Bài 3 Tích của một số với một vectơ A Lý thuyết 1 Tích của một số với một vectơ và các tính chất Cho số k ≠ 0 và a 0 Tích của số k với a 0 là một vectơ, kí hiệu là ka Vectơ ka cùng hướng với a nếu k[.]
Trang 1Bài 3 Tích của một số với một vectơ
A Lý thuyết
1 Tích của một số với một vectơ và các tính chất
Cho số k ≠ 0 và a 0 Tích của số k với a 0 là một vectơ, kí hiệu là ka
Vectơ ka cùng hướng với a nếu k > 0, ngược hướng với a nếu k < 0 và có độ dài bằng
k a
Ta quy ước 0a 0= và k0 0=
Người ta còn gọi tích của một số với một vectơ là tích của một vectơ với một số
Ví dụ: Cho tam giác ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CA Tìm
các vectơ bằng: 2DE; 1CA; 2EC
2
− −
Hướng dẫn giải
+ Vectơ bằng 2DE :
Tam giác ABC có D, E lần lượt là trung điểm của AB, BC
Do đó DE là đường trung bình của tam giác ABC
Suy ra DE // AC và 2DE = AC
Vì k = 2 > 0 nên vectơ cần tìm cùng hướng với DE và có độ dài bằng 2DE
Ta có AC cùng hướng với DE và 2DE = AC
Ta có E là trung điểm BC
Do đó CB = 2EC
Vì k = –2 < 0, nên vectơ cần tìm ngược hướng với EC và có độ dài bằng 2EC
Ta có CB ngược hướng với EC và CB = 2EC
Do đó CB= −2EC
Trang 2⇔ G là trọng tâm của tam giác ABC (đpcm)
2 Điều kiện để hai vectơ cùng phương
Hai vectơ a và b ( b 0 ) cùng phương khi và chỉ khi có số k sao cho a kb=
Nhận xét: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k ≠ 0 để AB kAC=
Chú ý: Cho hai vectơ a và b không cùng phương Với mỗi c luôn tồn tại duy nhất cặp
số thực (m; n) sao cho c ma nb= +
Ví dụ: Cho tam giác ABC Lấy các điểm M, N, P sao cho MB 3MC= , NA 3NC+ = , 0
PA+PB= 0a) Biểu diễn MP theo AB, AC b) Biểu diễn MN theo AB, AC c) Chứng minh rằng: 3 điểm M, N, P thẳng hàng
Hướng dẫn giải
Trang 3a) Ta có MB=3MC MB=3 MCMB=3MC
Mà MB, MC cùng hướng (do k = 3 > 0)
Do đó ba điểm B, C, M thẳng hàng và C nằm giữa B, M sao cho MB = 3MC
Ta có PA+PB= nên P là trung điểm AB 0
Do đó NA= −3 NC hay NA = 3NC
Khi đó ta có AN = 3
4AC
Mà NA, NC ngược hướng (do k = ‒3 < 0)
Do đó ba điểm A, N, C thẳng hàng và N nằm giữa hai điểm A và C sao cho AN 3AC
Từ (2), ta suy ra 4MN 2AB 3AC= −
Do đó ta có 2MP 4MN= hay MP=2MN Vậy ba điểm M, N, P thẳng hàng
B Bài tập tự luyện
Trang 4Bài 1 Cho tứ giác ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD và O là
trung điểm của MN Chứng minh rằng OA OB OC OD 0+ + + =
Hướng dẫn giải
Gọi E và F lần lượt là điểm đối xứng với O qua M và N
Suy ra M là trung điểm của AB và EO; N là trung điểm của DC và OF
Khi đó các tứ giác OAEB và OCFD là các hình bình hành
OA OB OE
+ = (quy tắc hình bình hành trong hình bình hành OAEB)
Và OD OC OF+ = (quy tắc hình bình hành trong hình bình hành OCFD)
OA OB OC OD OE OF
Vì O là trung điểm của MN nên OM = ON, mà OM = ME, ON = MF
Do đó OE = OF hay O là trung điểm của EF
Gọi E là điểm đối xứng với A qua M
Khi đó M là trung điểm của BC và AE
Suy ra tứ giác ABEC là hình bình hành
Trang 5Bài 3 Cho tam giác ABC
=Vậy với mọi điểm O, ta có: OA OB 2OC+ + =4OM
Trang 6Bài 4 Tích vô hướng của hai vectơ
A Lý thuyết
1 Góc giữa hai vectơ
Cho hai vectơ a và b đều khác 0 Từ một điểm O bất kì ta vẽ OA a= , OB b=
Góc AOB với số đo từ 0° đến 180° được gọi là góc giữa hai vectơ a và b
Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ a và b là ( )a, b
Nếu ( )a, b = thì ta nói rằng a và b vuông góc với nhau, kí hiệu a b90 ⊥
Chú ý:
+ Từ định nghĩa, ta có ( ) ( )a, b = b, a
+ Góc giữa hai vectơ cùng hướng và khác 0 luôn bằng 0°
+ Góc giữa hai vectơ ngược hướng và khác 0 luôn bằng 180°
+ Trong trường hợp có ít nhất một trong hai vectơ a hoặc b là 0 thì ta quy ước số đo
góc giữa hai vectơ đó là tùy ý (từ 0° đến 180°)
Ví dụ: Cho hình thoi ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo và BAD 60= Tính
Trang 7Do đó OD BO= (1)
Vì ABCD là hình thoi nên ta có CD // BA và CD = BA
Mà CD, BA cùng hướng
Do đó CD BA= (2)
Từ (1) (2), ta suy ra (OD, CD) (= BO, BA)=OBA
Vì ABCD là hình thoi nên AB = AD
Do đó tam giác ABD cân tại A
Mà BAD= 60
Suy ra tam giác ABD đều
Do đó DBA 60= hay OBA 60=
Vậy (OD, CD)=OBA= 60
b) Vì O là giao điểm của hai đường chéo nên O là trung điểm AC (tính chất hình thoi)
Do đó AO = OC
Mà AO, OC cùng hướng
Do đó AO OC=
Ta suy ra (OB, AO) (= OB, OC)=BOC
Vì ABCD là hình thoi nên hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau
Do đó BOC 90= Vậy (OB, AO)=BOC= 90c) Vì OC, AC cùng hướng nên (OC, AC)= 0
d) Vì OA, AC ngược hướng nên (OA, AC)=180
2 Tích vô hướng của hai vectơ
Cho hai vectơ a và b đều khác 0 Tích vô hướng của a và b là một số, kí hiệu là a.b , được xác định bởi công thức:
c) Khi a= thì tích vô hướng a.b được kí hiệu là b 2
a và được gọi là bình phương vô hướng của vectơ a
a =a a cos 0 =a Vậy bình phương vô hướng của một vectơ luôn bằng bình phương độ dài của vectơ đó
Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có AB = AC = a Tính các tích vô hướng:
AB.AC, AC.BC, BA.BC
Hướng dẫn giải
Trang 8- Tam giác ABC vuông cân tại A nên AB ⊥ AC
Chú ý: Trong Vật lí, tích vô hướng của F và d biểu diễn công A sinh bởi lực F khi thực
hiện độ dịch chuyển d Ta có công thức: A F.d=
Ví dụ: Một người dùng một lực F có độ lớn là 150 N kéo một thùng gỗ trượt trên sàn nhà
bằng một sợi dây có phương hợp góc 45° so với phương ngang Tính công sinh bởi lực F khi thùng gỗ trượt được 40 m
Hướng dẫn giải
Gọi A, d lần lượt là công sinh bởi lực F và độ dịch chuyển của thùng gỗ
Theo đề, ta có lực F hợp với phương ngang (hướng dịch chuyển) một góc 45°
Suy ra ( )F, d = 45
Ta có A = F.d=F d cos F, d( )=150.40.cos 45 =3000 2 (J)
Trang 9Vậy công sinh bởi lực F là 3000 2 (J)
3 Tính chất của tích vô hướng
Với ba vectơ a, b, c bất kì và mọi số k, ta có:
a.b=b.a; a b( )+c =a.b+a.c; ( )ka b=k a.b( ) ( )=a kb
Ví dụ: Áp dụng các tính chất của tích vô hướng, chứng minh rằng:
a−b = a−b a−b =a.a−a.b−a.b+b.b=a −2a.b+ b
Vậy ta có điều phải chứng minh
Ví dụ: Cho tam giác ABC có a = BC, b = AC, c = AB Tính cạnh BC theo hai cạnh còn
lại và góc A bằng cách sử dụng tính chất của vectơ và tích vô hướng của hai vectơ
2
b) Vì G là trọng tâm của tam giác đều ABC
Nên AG là đường trung tuyến của tam giác ABC
Do đó AG cũng là đường phân giác và cũng là đường cao của tam giác ABC
Trang 10Ta suy ra GAB BAC 60 30
2 2
= = =
Gọi I là giao điểm của AG và BC
Ta suy ra I là trung điểm BC
Bài 2 Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý Chứng minh rằng:
( )
13 13.1.1.cos a, b 0
Trang 11Bài 2 Tổng và hiệu của hai vectơ
