Tổng quan về phương trình lượng giác

Tổng quan về phương trình lượng giác Môn toán Ôn thi tốt nghiệp

x1

x2xx

)cos)(sin

cos

(sin3x+ 3x 2x+ 2x =2 5x+ 5x

⇔

)sin(cos

cos)sin(cos

sincos

sinsin

coscos

x0

xx

x

2

sincos sin

cossin

cos sin

cos)

sin)(cos

sin

(cos

Z)(k cos

sincos

xx

x

2 2

3 sin2 x = cos2 2 x + cos23 x

0x1

x2x

2

x61

2

x1

x20x2

xx

Z)(k

cos

cos

cos = ∨ = ∨ = ⇔ = π+ π ∨ = π+ π ∨ = π+ π ∈

⇔

3

k6

x2

k4xk

2x0x0

x0

x

4 sin6 x + cos6 x = 2 (sin8 x + cos8 x )

xx

2x2

2x1

x2xx

coscos

π

±

=

π+

xk4x

2

m4

x1

tgx x 01

xtg

0xx

6

5 sin x − cos x + sin x + cos x = 2

2kx0x21

x22

x224xx

2x1

x8

13x

13xxx

xx

8

13x4

1x22

11

x( sin2 sin2 ) cos2 cos ( sin2 ) cos2

cos

2

1x0

6

x2

k4x

7 1 + 3 tgx = 2 sin 2 x(*) Đặt t=tgx

π+

−+

⇔

=+

−+

⇔+

=

+

4x1tgx1t01t2t31t01ttt3t1

t4t

tgx3x2x

x k2

xtg

∈





π+α

x2x

x2

)(

()(

)

4x1tgx0

1xtg31tgxx

tg1tgx

4xx21x

02xx

2x2x0

3x2x1

x2

Z)(k (loại)

cos)

sin)(cos(cos − + = ⇔ =−= ⇔ =−π+ π ∈

4

x1

tgx x 20

xx

23

x1

x4x

432x22x

4

Z)(k

x2

4 sin x cos x 1 vo ânghieäm 4 2

03x244x2

⇔

2

kxkx20

x

2

15 cos2 2x−4sin4x+3=0 ⇔(1−2sin2 x)2 −4sin4x+3=0

03x4x4x

4

1− 2 + 4 − 4 + =

2x0x1

x2

16.cos x cos 2x 12 = 2 −

011x4x4x0

11x2

cos(cos

)cos

(cos x 1 32 x 1 2 x 1 34 x 4 x 1

⇔

⇔

5

2x1

0x5

2x2

0x5

1x

1x0

1x6

x

2 2

4

cos

sincos

sincos

coscos

)

x2x1

x2x2x2x1

xx

⇔

2

k4xk2x20

x

C2 tg x 2 2tg x tg x tg x 2 2tg x

xtg1

xtg

+

⇔

=+

cos = = π⇔ =±π+ π⇔ =± π+ π ∈

6x2k3x232

1

x

20.3−3sin4 x−5cos4 x =0

0x5xx

21330x5x1

0xx

6x

cos

cos)

cos(

coscos

coscos

1x

tg2 + 2 =

⇔ (1) Ñieàu kieän :tgx≠0(1)⇔tg4x−2tg2x+1=0⇔(tg2x−1)2 =0

23

8

1 x

8

1x

22x2888

1x28

1x24

1x

24 2(1−sin2x)−5(sinx−cosx)+3=0⇔2(sinx−cosx)2 −5(sinx−cosx)+3=0

12xx

cos

cos

)

(1 ⇔1+ 2x =0⇔ 2x =−1

Z)(k cos

)(coscos

cos

cos

)

(1 ⇔ 2x+ x+1=0

Z)(k cos

)(coscos

1x

1

⇔

coscos

]cos

01xx

(loại)

coscos

cos

)

( ⇔ + − = ⇔ x ==−−1−+ 2 =<−1α ⇔x=± α+k2π ∈

21x0

1x2x

32 sin x2 12 sin x 1 0

sin x sin x

sin

sin

)

(1 ⇔ 2 x+ x+1=0

Z)(k sin

)(sinsin

sin

)

