Sách bài tập toán 10 chương 5 vectơ chân trời sáng tạo

Bài 3 Tích của một số với một vectơ Bài 1 trang 96 SBT Toán 10 Tập 1 Cho hình bình hành ABCD có G là trọng tâm tam giác ABD Chứng minh rằng AC 3AG Lời giải Gọi O là giao điểm của AC và BD Khi đó AO =[.]

Bài 3: Tích của một số với một vectơ Bài 1 trang 96 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD có G là trọng tâm

tam giác ABD Chứng minh rằng: AC 3AG

Lời giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD Khi đó AO = 1

2 AC

G là trọng tâm tam giác ABD ⇒ AG = 2

3 AO

Vậy AG = 2

3.

1

2AC =

1

3AC hay AC3AG

Bài 2 trang 97 SBT Toán 10 Tập 1: Gọi AM là trung tuyến của tam giác ABC và

D là trung điểm của đoạn AM Chứng minh rằng:

a) 2DA DB DC 0   ;

b) 2OA OB OC  4OD, với O là điểm tùy ý

Lời giải:

a) Vì M là trung điểm của BC nên: DB DC 2DM  Mặt khác do D là trung điểm đoạn AM nên DM DA Vậy nên DB + DC = –2DA hay 2DA DB DC  2DA2DA0 b) Ta có: 2DA+ DB + DC

= 2( DO + OA ) + DO + OB + DO + OC

= 2 DO + 2 OA + DO + OB + DO + OC

= 4DO + 2OA + OB + OC Vậy 4DO + 2OA + OB + OC = 0 hay 2OA OB OC  4OD

Bài 3 trang 97 SBT Toán 10 Tập 1: Lấy một điểm M tùy ý Chứng minh rằng:

a) I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi MAMB2MI b) G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi MAMB MC 3MG

Lời giải:

a) Với điểm M bất kì ta có: MA + MB = MI + IA + MI + IB

I là trung điểm đoạn thẳng AB nên IA + IB = 0

Khi đó: MA + MB = MI + IA + MI + IB = 2 MI

Vậy I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi MAMB2MI

b) Với điểm M bất kì ta có:

MA + MB + MC = MG + GA + MG + GB + MG + GC = 3 MG + GA + GB +

GC

G là trọng tâm tam giác ABC nên GA + GB + GC = 0

Khi đó MA + MB + MC = 3 MG

Vậy G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi MA MB MC 3MG  

Bài 4 trang 97 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hai điểm phân biệt A và B Tìm điểm K

sao cho 3KA2KB0

Lời giải:

Vì 3KA2KB0 nên 3 KA = –2KB

Suy ra KA = 2

3



KB = 2 3

 ( KA + AB )

Do đó 5

3KA=

2 3



AB

Nên AK = 2

5 AB

Vậy K nằm giữa A và B sao cho AK = 2

5AB

Bài 5 trang 97 SBT Toán 10 Tập 1: Cho lục giác ABCDEF Gọi M, N, P, Q, R, S

lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm

Lời giải:

MN là đường trung bình của tam giác ABC nên ta có: MN 1AC

2

Tương tự ta có: PQ = 1

2CE ; RS =

1

2 EA

Suy ra MN + PQ + RS = 1

2 ( AC + CE + EA ) =

1

2 (AE + EA ) = 0 Vậy MN + PQ + RS = 0

Gọi G là trọng tâm tam giác MPR ta có: GM + GP + GR = 0

Ta lại có:

MN = MG + GN ; PQ = PG + GQ ; RS = RG + GS

Suy ra MN + PQ + RS = MG + GN + PG + GQ + RG + GS

= MG + PG + RG + GN + GQ + GS = 0

Mà GM + GP + GR = 0 ⇒ – ( GM + GP + GR ) = 0 ⇒ MG + PG + RG = 0

Do đó GN + GQ + GS = 0

Suy ra G là trọng tâm của tam giác NQS

Như vậy hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm

Bài 6 trang 97 SBT Toán 10 Tập 1: Máy bay A với vận tốc a , máy bay B bay cùng

hướng và có tốc độ chỉ bằng một nửa máy A Biểu diễn vectơ vận tốc b của máy

bay B theo vectơ vận tốc a của máy bay A

Lời giải:

Máy bay B bay cùng hướng và có tốc độ chỉ bằng một nửa máy A nên vectơ vận tốc

của máy bay B là: b 1a

2



Bài 4 Tích vô hướng của hai vectơ Bài 1 trang 100 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác vuông cân ABC có AB = AC