A Lý thuyết
1 Tổng của hai vectơ
Cho hai vectơ a và b Từ một điểm A tùy ý, lấy hai điểm B, C sao cho AB=a, BC=b
Khi đó AC được gọi là tổng của hai vectơ a và b và được kí hiệu là a b+
Vậy a b AB BC AC+ = + =
Phép toán tìm tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ
Quy tắc ba điểm
Với ba điểm M, N, P, ta có MN NP MP+ =
Chú ý: Khi cộng vectơ theo quy tắc ba điểm, điểm cuối của vectơ thứ nhất phải là điểm
đầu của vectơ thứ hai
Ví dụ: Cho các điểm A, B, C, D, E, F phân biệt Thực hiện phép cộng các vectơ:
Trang 12+ Với mọi a , ta luôn có: a 0 0 a a+ = + =
Chú ý: Từ tính chất kết hợp, ta có thể xác định được tổng của ba vectơ a, b, c, kí hiệu là
Tổng hai vectơ đối nhau luôn bằng vectơ-không: a+ − = ( )a 0
3 Hiệu của hai vectơ
Trang 13Cho hai vectơ a và b Hiệu của hai vectơ a và b là vectơ a+ − và kí hiệu là a b( )b −
Phép toán tìm hiệu của hai vectơ được gọi là phép trừ vectơ
Ví dụ: Cho các điểm D, E, F, G phân biệt Thực hiện các phép trừ vectơ sau:
4 Tính chất vectơ của trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác
Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi MA MB 0+ = Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi GA GB GC 0+ + =
Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD có tâm O Hai điểm E, F lần lượt là trung điểm AB,
BC Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC Chứng minh rằng:
a) OA OC OD OE OF 0+ + + + = b) GA GC GD+ + =BD
2 = BF (với F là trung điểm BC)
Khi đó ta có tứ giác OEBF là hình bình hành
Áp dụng quy tắc hình bình hành cho OEBF, ta được: OE OF OB+ =
Vì ABCD là hình bình hành tâm O nên O là trung điểm AC và BD (tính chất hình bình hành)
Trang 14b) Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên GA GB GC 0+ + =
Theo quy tắc ba điểm, ta có: GD=GB BD+ =GB BC CD+ +
Trang 15Bài 3 Một con thuyền trôi theo hướng nam vận tốc 25 km/h, dòng nước chảy theo hướng
đông với vận tốc 10 km/h Tính độ dài vectơ tổng của hai vectơ nói trên (làm tròn kết quả đến hàng trăm)
Hướng dẫn giải
Gọi A là vị trí con thuyền xuất phát
Vận tốc của con thuyền được biểu diễn bởi AB Vận tốc của dòng nước được biểu diễn bởi BC Khi đó ta có vectơ tổng của hai vectơ nói trên là AB BC AC+ =
Trang 16Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, nghĩa là đã chỉ ra điểm đầu và điểm cuối
+ Vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B được kí hiệu là AB , đọc là vectơ AB + Đường thẳng đi qua hai điểm A và B gọi là giá của vectơ AB
+ Độ dài của đoạn thẳng AB gọi là độ dài của AB và được kí hiệu là AB Như vậy
ta có AB=AB
Chú ý: Một vectơ khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối có thể viết là
a, b, x, y,
2 Hai vectơ cùng phương, cùng hướng
Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau
Ví dụ: Tìm các vectơ cùng phương trong hình bên dưới
Trang 17Hướng dẫn giải
Trong hình trên, ta có:
+) MN có giá là đường thẳng MN, PQ có giá là đường thẳng PQ, mà hai đường
thẳng MN và PQ trùng nhau
Do đó MN và PQ là hai vectơ cùng phương vì chúng có giá trùng nhau
+) Ta có: EF có giá là đường thẳng EF, GH có giá là đường thẳng GH, mà hai
đường thẳng EF và GH song song với nhau
Do đó EF và GH là hai vectơ cùng phương vì chúng có giá song song
