SỰ HỘI TỤ HẦU CHẮC CHẮN CỦA TỔNG CÓ TRỌNG SỐ CỦA CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN ĐỘC LẬP LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC TOÁN HỌC

Vì giả thi t trên.

1

T ă ú ì ệ ặ { }

| | ợ ự ầ ắ

P ợ ù â X 1 ả í

T ự, ệ ặ q Z – Marcinkiewicz khi m e p X 1 ị ặ 1< p <2 Đ ờ ợ ệ martingale ũ q ả ở ự q ả Az C ù ,

é ặ ồ q í

ă ợ 2 C ệ ả C 1 ì ữ, ị ĩ q ả ờ ợ ử ở C

C 2 ầ í ả ă T ú ẽ ự ở

T ầ 2 2 ú ở q ả

M ew z – Z ì

ù â ( ) T e ú ( ử N( ), ờ ợ q â ỏ { } , cho phép chúng ta t ng quát hóa k t quả c a Marcinkiewicz và Zygmund khi | | v i , ũ ợ ( e Hệ q ả 2 6)

ệ ầ { }, trung bình có t

4

M Ơ

Tôi xin ử ờ cả chân thành t i các thầy giáo thu c t b môn Toán

ng d ng – Khoa Toán Tin – T ờ ĐHSP H N ì ú ỡ tôi trong

su t quá trình h c t p và góp ý cho lu ă X ả TS T ầ T

Nguy -T ờ Đ Q â H N ; PGS TS Ph m Vă u - T ờ ĐH S P H N Đặc biệt tôi mu n tỏ lòng bi â ắc t i TS Nguyễn Vă Hù , cán b thu c V ệ CNTT- V ệ H & CN V ệ N , cả ự ú ỡ ệ ì ầ ờ ú

ă này ăm 20 2

5

M

1

CH N C C N TH C CHU N 7

1 1 7

1.1.1 H 7

1.1.2 D ả í 7

1.1.3 ả í 8

1.1.4 q â 8

1.2 e 8

1.3 H ầ ắ ắn 8

1.4 8

1.5 Đị ĩ ệ e 10

1.6 ợ ì é 10

2 1 ệ 11

2 2 T ù â 12

2 3 T ệ e ị ặ 27

2 4 T ệ e ị ặ 35

2 5 ì ợ

ù â 50

2 6 Tí q ồ q í ễ ù â 57

T UẬN 65

6

TÀ ỆU THAM HẢO 66

7

Ơ

Cặ ( , ) ồ ợ ϭ- ờ ợ

N ( , ) ( , ) ợ ì

ợ ợ

1.1.1

H ữ { , i ϭ- 𝓕 ợ

P( ) = , ì H { , i ϭ- 𝓕 ợ ỗ

ữ

1.1.2

Đặt ; ;

X+ = X X ( = 0) X (

N í ữ , ĩ ( , E ) ì X ợ ử ả í ì X =

X ợ ả í ì ữ ả

E X+ ữ T ợ ả í ợ í ệ ở ặ

8

1.1.3

ả ử H H H ợ ả í

∫[| | ]| | khi

1.1.4

{X; } ỏ X= ợ q tâm 1.2

T ả (X, )

M ả T e

ì ặ

1.3

{ ợ ầ ắ ắ

X ồ A

Sự ầ ắ ắ ợ í ệ : (h.c.c) 1.4

i) : { } ữ ợ

â e (S N) :

H q ồ { }, { }; 0 < sao cho:

9

â

ii) lmogo

ả ử { e

ữ , {

∑ ì (h.c.c) iii) lmogo

ả ử { ù â

(h.c.c) ; E| |

- Zygmund ả ử {

ù â ,

(h.c.c) 1 | |

Đồ ờ , ì khi ù

m

ả ử { , ỗ ∑

ầ ắ ắ ì ỗ

10

a) ∑ b) ∑ c) ∑ | |

ở [| | ]

