Hä vµ tªn Lu TuÊn NghÜa Trêng PTTHCS ChÊt lîng cao H¶i HËu 1 Tªn s¸ng kiÕn Ph¬ng ph¸p gi¶i mét sè bµi to¸n chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi 2 Hä vµ tªn Lu TuÊn NghÜa 3 Tr×nh ®é chuyªn m«n §¹i häc To¸n[.]
Trang 11 Tên sáng kiến:
Phơng pháp giải một số bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối.
2 Họ và tên: Lu Tuấn Nghĩa
3 Trình độ chuyên môn: Đại học Toán
4 Nơi công tác: Trờng PTTHCS Chất lợng cao Hải Hậu
5 Đơn vị áp dụng sáng kiến:
HS lớp 7 Trờng PTTHCS Chất lợng cao Hải Hậu
6 Giải pháp:
Điều kiện, hoàn cảnh tạo ra sáng kiến
Toán học là một môn khoa học cơ bản, có liên quan đến nhiều nghành, nhiều lĩnh vực khác nhau Các thành tựu của toán học luôn góp phần to lớn vào việc cải tạo tự nhiên, đem lại lợi ích phục vụ cho cuộc sống của loài ngời ngày một tốt đẹp hơn
Dạy học toán là nhằm trang bị cho học sinh một hệ thống tri thức khoa học phổ thông cơ bản tạo điều kiện cho các em đợc hình thành và phát triển các phẩm chất, năng lực trí tuệ, đồng thời trang bị cho các em một hệ thống tri thức đảm bảo đủ để nghiên cứu và khám phá thế giới xung quanh, góp phần cải tạo thế giới, cải tạo thiên nhiên mang lại cuộc sống ấm
no hạnh phúc cho mọi ngời
Trong quá trình dạy học toán, đặc biệt là dạy các vấn đề toán học có
Trang 2liên quan đến phần giá trị tuyệt đối cho học sinh, bản thân tôi thấy rằng,
đứng trớc những vấn đề toán học nêu trên học sinh thờng lúng túng, đôi khi
có phần e ngại, vì đây là một phạm trù kiến thức tơng đối trừu tợng và phức tạp Thực tế cho thấy, những vấn đề toán học có liên quan đến giá trị tuyệt
đối lại có ứng dụng rất rộng rãi, đặc biệt là các u thế trong việc rèn luyện các phẩm chất và năng lực toán học cho học sinh Với những lí do nêu trên tôi quyết định đisâuvào nghiên cứu chuyên đề:
“ Phơng pháp giải một số bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối”
nhằm giúp các em hiểu rõ hơn, đặc biệt là giúp cho các em nắm vững, vận dụng linh hoạt các phơng pháp giải một số dạng bài tập có chứa dấu giá trị tuyệt đối
các giải pháp thực hiện
I một số vấn đề cơ bản
1 Định nghĩa
Giá trị tuyệt đối của một số thực x là khoảng cách từ điểm x đến điểm 0 trên trục số, kí hiệu x , đợc xác định nh sau:
ếu x 0
-x nếu x < 0
x n
x
Nhận xét:
* Giá trị tuyệt đối của một số thực x thực chất là một ánh xạ
f :
* Với mọi số thực x ta luôn biểu diễn x thành tổng của số thực không âm và
số thực không dơng, nghĩa là:
* Với f(x) là một biểu thức tuỳ ý ta cũng có:
( ) ( ) ếu f(x ) 0
-f(x) nếu f(x )< 0
f x n
2 Tính chất :
Trang 32 2
2
2)
7)
8)
9)
10) ếu , 0 ì
ếu , 0 ì
x x x x x x
xy x y
x x
x x
N x y th x y x y
N x y th x y x y
3 Một số định lí về giá trị tuyệt đối:
3.1) Định lí 1
Nếu x, y là hai số thực thì: x y x y
Chứng minh :
Ta có:
ậy
Dấu “ = ” xảy ra xy = 0
3.2) Định lí 2.