2x1x0

1x0

1x2x

33 4 sin x2 12 4 sin x 1 7 0

sin xsin x

sin

sin

)

(1 ⇔2 2x−3 x+2=0

6gxtgx

22gx

()

4

x4tg1tgx0

1tgx0

1tgx2xtg2tgx

1

tgx

)sin(sin

sincos

sincos

sinsin

coscos

sin

)

(

62

1x1

x2x

x4xx

4x

xx

C2 : Đặt t=tgx+cotgx⇒t2 =(tgx+cotgx)2 =tg2x+cotg2x+2tgxcotgx =tg2x+cotg2x+2

42xg

Z)(k ∈π+

sin

coscos

⇔

1 2sin 2x 1 sin2x sin

35 tg2x + cot g2x + 5 ( tgx + cot gx ) + 6 = 0 (*)

Điều kiện : sin cos ≠ ⇔sin ≠ ⇔ ≠ π (k∈Z)

2

kx0x0

xx

06gxtgx

52gx

)

sincos

sincos

sinsin

coscos

sin

)

(

62

1x1

x2x

x4xx

4x

xx

xx

01gxtgx

4xg3xtg1301gxtgx

4xg3x

42gxtgx

302gxtgx

4xgx

tg

04gxtgx

4gxtgx

Đặt : t =tgx+cotgx⇒t2 =(tgx+cotgx)2 =tg2x+cotg2x+2tgxcotgx =tg2x+cotg2x+2

42xg

x2

t =− ⇔ + =−2⇔sin2 +cos2 =− sin cos ⇔sin =−

sin

coscos

xx

04gxtgx

5xtg2xg1

2

1)⇔ ( +cot 2 )+ 2 + ( +cot )+ =

(

04gxtgx

52gxtgx

204gxtgx

5xgx

tg

0gxtgx

5gxtgx

⇔ ( cot ) ( cot ) (*)

Đặt :t=tgx+cotgx⇒t2 =(tgx+cotgx)2 =tg2x+cotg2x+2tgxcotgx

2xg

x

tg2 + 2 +

42xg

sin

5

1x2x

x5xx

22

5x

xx

x2

3 2(sin x cosx) 2(sin x cosx) sin x cosx 2 0

Phương trình trở thành :⇔ −t3 2t2 + −t 2 0= ⇔ −(t 2)(t +1) = 02 ⇔t = 2

39. 2(sin x cosx) tgx cot gx + = +

sin x cosx2(sin x cosx)

cosx sinx

⇔ + = + ⇔ 2(sin x cosx)sin x cosx 1+ =

đặt t sin x cosx 2 cos x

Phương trình trở thành :⇔ − −t3 t 2 0= ⇔ −(t 2)(t + 2t +1) = 02 ⇔t = 2

40.sin x cos x sin 2x sin x cosx3 + 3 = + +

(sin x cosx)(1 sin x cosx) 2sin x cosx sin x cosx

2

t 1đặt t sin x cosx 2 cos x sin x cosx

VT (cos4x cos2x)= − =(2sin3xsin x) =sin 3xsin x 4≤ VP 5 sin3x 4= + ≥

Vậy phương trình tương đương với hệ :

VT (cos4x cos2x)= − =(2sin3xsin x) =sin 3xsin x 4≤ VP 5 sin3x 4= + ≥

Vậy phương trình tương đương với hệ :

VT sin x cosx 2 sin x 2

sin x sin x sin x sin x

⇔ + = + Vì cosx 1≤ ⇒cos x cos x13 ≤ 2 ; sin x 1≤ ⇒sin x sin x14 ≤ 2Vậysin x sin x 113 + 14 ≤ Dấu đẳng thức xảy ra khi:

46.sin x + cos x = 2 ( 2 − sin 3 x ) (1)

VT sin x cosx 2 cos x 2

2

VP= ( −sin )≥ ( − )=

Vậy (1) 2 cos x 4 2 cos x 4 1 cos x 4 1 (1)

