Giải toán 10 (kết nối tri thức) bài tập cuối chương 3

Bài tập cuối chương 3 A Trắc nghiệm Bài 3 12 trang 44 SGK Toán 10 tập 1 Cho tam giác ABC có oB 135 Khẳng định nào sau đây là đúng? a) A 1 S ca 2 B 2 S ac 4 C 2 S bc 4 D 2 S ca 4 b) A a R sin A B 2 R b[.]

Bài tập cuối chương 3

A Trắc nghiệm

Bài 3.12 trang 44 SGK Toán 10 tập 1: Cho tam giác ABC có B 135o Khẳng định nào sau đây là đúng?

a)

A S 1ca

2

B S 2ac

C S 2 bc

4

D S 2ca

4

b)

A R a

sin A

B R 2b

2

C R 2c

2

D R 2a

2

c)

A a2 b2 c2 2ab

B b a

sin A sin B

2

D b2 = c2 + a2 – 2ca.cos135o

Lời giải:

Tam giác ABC có BC = a; AC = b; AB = c; B 135o

a) Diện tích tam giác ABC:

o

Chọn D

b) Theo định lí sin, ta có:

2R sin A sin B sin C

A R a

sin A sai vì

a R

2sin A

B R 2b

2

Mà sin B 2 R b b 2b

2

2

Do đó B đúng

C R 2c

2 (loại vì không có dữ kiện về góc C nên không thể tính R theo c)

D R 2a

2 (loại vì không có dữ kiện về góc A nên không thể tính R theo a)

Chọn B

c)

A a2 b2 c2 2ab

Vì theo định lí côsin, ta có: a2 = b2 + c2 − 2bc cosA

Không đủ dữ kiện để suy ra: 2 2 2

Do đó A sai

B b a

sin A sin B

Theo định lí sin, ta có: a b

sin A sin B

Nên b a

sin A sin B

Do đó B sai

C sin B 2

2

Vì theo câu a, sin B 2

2

Do đó C sai

D b2 = c2 + a2 – 2ca cos135o đúng

Theo định lý côsin ta có:

b2 = c2 + a2 − 2ca cosB (*)

Mà B 135=  cosB = cos 135o

Thay vào (*) ta được: b2 = c2 + a2 − 2ca cos 135o

Do đó D đúng

Chọn D

Bài 3.13 trang 44 SGK Toán 10 tập 1: Cho tam giác ABC Khẳng định nào sau đây là

đúng?

a)

A S abc

4r

B r 2S

a b c

C a2 = b2 + c2 + 2bc cos A

D S = r(a + b + c)

b)

A sin A = sin(B + C)

B cos A = cos(B + C)

C cos A > 0

D sin A ≤ 0

Lời giải:

a)

A S abc

4r

Ta có S abc

4R Mà r < R nên

abc abc S

4R 4r

Do đó A sai

B r 2S

a b c

Ta có: S = pr  r S

p

=

Mà p a b c

2

+ +

=

r

a b c

2

 = = + + =

+ +

Do đó B đúng

C a2 = b2 + c2 + 2bc cos A

Sai vì theo định lí côsin ta có: a2 = b2 + c2 − 2bc cos A

D S = r(a + b + c)

Sai vì S pr r.a b c

2

+ +

Chọn B

b)

A sinA = sin(B + C)

Ta có A+ + =B C 180o

o

 sin(B + C) = sin(180° – A) = sin A

Do đó, đáp án A đúng

B cos A = cos(B + C)

Sai vì cos (B + C) = cos(180° – A) = – cosA (do B+ =C 180o −A)

C cos A > 0

∙ Nếu 0o < A < 90o thì cos A > 0

∙ Nếu 90o < A < 180o thì cos A < 0

Do đó C không đủ dữ kiện để kết luận

D sin A ≤ 0

Ta có: S 1bc.sin A 0

2

Mà b, c > 0 nên sin A > 0

Do đó D sai

Chọn D

B Tự luận

Bài 3.14 trang 44 SGK Toán 10 tập 1: Tính giá trị các biểu thức sau:

a) M = sin45o cos45o + sin30o;

b) N sin 60 cos30o o 1sin 45 cos45o o

c) P = 1 + tan2 60o;

d) Q 21 o cot 120 2 o

sin 120

Lời giải:

a) M = sin45o cos45o + sin30o

Ta có: sin 45o = cos 45o = 2

2 ; sin 30

o = 1

2 Thay vào M, ta được:

M 2 2 1 1 1 1

b) N sin 60 cos30o o 1sin 45 cos45o o

2

Ta có: sin 60o 3

2

= ; cos30o 3

2

= ; sin 45 cos45 2

2

 =  = Thay vào N, ta được:

N = 3 3 1 2 2 3 1 1

c) P = 1 + tan260o

Ta có: tan 60o = 3

Thay vào P, ta được: P 1 3 2 1 3 4

d) Q 21 o cot 120 2 o

sin 120

Ta có: sin120o 3

2

3

−

=

Thay vào Q, ta được:

Q

2 2

3 3

2

1 1 4 1

1

3 3 3 3

4

Bài 3.15 trang 44 SGK Toán 10 tập 1: Cho tam giác ABC có B 60 ,Co 45 ,o AC =

10 Tính a, R, S, r

Lời giải:

Theo định lí sin: a b c 2R

sin A sin B sin C

Ta có:

+ R b

2sin B

Mà b = AC = 10, B=60o

Nên R 10 o 10

2sin 60 3

2

2

3

3

+ R a

2sin A

=  a = 2R sin A

Mà R 10 3

3

= , A 180o B C = 180o – 60o – 45o = 75o

Nên a = 2.10 3

3 sin 75

o ≈ 11,15

Diện tích tam giác ABC là:

o

S ab.sin C 11,15.10.sin 45 39, 42

Khi đó:

+ R c

2sin C

c 2.sin 45 8,16

+ p a b c 5,58 10 8,165 14,66

+ r S 48,3 2,69

p 14,66

Vậy a ≈ 11,15; R 10 3

3

= , c ≈ 8,16, r ≈ 2,69

Bài 3.16 trang 44 SGK Toán 10 tập 1: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Chứng

minh rằng:

b) MA2 + MB2 – AB2 = 2MA.MB.cosAMB và MA2 + MC2 – AC2 = 2MA.MC.cos

c)

MA

4 (công thức đường trung tuyến)

Lời giải:

cosAMB cos 180 AMB cosAMC

 cosAMB cosAMC cosAMC cosAMC 0

b) Áp dụng định lí côsin trong ΔAMB, ta có:

AB2 = MA2 + MB2 – 2MA.MB.cosAMB

 MA2 + MB2 – AB2 = 2MA.MB.cosAMB (1)

Áp dụng định lí côsin trong ΔAMC, ta có:

AC2 = MA2 + MC2 – 2MA.MC.cosAMC

 MA2 + MC2 – AC2 = 2MA.MC.cosAMC (2)

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh

c) Từ (1) suy ra: MA2 = AB2 – MB2 + 2MA.MB.cosAMB

Từ (2) suy ra: MA2 = AC2 – MC2 + 2MA.MC.cosAMC

Cộng vế với vế, ta được:

2MA2 = (AB2 – MB2 + 2MA.MB.cosAMB) + (AC2 – MC2 + 2MA.MC.cosAMC)

 2MA2 = AB2 + AC2 – MB2 – MC2 + 2MA.MB.cosAMB + 2MA.MC.cos AMC

Mà MB MC BC

2 (do AM là trung tuyến) nên:

2MA2 = AB2 + AC2 –

2

BC 2

 

 

  –

2

BC 2

 

 

  + 2MA.MB.cosAMB + 2MA.MB.cosAMC

 2MA2 = AB2 + AC2 –

2

BC 2

2

 

 

  + 2MA.MB.(cosAMB + cosAMC)

 2MA2 = AB2 + AC2 –

2 BC 2



2

2

BC

AB AC

2 MA

2

=



2

2

BC

AB AC

2 MA

2

= (bỏ dòng này đi)



MA

4 (công thức đường trung tuyến)

Bài 3.17 trang 44 SGK Toán 10 tập 1: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng:

a) Nếu góc A nhọn thì b2 + c2 > a2;

b) Nếu góc A tù thì b2 + c2 < a2;

c) Nếu góc A vuông thì b2 + c2 = a2

Lời giải:

Theo định lí côsin, ta có: a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA

 b2 + c2 – a2 = 2bc.cosA

a) Nếu góc A nhọn thì cosA > 0  2bccosA > 0

Do đó: b2 + c2 – a2 = 2bc.cosA > 0

Vậy b2 + c2 > a2 (đpcm)

b) Nếu góc A tù thì cosA < 0  2bccosA < 0

Do đó: b2 + c2 – a2 = 2bc.cosA < 0

Vậy b2 + c2 < a2 (đpcm)

c) Nếu góc A vuông thì cosA = 0  2bccosA = 0

Do đó: b2 + c2 – a2 = 2bc.cosA = 0

Vậy b2 + c2 = a2 (đpcm)

Bài 3.18 trang 45 SGK Toán 10 tập 1: Trên biển, tàu B ở vị trí cách tàu A 53 km về

hướng N34°E Sau đó, tàu B chuyển động thẳng đều với vận tốc có độ lớn 30 km/h về hướng đông và tàu A chuyển động thẳng đều với vận tốc có độ lớn 50 km/h để gặp tàu

B

a) Hỏi tàu A cần phải chuyển động theo hướng nào?

b) Với hướng chuyển động đó thì sau bao lâu tàu A gặp tàu B?

Lời giải:

a) Gọi t (giờ) là thời gian đi cho đến khi hai tàu gặp nhau tại C Tàu B đi với vận tốc có độ lớn 30 km/h nên quãng đường BC = 30t Tàu A đi với vận tốc có độ lớn 50 km/h nên quãng đường AC = 50t

Theo định lí sin, ta có: a b

Trong đó: a = BC = 30t, b = AC = 50t, o

B 124= ,  =BAC

Khi đó, 30t 50t o

sin =sin124



30t.sin124 3sin124

 α ≈ 30o hoặc α ≈ 150o (loại)

Do đó AC hợp với hướng bắc một góc 34o + 30o = 64o

Vậy tàu A chuyển động theo hướng N64oE

b) Xét tam giác ABC, ta có: A=30 ; ABC 124o = o

Theo định lí sin, ta có:

sin A =sin C a c.sin A

sin C

 =

Mà a = BC = 30t, c = AB = 53, A= 30 ; C=26

Khi đó,

o o

53.sin 30 30t

sin 26

=

 30t ≈ 60

 t ≈ 2 (h)

Vậy sau 2 giờ thì tàu A gặp tàu B

Bài 3.19 trang 45 SGK Toán 10 tập 1: Trên sân bóng chày dành cho nam, các vị trí gôn

Nhà (Home plate), gôn 1 (First base), gôn 2(Second base), gôn 3 (Third base) là bốn đỉnh của một hình vuông có cạnh dài 27,4m Vị trí đứng ném bóng (Pitcher’s mound) nằm trên đường nối gôn Nhà với gôn 2 và cách gôn Nhà 18,44m Tính các khoảng cách từ vị trí đứng ném bóng tới các gôn 1 và gôn 3

Lời giải:

Kí hiệu gôn Nhà, gôn 1, gôn 2, gôn 3 và vị trí ném bóng lần lượt là các điểm A, B, C, D,

O như hình vẽ

Khi đó, tứ giác ABCD là hình vuông với đường chéo CA là tia phân giác của góc BCD Hay OCD=ACD=45

Ta có: CD = 27,4  AC = CD 2 = 27,4 2 ≈ 38,75

 OC = AC – OA ≈ 38,75 − 18,44 = 20,31

Xét tam giác OCD, áp dụng định lí côsin ta có:

OD2 = CD2 + CO2 – 2.CD.CO cos ACD

Trong đó CD = 27,4; CO = 20,31; ACD=45

Khi đó: OD2 = 27,42 + 20,312 – 2.27.20,31 cos45

 OD2 ≈ 376,255

 OD≈ 19,4 (m)

Xét ΔCOB và ΔCOD, có:

BC = CD (ABCD là hình vuông)

BCO=DCO=45 (CA là tia phân giác của góc BCD)

Cạnh CO chung

Do đó ΔCOB = ΔCOD (c.g.c)

Suy ra OB = OD ≈ 19,4 (m) (hai cạnh tương ứng)

Vậy khoảng cách từ vị trí đứng ném bóng tới các gôn 1 và gôn 3 khoảng 19,4 m