Nếu x, y là hai số thực thì: x y x y x y
Chứng minh:
2
( Điều này luôn đúng) Dấu bằng xảy ra xy 0
x y xy x y
x y xy x y
xy xy xy
II Biến đổi các biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
1 Mục đích biến đổi
Biến đổi các biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối là nhằm thay đổi chúng bằng những biểu thức tơng đơng không chứa giá trị tuyệt đối, nói cách khác
là nhằm loại trừ các dấu giá trị tuyệt đối khỏi các biểu thức để có thể tiến hành các phép tính đại số quen biết Thông thờng, ta sẽ đợc các biểu thức khác nhau ( không chứa giá trị tuyệt đối ) trong những khoảng khác nhau
2 Phơng pháp biến đổi
Muốn biến đổi các biểu thức có chứa giá trị tuyệt đối thì phải căn cứ vào:
Trang 4a) Định nghĩa giá trị tuyệt đối, tính chất và định lí đã nêu ở trên.
b) Quy tắc về dấu của nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai nh sau:
* Nhị thức bậc nhất ax + b ( a 0) cùng dấu với a khi x b
a
và trái dấu với
a khi x b
a
Thật vậy: Gọi x0 là nghiệm của nhị thức ax + b thì x0 = b
a
Xét a x b x b x x0
a x + b
a x + b
a
a
* Tam thức bậc hai ax2 + bx + c ( a 0 ) trái dấu với a trong khoảng giữa hai nghiệm ( nếu có ), cùng dấu với a trong mọi trờng hợp khác
3 Bài tập ví dụ
Ví dụ 1 Cho x, y là hai số thực; x, y 0; x y Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào x và y: P xy x y x y
Giải Xét 2 trờng hợp: x và y cùng dấu ( xy > 0); x và y trái dấu ( xy < 0)
*) xy > 0 xy xy xy 1
xy
-) x và y cùng dơng: P = 1 + x y 1 1 1
x y
-) x và y cùng âm: P = 1 + x y 1 1 1
x y
*) xy < 0 xy xy xy 1
xy
-) x > 0; y < 0 x y 0 x y x y x y 1
x y
P = - 1 + x y 1 1 1 1.2 1
x y
-) x < 0; y >0 x y 0 x y (x y) x y 1
x y
P = - 1 + x y 1 1 1 1 1 1 1
x y
Kết luận: Trong mọi trờng hợp ta đều có: P = 1
Nhận xét: Trong lời giải trên ta đã sử dụng cách xác định giá trị tuyệt đối
Trang 5của một số: ếu x 0
-x nếu x < 0
x n
để tính giá trị của biểu thức P
Ví dụ 2. Rút gọn biểu thức A3 2 x 1 x 5
Giải
-x+5 nếu x 5< 0 x <5
Xét hai trờng hợp ứng với hai khoảng giá trị của biến x:
a) Nếu x 5 thì A = 3(2x – 1 ) – ( x – 5 ) = 5x + 2
b) Nếu x 5 thì A = 3(2x – 1 ) – ( - x + 5 ) = 7x – 8
Ví dụ 3 Rút gọn biểu thức B x 2 x 3
Giải
Ta có
-x+2 nếu x 2< 0 x < 2 -x+3 nếu x 3< 0 x <3
Xét 3 trờng hợp ứng với ba khoảng giá trị của biến x:
a) Nếu x < 2 thì B = (2 – x ) – ( 3 – x ) = -1
b) Nếu 2 x 3 thì B = (x – 2) – (3 – x ) = 2x – 5
c) Nếu x > 3 thì B = (x – 2) – (x – 3 ) = 1
Nhận xét: Giá trị tuyệt đối của một biểu thức bằng chính nó ( nếu biểu thức không âm ) hoặc bằng biểu thức đối của nó ( nếu biểu thức âm ) Vì thế khi khử dấu giá trị tuyệt đối của một biểu thức, cần xét giá trị của biến làm cho biểu thức dơng hay âm Dấu của các biểu thức thờng đợc viết trong bảng xét dấu, chẳng hạn đối với bài toán trên ta có bảng xét dấu nh sau:
III giải phơng trình bậc nhất chứa dấu giá trị tuyệt đối
Phơng pháp chung để giải phơng trình bậc nhất chứa dấu giá trị tuyệt
đối là biến đổi phơng trình đó thành một phơng trình mới tơng đơng không còn chứa dấu giá trị tuyệt đối Bằng cách xét các khoảng giá trị của biến để lập bảng xét dấu rồi khử dấu giá trị tuyệt đối.