Chú ý:
+ Trong hình trên, hai vectơ MN và PQ cùng phương và có cùng hướng đi từ trái
sang phải Ta nói MN và PQ là hai vectơ cùng hướng
+ Hai vectơ EF và GH cùng phương nhưng ngược hướng với nhau ( EF có hướng
từ trên xuống dưới và GH có hướng từ dưới lên trên) Ta nói hai vectơ EF và GH
là hai vectơ ngược hướng
Nhận xét:
+ Hai vectơ cùng phương chỉ có thể cùng hướng hoặc ngược hướng
+ Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ AB và AC cùng phương
Giải thích: Ta thấy nếu ba điểm A, B, C thẳng hàng thì hai vectơ AB và AC có giá trùng nhau nên chúng cùng phương Ngược lại, nếu hai vectơ AB và AC cùng phương thì ta suy ta hai đường thẳng AB và AC phải song song hoặc trùng nhau
Mà hai đường thẳng này có điểm A là điểm chung, do đó đường thẳng AB và AC trùng nhau Khi đó ta có ba điểm A, B, C thẳng hàng Vì vậy, ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ AB và AC cùng phương
3 Vectơ bằng nhau – Vectơ đối nhau
Hai vectơ a và b được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài,
kí hiệu a b=
Trang 18Hai vectơ a và b được gọi là đối nhau nếu chúng ngược hướng và có cùng độ dài,
kí hiệu a= − Khi đó vectơ b được gọi là vectơ đối của vectơ a b
Chú ý:
+ Cho vectơ a và điểm O, ta luôn tìm được một điểm A duy nhất sao cho OA a=
Khi đó độ dài của a là độ dài đoạn thẳng OA, kí hiệu là a
+ Cho đoạn thẳng MN, ta luôn có NM= −MN
4 Vectơ-không
Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau gọi là vectơ-không, kí hiệu là 0
Chú ý:
+ Quy ước: vectơ-không có độ dài bằng 0
+ Vectơ-không luôn cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ
+ Mọi vectơ-không đều bằng nhau: 0=AA=BB=CC = , với mọi điểm A, B, C, + Vectơ đối của vectơ-không là chính nó
5 Tổng của hai vectơ
Cho hai vectơ a và b Từ một điểm A tùy ý, lấy hai điểm B, C sao cho
AB=a, BC=b Khi đó AC được gọi là tổng của hai vectơ a và b và được kí hiệu
là a+ bVậy a b AB BC AC+ = + = Phép toán tìm tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ
Quy tắc ba điểm
Với ba điểm M, N, P, ta có MN NP MP+ =
Trang 19Chú ý: Khi cộng vectơ theo quy tắc ba điểm, điểm cuối của vectơ thứ nhất phải là
điểm đầu của vectơ thứ hai
+ Với mọi a , ta luôn có: a 0 0 a a+ = + =
Chú ý: Từ tính chất kết hợp, ta có thể xác định được tổng của ba vectơ a, b, c , kí
hiệu là a b c+ + với a+ + =b c ( )a+b + c
Chú ý: Cho vectơ tùy ý a=AB
Ta có a+ − =( )a AB+ −( )AB =AB+BA=AA= 0
Tổng hai vectơ đối nhau luôn bằng vectơ-không: a+ − = ( )a 0
7 Hiệu của hai vectơ
Cho hai vectơ a và b Hiệu của hai vectơ a và b là vectơ a+ − và kí hiệu là ( )b
a− bPhép toán tìm hiệu của hai vectơ được gọi là phép trừ vectơ
Chú ý: Cho ba điểm O, A, B, ta có: OB OA− =AB
Trang 208 Tính chất vectơ của trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác
Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi MA MB 0+ =
Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi GA GB GC 0+ + =
9 Tích của một số với một vectơ và các tính chất
Cho số k ≠ 0 và a 0 Tích của số k với a 0 là một vectơ, kí hiệu là ka
Vectơ ka cùng hướng với a nếu k > 0, ngược hướng với a nếu k < 0 và có độ dài
10 Điều kiện để hai vectơ cùng phương
