Bài 3 Các phép toán trên tập hợp Bài 1 trang 16 SBT Toán lớp 10 Tập 1 Xác định A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A trong các trường hợp sau a) A = {a; b; c; d}, B = {a; c; e}; b) A = {x | x2 – 5x – 6 = 0}, B =[.]
Trang 1Bài 3 Các phép toán trên tập hợp Bài 1 trang 16 SBT Toán lớp 10 Tập 1: Xác định A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A trong
Trang 2Cộng vế với vế hai phương trình của hệ này, ta được 13x = 39 hay x = 3
Thay x = 3 vào (1) ta được 3 3 – 2y = 11, suy ra y = – 1
Do đó, hệ phương trình (I) có một nghiệm là (3; – 1)
Bài 4 trang 17 SBT Toán lớp 10 Tập 1: Kí hiệu A là tập hợp các học sinh nữ của
trường, B là tập hợp các học sinh khối 10 của trường; C, D lần lượt là tập hợp các học sinh nữ, các học sinh nam khối 10 của trường (Hình 7) Hãy điền kí hiệu tập hợp thích hợp vào chỗ chấm
Trang 3a) Do A là tập hợp các học sinh nữ của trường và B là tập hợp các học sinh khối 10
của trường nên A ∩ B là tập hợp các học sinh nữ khối 10 của trường và chính là tập
C
Do đó, A ∩ B = C
b) Do C, D lần lượt là tập hợp các học sinh nữ, các học sinh nam khối 10 của trường
nên C ∪ D là tập hợp các học sinh khối 10 của trường và chính là tập hợp B
Do đó, C ∪ D = B
c) B \ A là tập hợp các phần tử thuộc B nhưng không thuộc A, mà B là tập hợp các
học sinh khối 10 của trường và A là tập hợp các học sinh nữ của trường, do đó B \
A là tập hợp các học sinh nam khối 10 của trường và chính là tập hợp D
Trang 4a) Ta có B ⊂ A, ta biểu diễn sơ đồ Ven như sau:
Khi đó, mọi phần tử của B đều là phần tử của A
Vậy A ∩ B = B, A ∪ B = A và B \ A = ∅
b) Ta có A ∩ B = ∅ nên A và B là hai tập hợp rời nhau:
Trang 5Khi đó mọi phần tử của A và B đều khác nhau
Trang 6Từ sơ đồ, ta suy ra B \ A = [0; 5) \ [– 1; 3] = (3; 5)
Bài 8 trang 17 SBT Toán lớp 10 Tập 1: Lớp 10E có 18 bạn chơi cầu lông, 15 bạn
chơi cờ vua, 10 bạn chơi cả hai môn và 12 bạn không chơi môn nào trong hai môn
thể thao này
a) Lớp 10E có bao nhiêu bạn chơi ít nhất một môn thể thao trên?
b) Lớp 10E có bao nhiêu học sinh?
Hướng dẫn giải
Kí hiệu A là tập hợp các học sinh của lớp 10E, B = {x ∈ A | x chơi cầu lông},
C = {x ∈ A | x chơi cờ vua}, D = {x ∈ A |x không chơi cầu lông, cũng không chơi
cờ vua}
Theo giả thiết, n(B) = 18, n(C) = 15, n(B ∩ C) = 10 và n(D) = 12
a) Số học sinh của lớp 10E chơi ít nhất một môn thể thao là:
Trang 7a) Ta có A ∪ B = A khi và chỉ khi mọi phần tử của B đều là phần tử của A hay B
phải là tập con của A
Mà A = {1; 2; 3}, nên các tập con của A là: ∅, {1}, {2}, {3}, {1; 2}, {1; 3}, {2; 3},
Bài 11 trang 17 SBT Toán lớp 10 Tập 1: Cho U = {3; 5; a2}, A = {3; a + 4} Tìm
giá trị của a sao cho CUA = {1}
Hướng dẫn giải
Ta có: CUA= U \ A = {x | x ∈ U và x ∉ A}
Mà CUA= {1}, do đó, 1 ∈ U = {3; 5; a2}, suy ra a2 = 1 nên a = 1 hoặc a = – 1
+ Với a = 1, suy ra a + 4 = 1 + 4 = 5 nên ta có U = {1; 3; 5} và A = {3; 5}
Khi đó, C A= U \ A = {1} (thỏa mãn)
+ Với a = – 1, suy ra a + 4 = – 1 + 4 = 3 nên ta có U = {1; 3; 5} và A = {3} Khi đó, CUA= U \ A = {1; 5} (không thỏa mãn)
Vậy giá trị cần tìm là a = 1
Trang 8Bài tập cuối chương 1
Ta có {0} là một tập hợp, 0 là một phần tử nên viết 0 = {0} là sai, do đó đáp án A sai
0 là một phần tử của tập hợp {0}, do đó ta viết 0 ∈ {0} là đúng nên đáp án B đúng
Kí hiệu ⊂ dùng để chỉ mối quan hệ giữa các tập hợp nên đáp án C sai
Vậy trong các đáp án đã cho, đáp án B là đáp án đúng
Bài 3 trang 18 SBT Toán lớp 10 Tập 1: Cho số thực x Mệnh đề nào sau đây là điều
Trang 9Vậy mệnh đề “x ≥ 2” là điều kiện đủ của “x > 1”
Bài 4 trang 18 SBT Toán lớp 10 Tập 1: Mệnh đề nào sau đây sai?
Vậy trong các mệnh đề đã cho, mệnh đề (1) và (3) là mệnh đề sai
Bài 5 trang 18 SBT Toán lớp 10 Tập 1: Cho tập hợp M = {x ∈ ℕ | x = 5 – m, m ∈ ℕ}
Do m và x là các số tự nhiên, nên ta lần lượt thay các giá trị của m bởi 0, 1, 2, để tìm x thỏa mãn
Với m = 6 thì x = 5 – 6 = – 1 ∉ ℕ, không thỏa mãn, ta dừng lại
Vậy các giá trị x thỏa mãn là 0, 1, 2, 3, 4, 5
Do đó, M = {0; 1; 2; 3; 4; 5} nên tập hợp M có 6 phần tử
Bài 6 trang 18 SBT Toán lớp 10 Tập 1: Tập hợp {y ∈ ℕ | y = 5 – x2, x ∈ ℕ} có bao nhiêu tập hợp con?
Trang 10Với x = 3 thì y = 5 – 32 = – 4 ∉ ℕ, không thỏa mãn, ta dừng lại
Vậy các giá trị y thỏa mãn là 1, 4, 5
Do đó, {y ∈ ℕ | y = 5 – x2, x ∈ ℕ} = {1; 4; 5}
Các tập con của tập hợp {1; 4; 5} là ∅, {1}, {4}, {5}, {1; 4}, {1; 5}, {4; 5}, {1; 4; 5}
Vậy có 8 tập con thỏa mãn
Ngoài ra, ta có thể tính số tập con của một tập gồm k phần tử bằng cách tính 2k
Ta có: x – 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1
Do đó, B = {x | x – 1 ≥ 0} = {x | x ≥ 1} = [1; + ∞)
Vậy A \ B = {– 1; 0; 1; 2} \ [1; + ∞) = {– 1; 0}
Bài 9 trang 18 SBT Toán lớp 10 Tập 1: Cho A = {x | x là hình bình hành}, B = {x | x là
hình chữ nhật}, C = {x | x là hình thoi}, D = {x | x là hình vuông} Mệnh đề nào sau đây
sai?
Trang 11Lấy phần tử a tùy ý thuộc D, khi đó a là một hình vuông, mà hình vuông có 4 góc bằng
nhau và bằng 90° nên nó cũng là hình chữ nhật, do đó a thuộc B
Vậy D ⊂ B nên B ∩ D = D, đáp án D đúng
Tương tự hình vuông thì có 4 cạnh bằng nhau nên nó cũng là một hình thoi, do đó a thuộc
C Vậy D ⊂ C nên C ∩ D = D, đáp án B đúng
Hình thoi có 4 cạnh bằng nhau, hình chữ nhật có 4 góc bằng nhau và bằng 90°, do đó một
hình vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi thì nó sẽ là hình vuông nên B ∩ C = D, đáp án
C và A ∩ B = ∅ Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau
c) Vì B ⊂ C nên mọi phần tử của B đều là phần tử của C nên x ∈ B thì x ∈ C, ta có mệnh
đề đúng là “Nếu x ∈ B thì x ∈ C” hay “x ∈ B là điều kiện đủ để x ∈ C”, do đó c) đúng
Trang 12d) Do A ∩ B = ∅, nên A và B là hai tập rời nhau hay mọi phần tử của A đều khác các phần
tử trong B, khi đó ta có “Nếu x ∈ A thì x ∉ B” là mệnh đề đúng, vậy d) đúng
e) Do A ∩ B = ∅, nên A và B là hai tập rời nhau hay mọi phần tử của A đều khác các phần
tử trong B, khi đó ta có “Nếu x ∈ B thì x ∉ A” là mệnh đề đúng, do đó mệnh đề còn được
phát biểu dưới dạng “x ∈ B là điều kiện đủ để x ∉ A”, vậy e) đúng
Bài 2 trang 19 SBT Toán lớp 10 Tập 1: Cho tập hợp A = {1; 2} Tìm tất cả các tập hợp
Vậy các tập hợp B thỏa mãn yêu cầu là: {3}, {1; 3}, {2; 3}, {1; 2; 3}
Bài 3 trang 19 SBT Toán lớp 10 Tập 1: Cho hai tập hợp A = {1; 2; 3; 4}, B = {3; 4; 5}
Tìm tất cả các tập hợp M thỏa mãn M ⊂ A và M ∩ B = ∅
Hướng dẫn giải
Do M ∩ B = ∅ nên M và B là hai tập hợp rời nhau hay mọi phần tử của tập hợp M đều
khác các phần tử trong tập hợp B, do đó tập hợp M không chứa các phần tử 3; 4; 5 (1)
Lại có M ⊂ A, do đó mọi phần tử của M đều là phần tử của A nên M có thể chứa các phần
Bài 4 trang 19 SBT Toán lớp 10 Tập 1: Một lớp học có 36 học sinh, trong đó 20 người
thích bóng rổ, 14 người thích bóng bàn và 10 người không thích môn nào trong hai môn thể thao này
a) Có bao nhiêu học sinh của lớp thích cả hai môn trên?
b) Có bao nhiêu học sinh của lớp thích bóng rổ nhưng không thích bóng bàn?
Hướng dẫn giải
Kí hiệu A là tập hợp các học sinh của lớp, B = {x ∈ A | x thích bóng rổ},
C = {x ∈ A | x thích bóng bàn}, D = {x ∈ A | x không thích môn nào trong hai môn} Theo giả thiết, ta có: n(A) = 36, n(B) = 20, n(C) = 14 và n(D) = 10
a) Số học sinh thích một trong hai môn là:
n(B ∪ C) = n(A) – n(D) = 36 – 10 = 26 (bạn)
Số học sinh thích cả hai môn thể thao trên là:
n(B ∩ C) = n(B) + n(C) – n(B ∪ C) = 20 + 14 – 26 = 8 (bạn)
Trang 13b) Số học sinh thích bóng rổ nhưng không thích bóng bàn là:
n(B \ C) = n(B) – n(B ∩ C) = 20 – 8 = 12 (bạn)
Bài 1 Mệnh đề Bài 1 trang 8 SBT Toán lớp 10 Tập 1: Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề, câu
nào là mệnh đề chứa biến?
a) Số 2100 có 50 chữ số khi viết trong hệ thập phân;
b) 0,0001 là số rất bé;
c) 2 55; d) 2x + 1 > 0;
e) Virus SARS-CoV-2 rất nguy hiểm, đúng không?
e) Câu “Virus SARS-CoV-2 rất nguy hiểm, đúng không?” là một câu nghi vấn nên
Trang 14+ Hôm nay trời đẹp lắm!
+ Bạn đã ăn cơm chưa?
Bài 3 trang 8 SBT Toán lớp 10 Tập 1: Phát biểu mệnh đề phủ định của các mệnh
đề sau đây và xét tính đúng sai của các mệnh đề phủ định đó
a) P: “Năm 2020 là năm nhuận”;
b) Q: “ 2 không phải là số vô tỉ”;
c) R: “Phương trình x2 + 1 = 0 có nghiệm”;
Hướng dẫn giải
a) Mệnh đề phủ định của mệnh đề P là mệnh đề P : “Năm 2020 không là năm nhuận”
Do 2020 chia hết cho 4 nên năm 2020 là năm nhuận, do đó P là mệnh đề sai
b) Mệnh đề phủ định của mệnh đề Q là mệnh đề Q : “ 2 là số vô tỉ”
Mệnh đề Q này là mệnh đề đúng
c) Mệnh đề phủ định của mệnh đề R là mệnh đề R : “Phương trình x2 + 1 = 0 không
có nghiệm” hoặc “Phương trình x2 + 1 = 0 vô nghiệm”
Ta có: x2 ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ, do đó x2 + 1 ≥ 0 + 1 = 1 > 0 với mọi x ∈ ℝ
Vậy phương trình x + 1 = 0 vô nghiệm hay mệnh đề R là mệnh đề đúng
Bài 4 trang 8 SBT Toán lớp 10 Tập 1: Với mỗi cặp mệnh đề P và Q sau đây, hãy
phát biểu mệnh đề P ⇒ Q và xét tính đúng sai của nó
a) P: “Hai tam giác ABC và DEF bằng nhau”;
Q: “Hai tam giác ABC và DEF đồng dạng”
b) Mệnh đề P ⇒ Q: “Nếu b2 ≥ 4ac thì phương trình ax2 + bx + x = 0 vô nghiệm” Mệnh đề này là mệnh đề sai
Vì b2 ≥ 4ac nên b2 – 4ac ≥ 0
Khi đó: ∆ = b2 – 4ac ≥ 0 nên phương trình ax2 + bx + x = 0 có nghiệm
Bài 5 trang 8 SBT Toán lớp 10 Tập 1: Ta có phát biểu lại mệnh đề:
Trang 15“Mỗi hình thoi là một hình bình hành”
thành mệnh đề kéo theo:
“Nếu một tứ giác là hình thoi thì nó là một hình bình hành”
Hãy phát biểu lại mỗi mệnh đề sau thành mệnh đề kéo theo”
a) Hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau;
b) Tổng của hai số hữu tỉ là một số hữu tỉ;
c) Lập phương của một số âm là một số âm
Hướng dẫn giải
a) Nếu một tứ giác là hình chữ nhật thì nó có hai đường chéo bằng nhau
b) Nếu hai số nào đó đều là số hữu tỉ thì tổng của chúng cũng là một số hữu tỉ
c) Nếu một số nào đó là số âm thì lập phương của nó cũng là số âm
Bài 6 trang 8 SBT Toán lớp 10 Tập 1: Phát biểu mệnh đề đảo của các mệnh đề sau
và xét tính đúng sai của mệnh đề đảo đó
a) Nếu một số chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 3;
b) Nếu tam giác ABC có AB = AC thì tam giác ABC cân;
c) Nếu tam giác ABC có hai góc bằng 60° thì tam giác ABC đều
Hướng dẫn giải
Mệnh đề có dạng “Nếu P thì Q” thì mệnh đề đảo của nó là mệnh đề “Nếu Q thì P”
a) Mệnh đề đảo của mệnh đề “Nếu một số chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 3” là
mệnh đề “Nếu một số chia hết cho 3 thì nó chia hết cho 6” Mệnh đề này là mệnh đề
sai
Thật vậy, giả sử chọn số 3, ta có 3 chia hết cho 3 nhưng 3 không chia hết cho 6 b) Mệnh đề đảo của mệnh đề “Nếu tam giác ABC có AB = AC thì tam giác ABC cân” là mệnh đề “Nếu tam giác ABC cân thì AB = AC” Đây là mệnh đề đúng (theo tính chất của tam giác cân)
c) Mệnh đề đảo của mệnh đề “Nếu tam giác ABC có hai góc bằng 60° thì tam giác ABC đều” là mệnh đề “ Nếu tam giác ABC đều thì nó có hai góc bằng 60°” Mệnh
đề này là mệnh đề đúng
Vì ∆ABC đều nên ba góc của tam giác bằng nhau và bằng 60°, do đó ∆ABC đều thì
nó có hai góc bằng 60°
Bài 7 trang 9 SBT Toán lớp 10 Tập 1: Sử dụng các thuật ngữ “điều kiện cần”,
“điều kiện đủ”, “điều kiện cần và đủ” và cặp mệnh đề P, Q sau đây để thành lập một mệnh đề đúng
a) P: “a = b”, Q: “a2 = b2” (a, b là hai số thực nào đó)
b) P: “Tứ giác ABCD có hai đường chéo bằng nhau”;
Q: “Tứ giác ABCD là hình thang cân”
c) P: “Tam giác ABC có hai góc bằng 45°”, Q: “Tam giác ABC vuông cân”
Hướng dẫn giải
a) Ta có khi P đúng thì Q cũng đúng Do đó, mệnh đề P ⇒ Q là mệnh đề đúng Vậy ta có phát biểu: “Với a và b là hai số thực nào đó, a = b là điều kiện đủ để a2 =
b2” (hoặc “a2 = b2 là điều kiện cần để a = b”)
b) Ta có khi Q đúng thì P đúng Do đó, mệnh đề Q ⇒ P là mệnh đề đúng
Trang 16Vậy ta có phát biểu: “Tứ giác ABCD có hai đường chéo bằng nhau là điều kiện cần
để nó là hình thang cân” (hoặc “Tứ giác ABCD là hình thang cân là điều kiện đủ để
nó có hai đường chéo bằng nhau”)
c) Ta có khi P đúng thì Q đúng và ngược lại Q đúng thì P cũng đúng Do đó, P và Q
là hai mệnh đề tương đương
Vậy ta có phát biểu: “Điều kiện cần và đủ để tam giác ABC vuông cân là tam giác
ABC có hai góc bằng 45°”
Bài 8 trang 9 SBT Toán lớp 10 Tập 1: Dùng kí hiệu ∀ hoặc ∃ để viết các mệnh đề
sau và xét tính đúng sai của chúng
a) Mọi số thực khác 0 nhân với nghịch đảo của nó bằng 1
b) Có số tự nhiên mà bình phương của nó bằng 20
c) Bình phương của mọi số thực đều dương
d) Có ba số tự nhiên khác 0 sao cho tổng bình phương của hai số bằng bình phương
Mệnh đề này là mệnh đề sai, do tồn tại số thực 0 và 02 = 0
d) Mệnh đề “Có ba số tự nhiên khác 0 sao cho tổng bình phương của hai số bằng bình phương của số còn lại” được viết là: “∃ x, y, z ∈ ℕ*, x2 + y2 = z2” Mệnh đề này
Phương trình bậc hai này có hai nghiệm là x = – 1 và x = 1
2 Nhưng hai nghiệm đều không phải là số tự nhiên Do đó mệnh đề “∃ x ∈ ℕ, 2x2 + x = 1” là mệnh đề sai + Phủ định của ∃ là ∀; phủ định của = là ≠
Vậy mệnh đề phủ định của mệnh đề trên là: “∀ x ∈ ℕ, 2x2 + x ≠ 1”
Trang 17Bài 2 Tập hợp Bài 1 trang 13 SBT Toán lớp 10 Tập 1: Viết các tập hợp sau đây dưới dạng liệt kê
Trang 18Kí hiệu ∈ (thuộc), ∉ (không thuộc) dùng để chỉ mối quan hệ giữa phần tử và tập hợp
Kí hiệu ⊂ (tập con), ⊄ (không là tập con) dùng để chỉ mối quan hệ giữa hai tập hợp
Kí hiệu = dùng để chỉ hai phần tử bằng nhau hoặc hai tập hợp bằng nhau
a) 0 là một phần tử của tập {0; 1; 2}
Trang 19Do đó, {x | |x| < 2, x ∈ ℤ} = {– 1; 0; 1} (2)
Từ (1) và (2) suy ra {x | x(x – 1)(x + 1) = 0} = {x | |x| < 2, x ∈ ℤ}
b) Các số tự nhiên là ước của 18 là: 0; 2; 3; 6; 9; 18
Do đó, {x ∈ ℕ | x là ước của 18} = {0; 2; 3; 6; 9; 18}
Vậy {3; 6; 9} ⊂ {x ∈ ℕ | x là ước của 18}
c) Ta có: x = 5k, k ∈ ℕ, do đó x là các số tự nhiên chia hết cho 5 hay x là bội của 5
Do đó, {x | x = 5k, k ∈ ℕ} = { x ∈ ℕ | x là bội của 5}
Trang 20d) Tập hợp {4k | k ∈ ℕ} gồm các số tự nhiên chia hết cho 4, tập hợp {x | x = 2m, m
∈ ℕ} gồm các số tự nhiên chia hết cho 2 Một số tự nhiên chia hết cho 4 thì chia hết
cho 2, nhưng một số tự nhiên chia hết cho 2 thì chưa chắc đã chia hết cho 4
Do đó, {4k | k ∈ ℕ} ⊂ {x | x = 2m, m ∈ ℕ}
Bài 5 trang 13 SBT Toán lớp 10 Tập 1: Hãy chỉ ra các quan hệ bao hàm giữa các
tập hợp sau và vẽ biểu đồ Ven để biểu diễn các quan hệ đó:
Ta có hình vuông, hình chữ nhật, hình bình hành đều là các tứ giác nên các tập hợp
B, C, D đều là tập con của tập A
Ta vẽ biểu đồ Ven như sau:
Bài 6 trang 13 SBT Toán lớp 10 Tập 1: Tìm tất cả các tập hợp A thỏa mãn điều
kiện {a; b} ⊂ A ⊂ {a; b ; c; d}
Vậy ta có các tập hợp A thỏa mãn điều kiện của bài toán là:
{a; b}, {a; b; c}, {a; b; d}, {a; b; c; d}
Bài 7 trang 13 SBT Toán lớp 10 Tập 1: Cho các tập hợp A = {1; 2; 3; 4; 5} và B
= {1; 3; 5; 7; 9} Hãy tìm tập hợp M có nhiều phần tử nhất thỏa mãn M ⊂ A và M
⊂ B
Trang 21Hướng dẫn giải
Do M ⊂ A nên các phần tử của tập hợp M đều là các phần tử của tập A
Do M ⊂ B nên các phần tử của tập hợp M đều là các phần tử của tập B
Các phần tử vừa thuộc tập A vừa thuộc tập B là 1; 3; 5
a) Do x, y đều là các số tự nhiên nên ta lần lượt thay các giá trị x bởi các số tự nhiên
0; 1; 2; vào y = 10 – x2 để tìm các số y thỏa mãn là số tự nhiên
nên 6 phải chia hết cho (6 – x) hay (6 – x) là ước tự nhiên của 6
Mà các ước tự nhiên của 6 là: 1, 2, 3, 6
Với 6 – x = 1, suy ra x = 5 ∈ ℕ nên x = 5 thỏa mãn
Với 6 – x = 2, suy ra x = 4 ∈ ℕ nên x = 4 thỏa mãn
Với 6 – x = 3, suy ra x = 3 ∈ ℕ nên x = 3 thỏa mãn
Với 6 – x = 6, suy ra x = 0 ∈ ℕ nên x = 0 thỏa mãn
Trang 22Để chứng minh B ⊂ A, ta chứng minh mọi phần tử của B đều là phần tử của A
Lấy phần tử x tùy ý của B, ta có: x = 6l + 3, l ∈ ℤ
Ta viết: x = 2 3l + 2 + 1 = 2(3l + 1) + 1 = 2k + 1 với k = 3l + 1 ∈ ℤ
Suy ra x ∈ A
Vậy, với mọi x ∈ B ta đều có x ∈ A Do đó, B ⊂ A
Bài 10 trang 13 SBT Toán lớp 10 Tập 1: Cho hai tập hợp A = {1; 2; a} và B = {1;
a2} Tìm tất cả các giá trị của a sao cho B ⊂ A
Vậy các giá trị của a để thỏa mãn yêu cầu là: 2; – 1; 0; 1; 2