Giải toán 10 bài 11 (kết nối tri thức) tích vô hướng của hai vecto

Bài 11 Tích vô hướng của hai vecto Hoạt động 1 trang 66 SGK Toán 10 tập 1 Trong Hình 4 39, số đo góc BAC cũng được gọi là số đo góc giữa hai vectơ AB và AC Hãy tìm số đo các góc giữa BC và BD , DA và[.]

Bài 11 Tích vô hướng của hai vecto Hoạt động 1 trang 66 SGK Toán 10 tập 1: Trong Hình 4.39, số đo góc BAC cũng

được gọi là số đo góc giữa hai vectơ AB và AC Hãy tìm số đo các góc giữa BC

và BD , DA và DB

Lời giải

Số đo góc giữa hai vectơ BC và BD là góc CBD bằng 30°

Xét tam giác BCD có BCA là góc ngoài của tam giác tại đỉnh C nên:

BCA=CBD+CDBCDB=BCA−CBD=  −  =  80 30 50

ADB 50

Suy ra số đo góc giữa hai vectơ DA và DB là góc ADB bằng 50°

Vậy số đo góc giữa hai vectơ BC và BD bằng 30° và số đo góc giữa hai vectơ DA

và DB bằng 50°

Câu hỏi trang 66 SGK Toán 10 tập 1: Khi nào thì góc giữa hai vectơ bằng 0°, bằng

180°

Lời giải

Góc giữa hai vectơ bằng 0° khi hai vectơ cùng hướng

Góc giữa hai vectơ bằng 180° khi hai vectơ ngược hướng

Luyện tập 1 trang 66 SGK Toán 10 tập 1: Cho tam giác đều ABC Tính (AB, BC )

Lời giải

Lấy điểm D sao cho AD=BC

Khi đó (AB, BC) (= AB, AD)=BAD

Vì ABC là tam giác đều nên ABC 60= 

Câu hỏi trang 67 SGK Toán 10 tập 1: Khi nào tích vô hướng của hai vectơ khác

vectơ-không u, v là một số dương? Là một số âm?

Khi đó góc giữa hai vectơ u, v là góc nhọn hoặc bằng 0°

+) Tích vô hướng của hai vectơ u, v là một số âm thì cos u, v( )0

Khi đó góc giữa hai vectơ u, v là góc tù hoặc bằng 180°

Vậy khi 0 ( )u, v  90 thì tích vô hướng của hai vectơ u, v là một số dương; Khi 90 ( )u, v 180 thì tích vô hướng của hai vectơ u, v là một số âm

Câu hỏi trang 67 SGK Toán 10 tập 1: Khi nào thì ( )2 2 2

+) Với ( )u, v = 0 thì hai vectơ u, v cùng hướng

+) Với ( )u, v =180 thì hai vectơ u, v ngược hướng

Suy ra cả hai trường hợp thì hai vectơ u, v cùng phương

Vậy khi hai vectơ u, v cùng phương thì ( )2 2 2

u.v =u v

Luyện tập 2 trang 67 SGK Toán 10 tập 1: Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b,

AB = c Hãy tính AB.AC theo a, b, c

Hoạt động 2 trang 68 SGK Toán 10 tập 1: Cho hai vectơ cùng phương u =( )x; y

và v=(kx;ky ) Hãy kiểm tra công thức ( 2 2)

u.v=k x +y theo từng trường hợp sau:

a) u =0;

c) Vì k < 0 nên vectơ v =(kx; ky)ngược hướng với vectơ u =( )x; y

Hoạt động 3 trang 68 SGK Toán 10 tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai

vectơ không cùng phương u=( )x; y và v=(x '; y ')

a) Xác định tọa độ các điểm A và B sao cho OA=u,OB=v

b) Tính AB2, OA2, OB2 theo tọa độ của A và B

c) Tính OA.OB theo tọa độ của A, B

Lời giải

a) Vì OA =u mà u =( )x; y nên OA =( )x; y suy ra A(x; y)