N ợ ỗ ì ỗ ∑ ầ ắ ắ 1.5 ệ martingale í { ợ ệ e | |

| ầ ắ ắ R X={ e ì { ệ e , ,

N ợ , { } ệ e ì X={ }

e ,

1.6

T ì ồ q í ,

=1,2… , ợ ì é ( S ) , ự é ầ , ợ ị ĩ ở ̂ ∑ ̅̅̅

∑ | | M â ỏ ự ờ ợ ợ ∑ ̅̅̅

∑ | | ti n ù (tính q ì é )

bi n ng c l p cùng phân ph i (i.i.d), chúng là các martingale hiệu bị chặn trong L1 hoặc bị chặ ì ợ u Đồng thời

12

2 2 ổ ó ủ ù

T ầ ú ì { } ù â , q â q ự

ỗ ∑

Bổ đề 2 Gọ { } là m t dãy s d ơ , ế ến vô cùng Gọi là

m à d ơ , k ô ảm, khả vi trên [ ], sao cho

â , q â ệ , S O e , W P [13]

ữ , ẳ ị ([10],

ị í 6)

ệ q 2.3 Gọ { } à dãy ọ ∑ , sao cho T ì ỗ ∑ ụ ầ ắ ắ bấ kì

{ } à dãy b ế ẫ ê , , k ả í ,

i xứng hoặc [| | | |]

e í Đị í 2 2 ú ả

ử , â γ, ì ỗ

16

∑ ầ ắ ắ ì { } c l p cùng phân ph i, qui tâm thỏa mãn [| | | | ] Từ ữ ẳ ị :

ệ đề 2.4 Gọ { } à dãy ọ b ặ Thì

∑ ụ ầ ắ ắ bấ kì { } là dãy biến ngẫ ê c l p cùng phân ph i, qui tâm v i [| | | | ] , ặ i xứng và

2 Lin và Weber [8] không ị ặ

T e e - C e ợ , ồ (*) trong

Đị í 2 2 ầ ắ ắ ợ

[ | | ] , ù â { }

Cũ ỉ ( í ở q ắ ự ị ặ ) { }

â , ị ặ , ồ â { }, sao cho ∑ ∑ phân kì

Đả ì ồ { }, sao cho ⁄ T e ự ú ở , ồ â { }, ∑ sao cho ∑ ∑ phân kì { } là m i x ng các bi n ng c l p cùng phân ph

18

ợ ị ĩ e q ắc: = Vì v y chúng ta có [| | ] ∑ và [ | | ] ∑

â ( ) ú

(i) ( ) V ε > chúng ta có * (| |)+ khi [| | ]

Sử (*) e - C e , ú ợ (h.c.c)

Chú ý 1 Chú ý r ng, trong thực t , u kiện ở suy ra

⁄ (h.c.c) { } cùng phân ph i (không cần thi t phả c

l p) v i [| | ] ∞ Mặ , ⁄ ầ ắ ắ { } ù â , ì ệ ( ) ợ ả ả Sự

19

(iii) C ỗ ∑ ⁄ ụ ầ ắ ắ ọ dãy b ế ẫ nhiên { } , , E[| | ]<∞

Chú ý 1 Dãy √ chỉ ra r ng khi mệ (i) c a Hệ quả không suy ra Mặ , e ú , ⁄√ (h.c.c)

í { } cùng phân ph i ( không cần thi c l ) [| | ]

2 { { ả , ù Khi t Hệ q ả 2 6 ặ ⁄ ( ⁄

ợc hi u là vô cùng), hàm ợ ị ĩ ( ữ | | )

t e e e , ệ Hệ q ả :

(iv) ∑ ụ ế 0 ầ ắ ắ ọ { } c l p cùng phân ph i, qui tâm , v i [| | ]