= a

Tính các tích vô hướng AB.AC, AC.CB

Lời giải:

Do tam giác ABC vuông tại A nên AB ⊥ AC ⇒ AB.AC = 0;

Ta có: CB = 2 2

AB AC = 2 2

a a = a 2 Tam giác ABC vuông cân tại A nên ACB = 45°

Như vậy: AC.CB = CA.CB = (CA.CB) = CA CB cos 45  = – a a 2 2

2 = –a2

Vậy AB.AC = 0 và AC.CB = –a2

Bài 2 trang 100 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình chữ nhật ABCD có tâm O và AD

= 2a, AB = a Tính:

a) AB.AO ; b) AB.AD

Lời giải:

a) Vì ABCD là hình chữ nhật nên AB = CD = a, AD = BC = 2a

Ta có: AC = 2 2

AB BC = 2 2

a (2a) = a 5

Xét tam giác BAC vuông tại B, có: cos BAO = cosBAC = AB a 1

AC 5a 5 ABCD là hình chữ nhật nên O là trung điểm của AC và BD

⇒ AO = 1

2AC =

a 5

2

AB.AO = AB AO cos BAO = a a 5

2

1

5 =

2 a

2

Vậy AB.AO =

2 a

2

b) Do ABCD là hình chữ nhật nên AB⊥ AD ⇒ AB.AD = 0

Bài 3 trang 101 SBT Toán 10 Tập 1: Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính

AB = 2R Gọi M và N là hai điểm thuộc nửa đường tròn sao cho AM và BN cắt nhau

tại I như Hình 5

a) Chứng minh AI.AMAI.AB; BI.BNBI.BA

b) Tính AI.AM BI.BN theo R

Lời giải:

a) AB là đường kính nên AMB = ANB = 90° ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )

AM ⊥ MB và AN ⊥ NB

Ta có: AI AM = AI ( AB + BM ) = AI AB + AI BM

Mà AI ⊥ BM do AM ⊥ MB nên AI BM = 0

Như vậy AI AM = AI AB + 0 = AI AB Tương tự ta có: BI BN = BI ( BA + AN ) = BI BA + BI AN

Mà BI ⊥ AN do AN ⊥ NB nên BI AN = 0

Như vậy BI BN = BI BA + 0 = BI BA b) Ta có:

AI.AMBI.BN = AI AB + BI BA = AI AB – BI AB = AB ( AI – BI )

= AB ( AI + IB ) = AB AB = AB2 = 4R2

Bài 4 trang 101 SBT Toán 10 Tập 1: Tính công sinh bởi một lực F có độ lớn 60N

kéo một vật dịch chuyển một vectơ d có độ dài 200 m Biết  F, d = 60°

Lời giải:

Áp dụng công thức tính công ta có:

A = F d cos F, d = 60.200.cos60° = 6000 (J)

Vậy công sinh bởi lực F bằng 6000 J

Bài 5 trang 101 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hai vectơ có độ dài lần lượt là 6 và 8 có

tích vô hướng là 24 Tính góc giữa hai vectơ đó

Lời giải:

Gọi hai vectơ lần lượt là v1, v2 và góc giữa hai vectơ là α

Ta có v1 v2 = v1.v2 cos α = 6.8.cos α = 24

⇒ cos α = 1

2 ⇒ α = 60°

Vậy góc giữa hai vectơ đề cho là 60°

Bài tập cuối chương 5

A Trắc nghiệm

Bài 1 trang 101 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3, BC = 4 Độ

dài của vectơ AC là:

A 5;

B 6;

C 7;

D 9

Lời giải:

Đáp án đúng là A

AC = AC = 2 2

AB BC = 2 2

3 4 = 5

Chọn đáp án A

Bài 2 trang 101 SBT Toán 10 Tập 1: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O Số các vectơ

bằng vectơ OC có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là:

A 2;

B 3;

C 4;

D 6

Lời giải:

Đáp án đúng là A

Các vectơ bằng vectơ OC có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là: AB ,

ED

Vậy có 2 vectơ thỏa mãn yêu cầu

Bài 3 trang 101 SBT Toán 10 Tập 1: Cho ba điểm A, B, C Khẳng định nào sau đây là

đúng?