2 sin3x 1 sin3x 1 (2)2(2 sin3x) 2

π

=

⇔π

Vậy phương trình vô nghiệm

47.(cos 4 x − cos 2 x )2 = 5 + sin 3 x

4xx

34

xx32

VT =(− sin sin )2 = sin2 sin2 ≤ VP=5+sin x≥5−1=4

2 2

2

4x

3 x 11

xx 11

xx x 14

x

thế vào (2) ta có : sin x =3−4=−1 thỏa mãn

Khi sin =− ⇔ =−π+k2π (k∈Z)

2x1

x

thế vào (2) ta có : sin x =−3+4=1≠−1 không thỏa

Vậy nghiệm của phương trình là : =−π+k2π (k∈Z)

2x

48 . 5 + sin2 2 x = sin x + 2 cos x (1)

5x5

VT= +sin2 ≥ Dấu bằng xảy ra ⇔ sin2x = 0 ⇔ = π (k∈Z)

2

k

5xx

41x2

x

VP=sin + cos ≤ + sin2 +cos2 =

Dấu bằng xảy ra ⇔

2

1tgx2

x1

49. 3 sin 2 x − cos 2 x + 3 sin x + cos x = 4 (1)

2x2

1x2

3x22

1x2

1xx

2

1

=+

⇔

=+

Vì cos x≤1 và cosx≤1 nên (*)

k2

k

x1

x x

x01xx

−

Vậy nghiệm của phương trình là :x = 0

cosx cos2x cos3x cos4x 0 + + + =

sin x cosx tgx 1 4 2sin x cos x

sin x cos 2x cos 3x = +

1 cos2x 1 cos4x 1 cos6x (cos2x cos4x) (1 cos6x) 0

63 Đại học Quốc Gia Hà Nội khối D năm 1999

sin x cosx sin x cosx 2 − + + =

Bình phương 2 vế ta được cos2x 1 sin 2x 0 x k

sin t cost 1 sin 2t 2 (voânghieäm) 2 4

72 Đại Học Thái Nguyên khối D năm 2000

sin2x 4(cosx sin x) m + − =

a) Giải phương trình trên khi m 4=

b) Với giá trị nào của m thì phương trình trên có nghiệm?

Giải a) Khi m 4= , phương trình có dạng :

sin2x 4(cosx sin x) 4+ − = ⇔ −(1 sin 2x) 4(cosx sin x) 3 0− − + =

2(cosx sin x) 4(cosx sin x) 3 0

b) sin2x 4(cosx sin x) m+ − = ⇔(cosx sin x)− 2 −4(cosx sin x) m 1 0 (*)− + − =

Đặt : t cosx sin x= − = 2 cos x + 4π⇒ ≤t 2

2(*)⇔ − + − =t 4t m 1 0Nếu ∆ = − < ⇔/ 5 m 0 m 5> ⇒phương trình vô nghiệm

Nếu ∆ = − ≥ ⇔/ 5 m 0 m 5≤ ⇒ phương trình có hai nghiệm

72 Đại Học Văn Hóa Hà Nội khối D năm 2001

sinx 2cosx cos2x 2sin x cosx 0 + + − =

2sinx 1 2sin x 2 cosx(1 sin x) 0

sinx 1sinx 1

76 Đại Học Y Khoa Hà Nội khối B năm 1998

2(cot g2x cot g3x) tg2x cot g3x − = +

Điều kiện :sin 2x 0 ; sin3x 0 ; cos2x 0≠ ≠ ≠

cos2x cos3x sin 2x cos3x2(cot g2x cot g3x) tg2x cot g3x 2

sin 2x sin3x cos2x sin3x

sin 2xsin3x sin3x cos2x sin 2xsin3x cos2x

−

sin 2x 0≠

Vậy phương trình vô nghiệm

77 Đại Học Y Dược TP Hồ Chí Minh khối B năm 1997

78 Đại Học Y Dược TP Hồ Chí Minh khối B năm 1998

Xác định a để hai phương trình sau tương đương

2cosx cos2x 1 cos2x cos3x = + +

a 3 1 a 3 1 a 3 0 a 3 1 a 5 a 1 a 3 a 4

79 Đại Học Y Dược TP Hồ Chí Minh khối B năm 2001

Xác định a để phương trình sau có nghiệm : sin x cos x a sin2x6 + 6 =

Đặt : t sin 2x= ⇒ ≤ ≤0 t 1 (*)⇔3t2 +4at 4 0− =

Với t 0 ta co ùf(0)= = − < ⇒4 0 phương trình (1) luôn có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện

sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x − = −

1 cos6x 1 cos6x 1 cos10x 1 cos12x

81 Đề thi chung của Bộ giáo dục – đào tạo năm 2002 khối D

Tìm x thuộc đoạn [0;14] nghiệm đúng phương trình :cos3x 4 cos2x 3cosx 4 0 − + − =

