và b + c = n2 (m, n N)
=> m2 – n2 = (m – n)(m + n) = a – b là số nguyên tố
Mà m – n < m + n => m – n = 1 và m + n = a – b
Suy ra (2c)2 = (b + c)(c + a) = (mn)2 = (m – 1)2m2
=> 2c = m(m – 1)
Khi đó 8c + 1 = 4m(m – 1) + 1 = (2m – 1)2
là số chính phương
Vậy 8c + 1 là số chính phương
Câu 1 (3 điểm): Cho a, b, c là các số thực dương thỏa : 2 2 2
a b c abc
Pa b c b a c c b a abc
Lời giải
Theo bài ra: 2 2 2
a b c abc
a abc b c b abc c a c abc b a
Ta được :
Pa b c b a c c b a abc
= a 1 c b b c b 1 c a a c c 1 a b a b abc 2020
= a a 2abc b c b b 2abc a c c c 2abc a b abc 2020
2 2 2
= a a bc b b ac c c ab abc 2020
a(a+bc)+b(b+ac) + c(c+ab) abc 2020 (a, b, c >0)
2 2 2
a b c abc