Hai vectơ a và b ( b 0 ) cùng phương khi và chỉ khi có số k sao cho a kb=
Nhận xét: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k ≠ 0 để
AB=kAC
Chú ý: Cho hai vectơ a và b không cùng phương Với mỗi c luôn tồn tại duy nhất
cặp số thực (m; n) sao cho c ma nb= +
11 Góc giữa hai vectơ
Cho hai vectơ a và b đều khác 0 Từ một điểm O bất kì ta vẽ OA a= , OB b=
Góc AOB với số đo từ 0° đến 180° được gọi là góc giữa hai vectơ a và b
Trang 21Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ a và b là ( )a, b
Nếu ( )a, b = thì ta nói rằng a và b vuông góc với nhau, kí hiệu a b90 ⊥
Chú ý:
+ Từ định nghĩa, ta có ( ) ( )a, b = b, a
+ Góc giữa hai vectơ cùng hướng và khác 0 luôn bằng 0°
+ Góc giữa hai vectơ ngược hướng và khác 0 luôn bằng 180°
+ Trong trường hợp có ít nhất một trong hai vectơ a hoặc b là 0 thì ta quy ước số
đo góc giữa hai vectơ đó là tùy ý (từ 0° đến 180°)
12 Tích vô hướng của hai vectơ
Cho hai vectơ a và b đều khác 0
Tích vô hướng của a và b là một số, kí hiệu là a.b , được xác định bởi công thức:
( )
a.b=a b cos a, b
Chú ý:
a) Trường hợp có ít nhất một trong hai vectơ a và b bằng 0 , ta quy ước a.b 0=
b) Với hai vectơ a và b , ta có a b⊥ a.b= 0c) Khi a= thì tích vô hướng a.b được kí hiệu là b 2
a và được gọi là bình phương
vô hướng của vectơ a
a =a a cos 0 = a Vậy bình phương vô hướng của một vectơ luôn bằng bình phương độ dài của vectơ đó
Chú ý: Trong Vật lí, tích vô hướng của F và d biểu diễn công A sinh bởi lực F
khi thực hiện độ dịch chuyển d Ta có công thức: A F.d=
13 Tính chất của tích vô hướng
Với ba vectơ a, b, c bất kì và mọi số k, ta có:
a.b=b.a; a b( )+c =a.b+a.c; ( )ka b=k a.b( ) ( )=a kb
Bài 1 Cho hình chữ nhật ABCD Gọi M là trung điểm đoạn BC
a) Gọi tên các vectơ cùng hướng với BC b) Gọi tên các vectơ ngược hướng với BM
Trang 22c) Chỉ ra các cặp vectơ bằng nhau và đối nhau có các điểm đầu hoặc điểm cuối là
A, B, C, D, M
Hướng dẫn giải
a) Vectơ-không cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ nên 0 cùng hướng với BC
Các vectơ cùng hướng với vectơ BC và khác 0 là các vectơ có giá song song hoặc
trùng với BC và có hướng từ trên xuống dưới giống như BC
Các vectơ thỏa mãn 2 điều kiện trên là: BM, MC, AD
Vậy có 4 vectơ thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 0, BM, MC, AD
b) Vì không cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ nên vectơ đối của
vectơ-không ngược hướng với BM
Vectơ đối của vectơ-không là chính nó nên 0 ngược hướng với vectơ BM
Các vectơ ngược hướng với BM là các vectơ có giá song song hoặc trùng với BM
và có hướng ngược lại với BM , nghĩa là các vectơ cần tìm có hướng dưới lên trên
Các vectơ thỏa mãn 2 điều kiện trên là: MB, CM, CB, DA
Vậy có 5 vectơ thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 0, MB, CM, CB, DA
- AB và CD là hai vectơ cùng độ dài nhưng ngược hướng nên AB= −CD
Do đó AB và CD là hai vectơ đối nhau
Tương tự ta có các cặp vectơ đối nhau là: BA và DC; AD và CB; DA và BC;
BM và CM; MB và MC
Bài 2 Một con thuyền trôi theo hướng nam vận tốc 25 km/h, dòng nước chảy theo
hướng đông với vận tốc 10 km/h Tính độ dài vectơ tổng của hai vectơ nói trên (làm tròn kết quả đến hàng trăm)
Hướng dẫn giải
Gọi A là vị trí con thuyền xuất phát