Vì OB=v mà v=(x '; y ') nên OB=(x ; y ) suy ra B(x'; y')

c) Ta có: OA.OB=OA.OB.cos OA,OB( ) =OA.OB.cosAOB

Xét tam giác OAB, theo định lí côsin ta có:

Vậy u.v= −5 và góc giữa hai vectơ u, v bằng 120°

Hoạt động 4 trang 68 SGK Toán 10 tập 1: Cho ba vectơ u =(x ; y ,1 1) v =(x ; y2 2),( 3 3)

w = x ; y

a) Tính u v( +w), u.v+u.wtheo tọa độ các vectơ u, v, w.

Luyện tập 4 trang 70 SGK Toán 10 tập 1: Cho tam giác ABC với A(‒1;2), B(8;‒

1), C(8;8) Gọi H là trực tâm của tam giác

a) Chứng minh rằng AH.BC=0 và BH.CA=0

Vậy AH.BC=0 và BH.CA =0

b) Gọi tọa độ điểm H là H(x; y)

Theo câu a ta có: AH.BC= 0 9(y – 2) = 0  y – 2 = 0  y = 2

Và BH.AC= 0 (do BH ⊥ AC)  9x + 6y – 66 = 0

Thay y = 2 vào 9x + 6y – 66 = 0 ta được: 9x + 6.2 – 66 = 0

Vậy AB=3 10, AC=3 13, BC=9, BAC 52 8 , ABC 71 34 , ACB   56 18 

Vận dụng trang 70 SGK Toán 10 tập 1: Một lực F không đổi tác động vào một vật và điểm đặt của lực chuyển động thẳng từ A đến B Lực F được phân tích thành hai lực thành phần F1 và F2 (F= +F1 F2)

a) Dựa vào tính chất của tích vô hướng, hãy giải thích vì sao công sinh bởi lực F (đã được đề cập ở trên) bằng tổng của các công sinh bởi các lực F1 và F 2

b) Giả sử các lực thành phần F1 và F2 tương ứng cùng phương, vuông góc với phương chuyển động của vật Hãy tìm mối quan hệ giữa các công sinh bởi lực F và lực F 1

Lời giải

a) Một lực F tác động lên một vật làm vật dịch chuyển tịnh tiến theo một vectơ độ rời s.

+) Công sinh bởi lực F là AF =F.s

+) Công sinh bởi lực F1 là

b) +) Công sinh bởi lực F là AF =F.s=F.s.cos F,s( )

Do vật chuyển động thẳng từ A đến B nên s cùng hướng với F1

Do s cùng hướng với F1 nên ( )F ,s1 = 0

Bài 4.21 trang 70 SGK Toán 10 tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tính góc

giữa hai vectơ a và b trong mỗi trường hợp sau:

( ) ( )

Suy ra u, v là hai vectơ cùng hướng

Vậy hai vectơ u, v cùng hướng thì u.v= u v

Suy ra u, v là hai vectơ ngược hướng

Vậy hai vectơ u, v ngược hướng thì u.v= − u v

Bài 4.23 trang 70 SGK Toán 10 tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm

A(1; 2), B(‒4; 3) Gọi M(t; 0) là một điểm thuộc trục hoành

Vậy với t − − 1; 2 thì AMB=  90

Bài 4.24 trang 70 SGK Toán 10 tập 1:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A(‒4; 1), B(2; 4), C(2;

‒2)

a) Giải tam giác ABC

b) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC

b) Giả sử trực tâm H của tam giác ABC có tọa độ là H(x; y)

Do H là trực tâm của tam giác ABC nên AH⊥BC;BH⊥AC

Ta có: SABC 1AB.AC.sin AB, AC

2

2 ABC

Bài 4.26 trang 70 SGK Toán 10 tập 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G Chứng

minh rằng với mọi điểm M,