A CA BA BC;

B AB AC BC;

C AB CA CB;

D AB BC CA

Lời giải:

Đáp án đúng là C

Theo quy tắc ba điểm ta có: AB CA CB

Như vậy khẳng định C đúng Khẳng định A, B, D sai

Bài 4 trang 101 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hai điểm phân biệt A và B Điều kiện để điểm

I là trung điểm của đoạn thẳng AB là:

A IA = IB;

B IAIB;

C IA IB;

D AIBI

Lời giải:

Đáp án đúng là C

I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi IA + IB = 0 hay IA IB Vậy chọn đáp án C

Bài 5 trang 101 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm và I là trung

điểm của đoạn thẳng BC Khẳng định nào sau đây là đúng?

A GA2GI;

B IG 1IA

3

  ;

C GB GC 2GI;

D GB GC GA 

Lời giải:

Đáp án đúng là C

Ta có:

GA 2GI Khẳng định A sai

1

IG IA

3

 Khẳng định B sai

I là trung điểm của BC nên GB GC 2GI   GA Khẳng định C đúng Khẳng định D

sai

Vậy chọn đáp án C

Bài 6 trang 102 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD Khẳng định nào sau

đây là đúng?

A ACBD2BC;

B AC BC AB;

C AC BD 2CD;

D AC AD CD

Lời giải:

Đáp án đúng là A

Ta có:

AC + BD = AB + BC + BC + CD = 2 BC ( vì AB + CD = 0 ) Vậy khẳng định A đúng Khẳng định C sai

Ta có: AC BC AB BC BC  AB 2BC AB Do đó khẳng định B sai

Ta lại có: AC AD AC AC CD  2AC CD CD Do đó khẳng định D sai Vậy chọn đáp án A

Bài 7 trang 102 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC Đặt aBC, bAC Các cặp vectơ nào sau đây cùng phương?

A 2ab và a2b;

B a2b và 2ab;

C 5ab và 10a 2b;

D ab và ab

Lời giải:

Đáp án đúng là C

Ta có thể thấy:

10a 2b

  = – 2 ( 5ab )

Như vậy 5a b và 10a 2b là cặp vectơ cùng phương

Bài 8 trang 102 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông ở A và có B = 50°

Khẳng định nào sau đây là sai?

A AB, BC = 130°; 

B BC, AC = 40°; 

C AB,CB = 50°; 

D AC,CB = 120° 

Lời giải:

Đáp án đúng là D

Ta có: AB, BC  BA, BC   BA, BC là góc kề bù với ABC

⇒ AB, BC = 180° – 50° = 130° Khẳng định A đúng 

BC, AC =  CB,CA = ACB = 90° – 50° = 40° Khẳng định B đúng 

AB,CB =  BA, BC = ABC = 50° Khẳng định C đúng 

AC,CB  CA,CB   CA,CB là góc kề bù với ACB

⇒ AC,CB = 180° – 40° = 140° Khẳng định D sai 

Vậy chọn đáp án D

Bài 9 trang 102 SBT Toán 10 Tập 1: Cho a và b là hai vectơ cùng hướng và đều khác

vectơ 0 Khẳng định nào sau đây là đúng?

A a.ba b;

B a.b0;

C a.b 1;

D a.b a b

Lời giải:

Đáp án đúng là A

Ta có:

a.ba b cos(a, b)

Do a và b là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ 0 nên cos(a, b) = cos0° = 1 Vậy a.ba b Đáp án A đúng

Bài 10 trang 102 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A Khẳng định nào

sau đây là sai?

A AB.ACBA.BC;

B AC.CBAC.BC;

C AB.BC CA.CB ;

D AC.BCBC.AB

Lời giải:

Đáp án đúng là D

Do AB ⊥ AC nên AB AC = 0

Ta lại có BA BC = BA.BC.cos B > 0 (vì B là góc nhọn nên cos B > 0) Do đó

AB.ACBA.BC

Khẳng định A đúng

AC,CB  CA,CB   CA,CB là góc tù nên AC.CB AC CB cos AC.CB  < 0;

AC.BC là góc nhọn nên  AC.BCAC BC cos AC.BC > 0 Suy ra AC.CBAC.BC

Khẳng định B đúng

AB, BC  BA, BC   BA, BC là góc tù nên AB.BC < 0; CA.CB là góc nhọn 

nên CA.CB > 0 Suy ra AB.BC CA.CB Khẳng định C đúng

AC.BC là góc nhọn nên AC.BC > 0;  BC.AB là góc tù nên BC.AB < 0 Suy ra 

AC.BCBC.AB

Khẳng định D sai

Vậy chọn đáp án D

B Tự luận

Bài 1 trang 102 SBT Toán 10 Tập 1: Cho ba điểm A, B, C phân biệt thẳng hàng Trong

trường hợp nào thì hai vectơ AB và AC : a) cùng hướng?

b) ngược hướng?