82 Đề thi chung của Bộ giáo dục – đào tạo năm 2002 khối A

Tìm x thuộc đoạn x∈[0;2π]nghiệm đúng phương trình :

1 sin x sin x. 1 cosx 0 sin x 1 cosx 0 sin x (1 cosx)(1 sin x) 0

Điều kiện : cosx 0 x k

85 Đề thi chung của Bộ giáo dục – đào tạo năm 2004 khối D

(2 cosx 1)(2sin x cosx) sin2x sin x − + = −

(2 cosx 1)(2sin x cosx) 2sin x cosx sin x

2 cosx 1 0 cosx 1/ 2(2 cosx 1)(2sin x cosx) sin x(2 cosx 1)

86 Đại Học Dân Lập Văn Lang năm 1997 khối B & D

3cosx cos2x cos3x 1 2sin xsin2x + − + =

89 Đại Học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh năm 1997 khối A

Cho phương trình :4 cos xsin x sin x cosx sin 4x m (*)5 − 5 = 2 + Biết x = π là một nghiệm của (*) Hãy giải phương trình (*) trong trường hợp đó

Giải

4sin x cosx(cos x sin x) sin 4x m− = + ⇔2sin 2x cos2x sin 4x m= + ⇔sin 4x sin 4x m 0 (1)− + =

Vì x= π là nghiệm của phương trình (*) nên x= π cũng là nghiệm của phương trình (1)

Nghĩa là :sin 4x sin 4= π =0 vậy từ (1)⇒m 0=

Vậy phương trình trở thành : sin 4x sin 4x 02 − = ⇔sin 4x 0sin 4x 1= ⇔ =x k4π∨ = +x 8π k4π

=



90 Đại Học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh năm 1997 khối D

Tìm các giá trị m để phương trình sau có nghiệm

Cho phương trình :4(sin x cos x) 4(sin x cos x) sin 4x m4 + 4 − 6 + 6 − 2 =

Giải

Lập bảng xét dấu đạo hàm trên đoạn [ ]0;1 ta có : f(0) 0 ; f(1) 1= =

Vậy phương trình có nghiệm khi : 9 m 1

16

91 Đại Học Luật TP Hồ Chí Minh năm 1997 khối A

Cho phương trình :cos4x cos 3x asin x = 2 + 2

a) Giải phương trình trên khi a 1=

b) Xác định tham số a để phương trình đã cho có nghiệm x trên khoảng 0;12 π 

Giải a) cos4x cos 3x asin x= 2 + 2 ⇔2 cos 2x 12 − =1 cos6x+ 2 + a1 cos2x+ 2 

  ta thấy phương trình có nghiệm khi 0 a 1< <

92 Đại Học Ngoại Thương năm 1997 khối D

2 2tgx cot gx 3

94 Đại Học Bách Khoa Hà Nội năm 1996

Tìm nghiệm của phương trình :sin x cos x cos2x (1)4 + 4 =

thỏa mãn bất phương trình : 1 2

2

1 2

• Nghiệm của (1) thỏa (2) khi − < π ≤1 k1 k≤ π <20⇔ =k 0 Vậy x 0=

95 Đại Học Kỹ Thuật TP Hồ Chí Minh năm 1994

98 Đại Học Kỹ Thuật TP Hồ Chí Minh năm 1998

sin 2xsin x cos2x cosx

8cosx cos2xsin x 1cos2xsin x

=

+

(thỏa mãn điều kiện )

4 cos2xsin 2x 1 2sin 4x 1 sin 4x 1/ 2

103 Đại Học Giao Thông Vận Tải năm 1996

a)3(cot gx cosx) 2(tgx sin x) − + − = − 5

b)3(cot gx cosx) 5(tgx sin x) 2 (*) − − − =

Điều kiệnsin x 0cosx 0≠≠

104 Đại Học Giao Thông Vận Tải năm 1998

tgx cot gx 2(sin 2x cos2x) + = +

Điều kiện :cosx 0sin x 0≠≠ ⇔sin 2x 0≠



tgx cot gx 2(sin 2x cos2x) 2(sin 2x cos2x) 2(sin 2x cos2x)

Điều kiện :sin x 0≥

cosx sin 2x sin 4x + =

Điều kiện :sin 4x 0≠

cosx sin 2x sin 4x+ = ⇔ cosx 2sin x cosx 2sin x cosx cos2x+ =

22sin x cos2x cos2x 1 0 2sin x cos2x 1 cos2x 2sin x cos2x 2sin x

16

= (*)

Xét sinx = 0 thì phương trình không thỏa

Vậy (*) ⇔ sin x cosx cos2x cos4x cos8x=161 sin x

−

a) Tìm m để phương trình có nghiệm.

b) Giải phương trình khi m 1

Lập bảng xét dấu trên khoảng (–1;1) ta có : f(–1)= –1 ; f(1) = 1 ; f(0) = ∞

Vậy phương trình có nghiệm khi : 8m8m 1< −1⇔mm 1/ 8< −1/ 8

b) Vậy khi m= 18 thì phương trình vô nghiệm

108 Đại Học Kinh Tế năm 1995

109 Đại Học Quốc Gia Hà Nội năm 1995

4sin 2x 3cos2x 3(4sin x 1) − = −

28sin x cosx 3(1 2sin x) 12sin x 3

sin x 0sin x(4 cosx 3sin x 6) 0

4 cosx 3sin x 6 (vô ngghiệm vì a b 25 c 36)

3 sin x cosx 3 2 cos2x 3 3tgx cot gx 2 cot g 2x 2 cot g 2x 2 cot g 2x cot g2x cot g 2x

112 Đại Học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh năm 1997

Tìm m để phương trình sau có nghiệm:4(sin x cos x) 4(sin x cos x) sin 4x m4 + 4 − 6 + 6 − 2 =

Phương trình có dạng : f(t) 2t= 2 − − =t 1 2m⇒f (t) 4t 1 0/ = − = ⇔ =t 14

Lập bảng xét dấu đạo hàm trên đoạn t 1≤ ta có : f( 1) 2 ; f(1) 0 ; f 1 9

(*) 2(sin x cosx)

sin 2x 1 sin 2x 1sin x cosx

cosx sin2x+ = +sin 2x ⇔ cosx + − − =

4sin x cos2x 2(1 cos 2x) 1 0 2(1 cos2x) cos2x 3 cos 2x 0

cos4x 6sin x cosx 1 + =

sin x cos 2x cos 3x = +

1 cos2x 1 cos4x 1 cos6x cos2x cos4x 1 cos6x 0

2

1 cos2x 0 2sin x 0 sin x 0 (loại)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

120 Đại Học Ngoại Thương Hà Nội năm 1995

4 cosx 2cos2x cos4x 1 − − =

cos2x 1 2 cos x 1 1

cosx 1 cosx 1

(vo ânghiệm)cos2x 1 cos2x 1

123 Đại Học Ngoại Thương TP Hồ Chí Minh năm 1997

9sin x 6cosx 3sin 2x cos2x 8 + − + =

29sin x 6 cosx 6sin x cosx 1 2sin x 8

2sin x 6 cosx 7 (vô nghiệm) 2

124 Đại Học Sư Phạm Hà Nội năm 1997

5cosx cos2x 2sin x 0 − + =

sin x 05cosx cos2x 2sin x

5cosx (2 cos 1) 4sin x

cosx 3 (loại) cosx 1/ 25cosx (2 cos 1) 4(1 cos x) 2 cos x 5cosx 3 0

129 Trung Học Kinh Tế năm 2002

cos4x sin x sin 7x cos2x − = −

cos4x cos2x sin 7x sin x 2 cos3x cosx 2sin 4x cos3x