Ví dụ 4: Tìm x biết rằng x 1 x 32x 1 (1)
Nhận xét: Nh trên chúng ta đã biến đổi đợc biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối thành các biểu thức không chứa dấu giá trị tuyệt đối Vậy ta sẽ biến đổi biểu thức ở vế trái của đẳng thức trên Từ đó sẽ tìm đợc x Giải Xét x – 1 = 0 x = 1; x – 1 < 0 x < 1; x – 1 > 0 x > 1 x- 3 = 0 x = 3; x – 3 < 0 x < 3; x – 3 > 0 x > 3 Ta có bảng xét dấu các đa thức x- 1 và x- 3 dới đây: Xét khoảng x < 1 ta có: (1) (1 – x ) + ( 3 – x ) = 2x – 1 x 2 3
x – 2 - 0 + +
x – 3 - - 0 +
x 1 3
x – 1 - 0 + +
x – 3 - - 0 +
Trang 6 -2x + 4 = 2x – 1 x = 5
4 (giá trị này không thuộc khoảng đang xét)
Xét khoảng 1 x 3 ta có:
(1) (x – 1 ) + ( 3 – x ) = 2x – 1
2 = 2x – 1
x = 3
2 ( giá trị này thuộc khoảng đang xét) Xét khoảng x > 3 ta có: (1) (x – 1 ) + (x – 3 ) = 2x – 1
- 4 = -1 ( Vô lí)
Kết luận: Vậy x = 3
2
Nh vậy trong lời giải trên chúng ta đã dùng phơng pháp lập bảng xét dấu Sau đây ta xét một số dạng đặc biệt Trong những dạng này, để tìm x ngoài phơng pháp chung đã nêu ở trên ta còn có thể giải bằng cách khác đơn giản hơn
Dạng 1 f x a ( a là hằng số dơng)
Ta lần lợt xét f x a& f x a
Mỗi lần tìm đợc một giá trị của x ta đợc 1 đáp số
Ví dụ 5: Tìm x biết: 2x 15
Giải
Ta có: 2x 15 2 1 5 3
Vậy x1 = 3; x2 = -2
Dạng 2 f x g x
Ta phải tìm x thoả mãn cả hai điều kiện
g x
f x g x ho f x g x
Ví dụ 6: Tìm x biết rằng: 3x1 2 3x4
Giải
Ta có 3x1 2 3x4 3x1 3x2
Trang 72
6 1
6 3
x
x
x x
x x
x
Kết luận: Vậy 1
6
x
Dạng 3. f x g x 0 hay f x g x
Ta phải tìm x thoả mãn một trong hai điều kiện
f x g x ho f x g x
Ví dụ 7: Tìm x biết: 2x 20082008x 2
Giải
Ta có
2 2008 2008 2
Kết luận :Vậy x1= -1; x2 = 1
Dạng 4. f x g x 0
Ta phải tìm x thoả mãn cả hai điều kiện: f x 0 &g x 0
x x x x
Giải
2
2 2
3
x
Kết luận: Vậy x = 3.
Chú ý: Trong một số bài, ngoài những cách giải nh trên ta còn có thể
giải nhờ những nhận xét đặc biệt
2
x x x x (*)
Trang 8
1
2 1
2 1
2
1
2 1
ừ đó tìm đ ợc x =3 ả mãn
2 1
ậy x = 3
2
V
Nh vậy trong lời giải trên ta đã sử dụng kiến thức f x 0 x và
f x f x nếu f x 0 để biến đổi biểu thức chứa giá trị tuyệt đối, từ
đó tìm đợc x Và lời giải này chắc chắn sẽ ngắn gọn hơn cách lập bảng xét dấu.
2 2
x y xy x y x x x
Giải
2 2
2
2
2
2
2
2
ó :
đó *
Ta c
Do
2
x
Vậy x = 2 và y = 3
IV bất phơng trình bậc nhất có chứa dấu giá trị tuyệt
đối
Trang 9Phơng pháp chung để giải bất phơng trình bậc nhất chứa dấu giá trị tuyệt đối là biến đổi bất phơng trình đó thành một bất phơng trình mới tơng đơng không còn chứa dấu giá trị tuyệt đối Bằng cách xét các khoảng giá trị của biến để lập bảng xét dấu rồi khử dấu giá trị tuyệt đối Sau đó giải các bất phơng trình không còn chứa giá trị tuyệt đối trong các khoảng Cuối cùng tổng hợp các kết quả để có toàn bộ nghiệm của bất phơng trình.
Ví dụ 11 Tìm x biết rằng: x 1 x 3 x 1 (2)
Giải Lập bảng xét dấu ( nh ví dụ 4)
Với x <1 ta có (2) (1 – x ) + (3 – x ) < x + 1 -3x < -3
x > 1 ( các giá trị này không thuộc khoảng đang xét)
Với 1 x 3 ta có ( 2) (x – 1 ) + (3 – x ) < x + 1 2 < x + 1
x > 1 Ta đợc các giá trị 1 < x 3 (3)
Với x > 3 ta có ( 2) (x – 1 ) + (x – 3 ) < x + 1 2x- 4 < x + 1
x < 5 Ta đợc các giá trị 3 < x < 5 (4)
Kết luận: Kết hợp (3) và (4) ta đợc các giá trị cần tìm của x là:
1 < x < 5.
Nhận xét: Trong một số trờng hợp, có thể giải nhanh hơn cách dùng
phơng pháp chung nói trên Sau đây ta xét một số dạng đặc biệt:
Dạng 1 f x a hoặc f x a Với a là hằng số dơng
f x a
Ví dụ 12 Tìm x biết: a) 3x 2 4
b) 15x 1 31
Giải
3
Kết luận: Vậy 2 2
3 x
b) Ta có
32
2
x
x
15
x ho x
Dạng 2. f x g x hoặc f x g x
f x g x
f x g x
Ví dụ 13. Tìm x biết a) 2x 1 x 3
b) 3x2 2x 1
x 1 3
x – 1 - 0 + +
x – 3 - - 0
Trang 102
3 2
3
3
1 3
ậy các giá trị của x thoả mãn là: x< ặc x >1
5
x
Dạng 3. f x g x
2
Ví dụ 14 Tìm x biết x 1 2 5 x
Giải:
2 2
1
4
2
x x
x
x x
x
V Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
1 Kiến thức cần thiết:
a, f (x) = f (x) nếu f (x) 0
f (x) = - f (x) nếu f (x) 0
b, f (x)+ g (x) f (x) + g (x) dấu “=” xảy ra f (x) g (x) 0
c, f (x) - g (x) f (x) - g (x) dấu “ = ” xảy ra f (x) g (x) 0
Chứng minh:
a, Luôn đúng theo định nghĩa
b, Với mọi f (x), g (x) ta luôn có
- f (x) f (x) f (x)
- g (x) g (x) g (x)
Từ đó suy ra
- (f (x) + g (x)) f (x) + g (x) f (x) + g (x)
f (x) + g (x) f (x) + g (x)
Dấu đẳng thức xảy ra f (x) và g (x) cùng dấu f (x).g (x) 0 c) Từ b) f (x) = (f (x) - g (x)) + g (x) f (x) –g (x) + g (x)
f (x) -g (x) f (x) - g (x)
Dấu đẳng thức xảy ra f (x) g (x) 0
Nhận xét: Việc chứng minh câu b, c có thể bình phơng hai vế nh
Trang 11cách chứng minh định lí 1 và 2
2 Các ví dụ
A = x - 1996 + x - 2000
Giải Cách 1: Chia khoảng để xét
Nếu x < 1996 thì A = - x + 1996 - x + 2000 = 3996 - 2x
Do x < 1996 2x < 3992; - 2x > - 3992
A = 3996 - 2x > 3996- 3992 = 4 A> 4 (1) Nếu 1996 x 2000 thì A = x- 1996 + 2000- x = 4 (2) Nếu x > 2000 thì A = x - 1996 + x - 2000 = 2x- 3996
x > 2000 2x > 4000 2x- 3996 > 4000- 3996
A > 4 (3)
Từ (1), (2), (3) A đạt giá trị nhỏ nhất là 4 1996 x 2000 Cách 2: áp dụng bất đẳng thức
x + yx +y dấu “ = ” xảy ra khi xy 0
Ta có: A = x- 1996 + x- 2000
= x- 1996 + 2000- x x - 1996 - x +2000 = 4 Vậy A 4
Dấu “ = ” xảy ra (x - 19996) (2000 - x) 0
Lập bảng xét dấu
x 1996 2000
x- 1996 - 0 +
+ 2000- x + + 0
-(x-1996) (2000- x) - 0 + 0
(x- 1996) (2000- x) 0 1996 x 2000
Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 4 1996 x 2000
A = x +1 + 2x + 5 + 3x- 8
Nhận xét: Từ bất đẳng thức f (x) + g (x) f (x) + g (x)
Ta mở rộng đợc:f (x) +g (x) + +h(x)f (x) +g (x)+ + h(x)
Ví dụ 17: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
4
B x x -2
Giải:
Ta có B đạt giá trị nhỏ nhất 2 3
4
x x
đạt giá trị nhỏ nhất
4
f x x x ta có f(x) < 0 x vì
2
0
f x x x x x x
Dấu “ = ” xảy ra x =
2
1
max f x x
vì max f(x) = -
2
1
x =
2 1
Trang 12nên min f(x) =
2
1
x =
2 1
do đó min B =
2
1
- 2 = -
2
3
x =
2 1
3 Bài tập ứng dụng:
Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất (nếu có) của các biểu thức sau:
A = 2x- 3
B = 5- 3x + 2
C = 5 1- 4x - 1
D = x -1 + x- 4
E = 5 - 2x -1
H = 12 3
x
K = x- 1 + x + 2 + x + 3 + x + 15 + x- 16
L = x- a1 + x- a2 + + x- a2m - 1
Trong đó a1, a2, , a2m – 1 cho trớc
VI Đồ thị Hàm số chứa giá trị tuyệt đối
Trong chơng trình toán lớp 7, phần hàm số mới là mở đầu cho chơng trình hàm số ở chơng trình toán THCS Đối với đồ thị hàm số học sinh đã biết cách vẽ đồ thị hàm số y = ax (a 0) Đó là đờng thẳng đi qua gốc toạ độ và
điểm A( 1;a)
Để vẽ đồ thị hàm số có chứa giá trị tuyệt đối, cũng nh trên ta phải biến đổi các biểu thức chứa giá trị tuyệt đối Sau đó tiến hành vẽ đồ thị theo cách đã biết
a) y = x
2
y x x
y
x
Giải
x
Với x 0 thì đồ thị hàm số y = x là tia phân giác
của góc phần t thứ I
Với x 0 thì đồ thị hàm số y = - x là tia phân giác
của góc phần t thứ II
Đồ thị của hàm số y = x gồm hai tia phân giác
của các góc I và II nh trên hình 1
b) Với x 0 thì y = x
Với x < 0 thì y = 0
Đồ thị của hàm số gồm hai tia O x’ và OA
nh hình 2
c)Với x > 0 thì y = 1
Với x < 0 thì y = - 1
Đồ thị hàm số gồm hai tia Az và Bt
nh trên hình 3
Phơng pháp giải một số bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối
O
y
x
1
Hình 1
O 1
y
x
1 A
x’
Hình 2 O
-1
y
x
1
B
Trang 13( ở đây dấu mũi tên nói rằng hai điểm A và B
không thuộc đồ thị )
7 Kết luận
Nhờ áp dụng kinh nghiệm đã trình bày ở trên kết quả môn toán phần giá trị tuyệt đối do tôi giảng dạy đợc nâng cao rõ rệt Học sinh tích cực hoạt
động và tự tin khi giải toán, linh hoạt sáng tạo trong tìm tòi lời giải Từ đó kích thích nhiều học sinh vơn lên học khá, giỏi bộ môn
Kinh nghiệm trên đã giúp nhiều học sinh tự tìm tòi đợc nhiều lời giải hay,
độc đáo với những bài toán nâng cao và đạt giải cao trong các kì thi chọn học sinh giỏi cấp huyện
Ngoài ra kinh nghiệm trên có tác dụng tốt với học sinh học các môn khoa học khác
8 Kiến nghị, đề xuất
Để có thể dạy - học tốt và bồi dỡng học sinh giỏi môn toán ở trờng THCS tôi xin khuyến nghị một số vấn đề sau:
1, Toán học là bộ môn văn hoá cơ bản trong nhà trờng phổ thông do đó cần phải có nhận thức đúng đắn về vai trò, vị trí của nó trong cấu trúc chơng trình
2, Tạo điều kiện về cơ sở vật chất, trang thiết bị, phơng tiện dạy - học để việc tổ chức tiết học đạt hiệu quả
3, Nhân rộng và phổ biến những kinh nghiệm hay mô hình tốt có hiệu quả thiết thực
4, Đầu t kinh phí hợp lý cho công tác nghiên cứu thực tế, nắm tốt thông tin từ giáo viên và học sinh, đề ra những chủ trơng, biện pháp khả thi thiết thực
Với hớng suy nghĩ nh trên tôi đã hớng dẫn học sinh giải một số bài toán
có chứa giá trị tuyệt đối đạt hiệu quả cao Vì điều kiện cha thể tiếp tục trình bày thêm, chắc chắn không tránh khỏi thiếu khuyết về cấu trúc, về ngôn ngữ và cả về những kiến thức khoa học Xin trân trọng cảm ơn mọi sự góp
ý chân thành /
Đánh giá, xếp loại của cơ quan Yên Định Ngày 10/5/2008
Tác giả sáng kiến
Lu Tuấn Nghĩa
t