Lời giải:

a) Hai vectơ AB và AC cùng hướng khi B nằm giữa A và C

b) Hai vectơ AB và AC ngược hướng khi A nằm giữa B và C

Bài 2 trang 102 SBT Toán 10 Tập 1: Cho ba vectơ a , b , c cùng phương Chứng tỏ rằng

có ít nhất hai vectơ cùng hướng trong ba vectơ đó

Lời giải:

Trong ba vectơ a , b , c chọn hai vectơ tùy ý:

- Nếu chúng cùng hướng thì đó là hai vectơ cần tìm

- Nếu chúng ngược hướng thì vectơ còn lại sẽ cùng hướng với một trong hai vectơ đã chọn

Bài 3 trang 102 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O)

Gọi H là trực tâm tam giác ABC và B’ là điểm đối xứng với B qua tâm O Hãy so sánh các vectơ AH và B'C, AB' và HC

Lời giải:

Do BB’ là đường kính nên BCB' = 90° ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )

⇒ BC ⊥ B’C

H là trực tâm tam giác ABC nên BC ⊥ AH

Suy ra AH // B’C ( do đều vuông góc với BC )

Do BB’ là đường kính nên BAB'= 90° ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )

⇒ BA ⊥ B’A

H là trực tâm tam giác ABC nên CH ⊥ BA

Suy ra CH // B’A ( do đều vuông góc với BA )

Như vậy AB’CH là hình bình hành ( DHNB hình bình hành )

⇒ AH = B'C và AB' = HC

Vậy AH = B'C và AB' = HC

Bài 4 trang 103 SBT Toán 10 Tập 1: Chứng minh rằng với hai vectơ không cùng phương

a và b , ta có: a    b a b a b

Lời giải:

Vẽ ba điểm O, A, B sao cho OA = a , AB = b Ta có OB = a + b Trong tam giác OAB ta có bất đẳng thức:

OA AB ≤ OB ≤ OA + AB Suy ra a    b a b a b

Bài 5 trang 103 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình ngũ giác đều ABCDE tâm O Chứng

minh rằng: OA OB OC OD OE    0

Lời giải:

Đặt u = OA OB OC OD OE   

Ta có: u = OAOB OE   OCOD

Do OA nằm trên đường phân giác của BOE và DOC của hai tam giác cân BOE và DOC

nên ta có các vectơ OB OE  và OC OD  nằm trên đường thẳng OA, suy ra u nằm

trên đường thẳng OA

Chứng minh tương tự ta có u cũng đồng thời nằm trên đường thẳng OB Như vậy u = 0

Vậy OA OB OC OD OE    = 0

Bài 6 trang 103 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC, gọi A’ là điểm đối xứng với

B qua A, gọi B’ là điểm đối xứng với C qua B, gọi C’ là điểm đối xứng với A qua C

Chứng minh rằng với một điểm O tùy ý, ta có: OA OB OC OA' OB' OC'    

Lời giải:

A’ là điểm đối xứng với B qua A nên AB = AA'

B’ là điểm đối xứng với C qua B nên BC = BB'

C’ là điểm đối xứng với A qua C nên CA = CC'

Ta có: OA + OB + OC = OA' + AA' + OB' + BB' + OC' + CC'

= OA' + OB' + OC' + AB + BC + CA

= OA' + OB' + OC' + AC + CA

= OA' + OB' + OC'

Vậy OA OB OC  OA' OB' OC' 

Bài 7 trang 103 SBT Toán 10 Tập 1: Tam giác ABC là tam giác gì nếu nó thỏa mãn một

trong các điều kiện sau đây?

a) ABACABAC;

b) Vectơ AB AC vuông góc với vectơ AB CA

Lời giải:

a) Gọi M là trung điểm BC ta có:

AB + AC = 2 AM ⇒ AB AC = 2AM

AB AC = CB = BC

ABAC ABAC ⇔ 2AM = BC

Khi đó tam giác ABC vuông tại A

b) Vectơ AB AC vuông góc với vectơ AB CA ⇔ ABAC.AB CA  = 0 hay ABAC.AB AC  = 0

Suy ra AB2 – AC2 = 0 hay AB = AC Khi đó tam giác ABC cân tại A

Vậy Vectơ ABACvuông góc với vectơ AB CA khi tam giác ABC cân tại A

Bài 8 trang 103 SBT Toán 10 Tập 1: Tứ giác ABCD là tứ giác gì nếu nó thỏa mãn một

trong các điều kiện sau đây?