20

3 V i , ợ ả ả ∑ | ⁄ | ([8], trang 528)

4 Trong ú 2, ờng hợp t ng quát v i chúng ta có

; , u kiện c a Hệ quả 2.6 không suy ra

và √ C ú ỗ ∑ ầ

ắ ắ { } ù â , q â ữ , ì e ([9], ị í 4 ) chúng ta có ∑ | ⁄ | ợ ả

ả â ờ ặ và √ thì ∑ ⁄ vì v y , e H -Winter v lu t logrit lặp (LIL) chúng ta có

ợ ả ả Đ ắ ắ ì

( ∑ ) suy ra

ệ q 2.7 Gọ { } là m t dãy s phứ k k ô , à ặt { | | } N ữ ệ ề à ơ ơ :

⁄

Dãy { } ụ ầ ắ ắ ế 0 ọ dãy b ế ẫ ê { } c l p cùng phân ph , xứ , k ả í i [| | | |]

(iii) C ỗ ∑ ụ ầ ắ ắ ọ dãy b ế ẫ ê { } , xứ , k ả í [| | | |]

Chứng minh theo ch ng minh c a phần c Định lí 2.2,

và rõ ràng Ch ng minh c a ự v i ch ng minh

Mệ 2 5 ( e C ú 2 )

(iii) C ỗ ∑ ⁄ ụ ầ ắ ắ ọ dãy ẫ ê { } , xứ g, k ả í

Chú ý Hệ q ả 2 8 ợ { } ỗ ∑

ầ ắ ắ { } ù â , , ả í ( ỉ ) (h.c.c) { ( ú ả ử ặ ⁄ )

Đị í â ợ ợ ở , S O e , W P [13] ( ũ e [6])

2.9 Gọ { } à dãy ứ à { } à dãy k ô ả các d ơ ế ế ô C ệ ề d y ừ ( )-( ) à ơ ơ :

(i) Hàm { ⁄| | } là hữu h n giá tr v i mọi

và ⁄

( ) C ỗ ∑ ụ ầ ắ ắ dãy b ế ẫ ê c , xứ , k ả í

22

(iii) Trung bình ∑ ụ ầ ắ ắ 0 dãy b ế

ẫ ê , xứ , k ả í

( ) C ỗ ụ ầ ắ ắ 0 dãy b ế ẫ ê , xứ , k ả í

Nế hêm và ó ú ả ử ằ

∑ | |

thì ừ ( ) y ằ ∑ ụ ầ ắ ắ 0 ọ dãy

b ế ẫ ê { } k ả í , ủ b ế ẫ ê , k ả í , (k ô ầ ế xứ )

Chú ý 1 Sự ă ả “ ì ” ợ é Đị í

2 9 ì ợ é [13] í ả ự

ợ ệ [13] M í , ì ∑ ự ∑

2 P ầ ầ Đị í 2 9 , í ả ờ ợ [13 Đ ệ (6) ệ (1 3) C e , Z , ([6 , ị í 1) ( { } ) Vì ầ Đị í 2 9,

ẳ ị ệ ầ ù â , , q â , ợ ừ Đị í 1 Chen, Zhu và Fang [6]

ợ ở trong Chen, Zhu và Fang [6]

lí 2.9, sao cho trung bình có tr ng s trong là không h i t hầu chắc chắn v

0 Vì v y giả thi i x ng là không th bỏ qua trong phầ ầu c Định lí 2.9

Mặ , Định lí chỉ ra r ờng hợ i x ng, ợ q ả

ự ầ ắ ắ ỗ ∑ , í ầ

ệ (6)

5 T e Định lí 2.2 (ii), u kiện suy ra r ng v i m c l p cùng

phân ph i qui tâm v i [| | | |] thì chuỗi ở trong phần Đị

ì ầ (iii) ặ (ii) Đị í 2 2 ợ

Chú ý 1 N { } không âm cùng

â , e S w e ( 3) ỗ ∑ ( ) h i t hầu chắc chắn v i

m i Sử q ả Marcinkiewicz và Zygmunund ([10], Đị í 5),

26

ú ợ ồ μ, , sao cho v i mỗi

ỗ ∑ ắ ắ , q â { } ( ầ ù â ) [| | ]

q ả e , R e , M O e (2 4), ờ ợ , { } là cùng phân ph , Định lí trong I.Asani (2004) Hệ quả 2.10 giả sử nhi , ầ í ả í dãy { } ù â , q â , ệ ả ích

2 N ệ q ả Mệ 2 5 ú , ú ợ

ì â ù â { } ú : ồ 1 μ ợ , sao cho v i m i và m i , chúng ta có { ⁄ ⁄ } N ú

c p ở phần sau trong m ú Định lí 5.2, sự hữu h ợc

ảm bảo v i Mặ , ả ở ệ ự ∫ , c ú ợ ở e e e Q ( Q,

Đị í 5) ( e A [A2, Đị í 5 q ả ) :

{ ⁄ ⁄ } ầ ắ

( ) C ỗ ∑ ụ ầ ắ ắ ọ dãy { } tâm , - b ặ

(v) Trung bình ∑ ụ ầ ắ ắ 0 ọ dãy { } , , - b ặ

29

∑

∑

và (| | ) | | Vì ả ử ∑ | | , ừ tính

e -Cantelli suy ra (vi) là sai

Chú ý 1 T ờ ợ ặ ệ và , sự

ợ ([8], ệ 4.3]) và Chú ý 5 theo sau nó

và , xem chú ý 3 theo sau ([8], ệ 4 3)

ắ ắ { c l p cùng phân ph i và [| | | |] ( í ầ í ị ặ { }) Vì giả thi t trên

32

3.6 Gọ { } là m t dãy khác không các s phứ ặt

#{ | | }, à ả ử ằ ⁄ Gọi (t) là m à d ơ k ô ảm, khả vi v i ≥ 0, ⁄ là

ắ ắ

34

ả ả ử ∑ Đ é ú Kronecker

35

2 ổ ó ủ ệ ặ

T ầ ú ì ệ { ả

ả ự ầ ắ ắ , ị ặ , q â N q ả ầ , ú

ệ q 4.3 Gọ { } ) là m t dãy của các martingale hiệu Thì

v i mọi và v i mọi s t nhiên chúng ta có

)

Chú ý V (ở { R e e , Hệ q ả

ợ ẳ e ( í , [A Z , Đị í V 8 4 , [M.Ledoux A T , 4 1 )

ệ V { } , ặ ∑ , |∑ |, ∑ ‖ ‖ , và

Chú ý 1 V { , q â e ữ ả , 2 [10] ợ | | Từ ẳ , Đị í 4 1, T [T ợ (11) khi , ẳ e, Đị í 4 1

ta ẳ ị , ầ í

2 V ệ e { } B ẳng th c v giá trị l n

nh t c (Định lí 3.4) ợc [ ] ( ) [| | ] v i

T ờ ợ , ầ ử Đị í 4.1 ( ỉ í Tsuchikura , Hệ q ả 4 4 ờ ợ

Mệ 4 5)

Đị í â q ả í ầ , q

T

4.6 Gọ { } à dãy k ô ả d ơ , ế ế ô cùng, sao cho ⁄ Gọ { } ) à dãy ủ

b ế ẫ ê , bở (9) Nế

| |

Sự ầ ắ ắ ∑ ẽ ì ợ suy ra

ú ợ | |/ (h.c.c)

Vì , ỗ ∑

ầ ắ ắ

C ầ , ả ử (13) ự ỉ : e (13), ẳ (15) ợ ả ả ị δ > ,

42

| | ợ e ầ ắ ắ ì

2 G ả ử ‖ ‖

{ { q â | | Đị ĩ và

Rõ ràng Vì v y, v i m i bi n ng u nhiên ị ặ ú

‖ [ | ]‖ ‖ [ | ]‖ chúng ta ợ ợ â ( { })