a) AC BC DC; b) DBkDC DA

Lời giải:

a) AC BC DC ⇒ AB = DC ⇒ ABCD là hình bình hành

b) DBkDC DA ⇒ DB – DA = k DC ⇒ AB = k DC ⇒ AB // CD

Như vậy ta có ABCD là hình thang

Bài 9 trang 103 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC, trên cạnh AB lấy hai điểm M,

N sao cho AM = MN = NB Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNC có cùng trọng

tâm

Lời giải:

Ta có: MA = NB và hai vectơ MA , NB cùng phương, ngược chiều ⇒ MA + NB = 0

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

Ta có: GA + GB + GC = GM + MA + GN + NB + GC = GM + GN + GC = 0

Vậy G cũng là trọng tâm tam giác MNC

Vậy hai tam giác ABC và MNC có cùng trọng tâm

Bài 10 trang 103 SBT Toán 10 Tập 1: Cho ba điểm O, M, N và số thực k Lấy các điểm

M’ và N’ sao cho OM' kOM , ON'kON Chứng minh rằng: M'N'kMN

Lời giải:

Ta có:

M'N' = ON' – OM' = k ON – kOM = k ( ON – OM ) = k MN

Vậy M'N'kMN

Bài 11 trang 103 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC, O là điểm sao cho ba vectơ

OA , OB , OC có độ dài bằng nhau và OA + OB + OC = 0 Tính các góc AOB , BOC , COA

Lời giải:

Ta có OA = OB = OC nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Lại có OA + OB + OC = 0 nên O cũng là trọng tâm tam giác ABC

Suy ra ABC là tam giác đều ( vì tâm đường tròn ngoại tiếp và trọng tâm trùng nhau)

⇒ AB = BC = CA

Như vậy AOB = BOC = COA = 360

3

 = 120° ( vì đều là góc ở tâm chắn các cung bằng nhau )

Bài 12 trang 103 SBT Toán 10 Tập 1: Cho ngũ giác ABCDE Gọi M, N, P, Q, R lần

lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE, EA Chứng minh hai tam giác EMP và NQR có cùng trọng tâm

Lời giải:

Gọi G là trọng tâm tam giác NRQ, ta có: GN + GR + GQ = 0

N là trung điểm của AB nên GB + GC = 2GN ⇒ GN = 1

2( GB + GC )

Tương tự ta có: GR = 1

2 ( GE + GA ) và GQ =

1

2 ( GD + GE )

GN + GR + GQ = 1

2( GB + GC ) +

1

2 ( GE + GA ) +

1

2 ( GD + GE )

= 1

2( GE + GE ) +

1

2( GA + GB ) +

1

2 ( GC + GD )

= GE + GM + GP

( Do M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD nên 1

2( GA + GB ) = GM

và 1

2 ( GC + GD ) = GN )

Suy ra G cũng là trọng tâm tam giác EMP

Vậy hai tam giác EMP và NQR có cùng trọng tâm

Bài 1: Khái niệm vectơ Bài 1 trang 91 SBT Toán 10 Tập 1: Bạn hãy tìm sự khác biệt giữa hai đại lượng

sau:

- Chiếc xe máy có giá tiền là 30 triệu đồng

- Chiếc thuyền chạy với vận tốc là 30 km/h theo hướng tây nam

Lời giải:

- Chiếc xe máy có giá tiền là 30 triệu đồng: đại lượng vô hướng

- Chiếc thuyền chạy với vận tốc là 30 km/h theo hướng tây nam: đại lượng chỉ rõ giá trị và hướng

Bài 2 trang 91 SBT Toán 10 Tập 1: Trong các đại lượng sau, đại lượng nào cần

được biểu diễn bởi vectơ?

Nhiệt độ, lực, thể tích, tuổi, độ dịch chuyển, vận tốc

Lời giải:

Các đại lượng cần được biểu diễn bởi vectơ: lực, độ dịch chuyển, vận tốc bởi đây là những đại lượng có hướng

Bài 3 trang 91 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình thang ABCD với hai đáy là AB, CD

và có hai đường chéo cắt nhau tại O

a) Gọi tên hai vectơ cùng hướng với AO b) Gọi tên hai vectơ ngược hướng với AB

Lời giải: