Sách bài tập toán 10 chương 3 hệ thức lượng trong tam giác kết nối tri thức

Bài tập cuối chương 3 Trang 40 A Trắc nghiệm Bài 3 17 trang 40 SBT Toán 10 Tập 1 Tam giác ABC có A 15 ,B 45     Giá trị của tanC bằng A 3; B 3; C 1 ; 3 D 1 3  Lời giải Đáp án đúng là A Xét tam g[.]

Trang 1

Bài tập cuối chương 3 Trang 40

A Trắc nghiệm

Bài 3.17 trang 40 SBT Toán 10 Tập 1:

Tam giác ABC có A 15 , B  45  Giá trị của tanC bằng

Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, lấy điểm M thuộc nửa đường tròn đơn vị sao cho

C 1;2

Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, lấy điểm M thuộc nửa đường tròn đơn vị sao cho

150 xOM  N là điểm đối xứng với M qua trục tung Giá trị của tan xON bằng

A 1 ;3

Trang 2

 cos xON = –cos xOM

 cos xON = –cos150°

 sin xON = sin xOM

 sin xON = sin150°

B 12;25

C 25;12

D 3.4

Trang 3

Cho góc α (0° < α < 180°) thõa mãn sinα + cosα = 1 Giá trị của cotα là

 sin2α + 2.sinα.cosα + cos2α = 1

 (sin2α + cos2α) + 2.sinα.cosα = 1

Cho góc α thỏa mãn sinα + cosα = 2 Giá trị của tanα + cotα là

 sin2α + 2.sinα.cosα + cos2α = 2

 (sin2α + cos2α) + 2.sinα.cosα = 2

Trang 4

5

  (H.3.4)

Diện tích của tam giác AOM bằng

Gọi h là độ dài đường cao kẻ từ M đến OA của tam giác OAM

Khi đó h = yM = sin xOM

Mà sin2xOM + cos2xOM = 1

 sin2xOM = 1 –

2

35

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy lấy điểm M thuộc nửa đường tròn đơn vị, sao cho xOM 150 (H.3.5)

Trang 5

Lấy N đối xứng với M qua trục tung Diện tích của tam giác MAN bằng



B 17;33

C 1;2

D 16.33

Trang 6

Tam giác ABC có a = 2, b = 3, c = 4 Bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC

Trang 7

Ta chọn phương án D

Tam giác ABC có a = 4, b = 5, c = 6 Độ dài đường cao hb bằng

Cho tam giác ABC có a = 20, b = 16 và ma = 10 Diện tích của tam giác bằng

Trang 8

Tam giác ABC có a = 14, b = 9 và ma = 8 Độ dài đường cao ha bằng

Trang 9

Tam giác ABC có A45 , c = 6, B 75 Độ dài đường cao hb bằng

Tam giác ABC có A45 , c = 6, B 75 Độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác bằng

Trang 10

Tam giác ABC có diện tích S = 2R2 sin B.sinC, với R là độ dài bán kính đường tròn ngoại

tiếp của tam giác Số đo góc A bằng

 a = 2R.sinA; b = 2R.sinB và c = 2R.sinC

Theo công thức tính diện tích tam giác ta có:

2R sin A 2R sin B 2R sin C    

Tam giác ABC có AB 5, AC 2 và C 45 Độ dài cạnh BC bằng

Trang 11

Tam giác ABC có C 60 , AC = 2 và AB 7 Diện tích của tam giác ABC bằng

Tam giác ABC có A60 , AB = 3 và BC3 3 Độ dài bán kính đường tròn nội tiếp

của tam giác ABC là:

A 3 3 1

;2



B 3 3 1

;2

Trang 12

Ta chọn phương án A

Trang 43

Một ca nô xuất phát từ cảng A, chạy theo hướng đông với vận tốc 60 km/h Cùng lúc đó,

một tàu cá, xuất phát từ A, chạy theo hướng N30°E với vận tốc 50 km/h Sau 2 giờ, hai

tàu cách nhau bao nhiêu kilômét?

2.60 = 120 (km) Sau 2 giờ tàu cá chạy được quãng đường AC bằng:

Trang 13

Ta chọn phương án C

Một người đứng trên đài quan sát đặt ở cuối một đường đua thẳng Ở độ cao 6 m so với

mặt đường đua, tại một thời điểm người đó nhìn hai vận động viên A và B dưới các góc

tương ứng là 60° và 30°, so với phương nằm ngang (H.3.6)

Khoảng cách giữa hai vận động viên A và B (làm tròn đến hàng đơn vị, theo đơn vị mét)

tại thời điểm đó là

HA = MH.tan AMH = 6.tan30° = 2 3 Tam giác BMH vuông tại H nên ta có:

Ta chọn phương án B

B Tự luận Bài 3.38 trang 43 SBT Toán 10 Tập 1:

Cho góc tù α có sinα = 1

3

Trang 14

a) Tính cosα, tanα, cotα

b) Tính giá trị của các biểu thức:

A = sinα cot(180° – α) + cos(180° – α).cot(90° – α);

b) Tính giá trị của biểu thức:

A = sin75° cos165° + cos105° sin165°

Lời giải:

Vì 0° < 15° < 90° nên cos15° > 0

Trang 15

A = sin75° cos165° + cos105° sin165°

Cho tam giác ABC có AB = 1, BC = 2 và ABC 60 Tính độ dài cạnh và số đo các góc còn lại của tam giác

Lời giải:

Trang 16

Do đó tam giác ABC vuông tại A BAC 90 

Suy ra ACB  90 ABC 30

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABC vuông tại A ta có:

AC2 = BC2 – AB2 = 22 – 12 = 3

Vậy AC 3;ACB 30 và BAC 90

Trang 44 Bài 3.41 trang 44 SBT Toán 10 Tập 1:

Cho tam giác ABC có c = 1, a = 2 và B 120  a) Tính b, A,C

b) Tính diện tích của tam giác

c) Tính độ dài đường cao kẻ từ B của tam giác

Trang 17

Cho tam giác ABC có a = 3, b = 5 và c = 7

a) Tính các góc của tam giác, làm tròn đến độ

b) Tính bán kính đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp của tam giác

Trang 18

3

Cho tam giác ABC có B45 ,C 15   và b 2 Tính a, ha

Cho tam giác ABC có c = 5, a = 8 và B 60 a) Tính b và số đo các góc A, C (số đo các góc làm tròn đến hàng đơn vị, theo đơn vị độ) b) Tính độ dài đường cao kẻ từ B

c) Tính độ dài trung tuyến kẻ từ A

Trang 19

Vậy độ dài đường trung tuyến kẻ từ A của tam giác ABC là ma 21.

Cho tam giác ABC có B 15 C   , 30 và c = 2

a) Tính số đo góc A và độ dài các cạnh a, b

b) Tính diện tích và bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác

Trang 20

Do đó tam giác BCD cân tại D

Gọi I là trung điểm của BC, khi đó DI là đường trung tuyến đồng thời là đường cao

Trên biển, một tàu cá xuất phát từ cảng A, chạy về phương đông 15 km tới B, rồi chuyển

sang hướng E30°S chạy tiếp 20 km nữa tới đảo C

a) Tính khoảng cách từ A tới C (làm tròn đến hàng đơn vị, theo đơn vị kilômét)

b) Xác định hướng từ A tới C (làm tròn đến hàng đơn vị, theo đơn vị độ)

Lời giải:

Giả sử các vị trí cảng A, B và đảo C được mô tả như hình vẽ dưới đây:

a) Do tàu cá xuất phát từ cảng A, chạy theo hướng đông tới B, rồi chuyển sang hướng E30°S chạy tiếp tới đảo C nên ta có:

Vậy hướng từ A đến C là E17°S

Trên sườn đồi, với độ dốc 12% (độ dốc của sườn đồi được tính bằng tang của góc nhọn tạo bởi sườn đồi với phương nằm ngang) có một cây cao mọc thẳng đứng Ở phía chân đồi, cách gốc cây 30 m, người ta nhìn ngọn cây dưới một góc 45° so với phương nằm ngang Tính chiều cao của cây đó (làm tròn đến hàng đơn vị, theo đơn vị mét)

Lời giải:

Trang 21

Giả sử người quan sát từ điểm A cách gốc cây B một khoảng 30m, nhìn ngọn cây C dưới

góc 45° như hình vẽ dưới đây:

Do sườn đồi có độ dốc 12% (độ dốc của sườn đồi được tính bằng tang của góc nhọn tạo

bởi sườn đồi với phương nằm ngang) nên tan HAB = 12% = 0,12

 HAB 7

Do đó BAC HAC HAB 45       7 38 và BCA  90 HAC 45

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:



Vậy chiều cao của cây đó khoảng 26 m

Bài 5 Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°

Tính giá trị của biểu thức:

a) A = sin45° + 2sin60° + tan120° + cos135°;

b) B = tan45° cot135°  sin30° cos120°  sin60° cos150°;

c) C = cos25° + cos225° + cos245° + cos265° + cos285°;

1 tan 73   4tan75° cot105° + 12sin

2107°  2tan40° cos60° tan50°;

e) E = 4tan32° cos60° cot148° +

2 2

Trang 22

b) B = tan45° cot135°  sin30° cos120°  sin60° cos150°

Ta có tan45° = 1; cot135° = 1;

sin30° = 1

2; cos120° =

12

 ;

2 ; cos150° =

32

cos25° = cos(90°  65°) = sin65°

Do đó: cos25° = sin285°; cos225° = sin265°

Khi đó C = sin285° + sin265° + 1

sin 73cos 73

= 12cos273° – 4(–tan105°) cot105° + 12sin2 107°  2cot50° cos60° tan50°

= 12cos2 73° + 12sin2 73° + 4tan105° cot105°  2cot 50° tan 50° cos 60°

= 12(cos2 73° + sin2 73°) + 4.1 – 2.1.cos60°

= 12 + 4  2 1

2 = 15

Vậy D = 15

Trang 23

e) E = 4tan32° cos60° cot148° + 5cot 1082

sin 18cos 18

E = 4tan32° cos60° cot(180°  32°) + 5cot2 72° cos218° + 5[sin(90°  18°)]2

= 4tan32° cos60° (cot32°) + 5 cot272° cos218° + 5cos218°

= 4cos60° + 5cos218° (cot272° + 1)

Cho góc α, 90° < α < 180° thỏa mãn sin α = 3

4 Tính giá trị của biểu thức: t

tanFn

2cocotta

Trang 24

• cot α = 1 : tan α = 7

3



Khi đó F =

2

37

Cho góc α thỏa mãn 0° < α < 180°, tanα = 2 Tính giá trị của các biểu thức sau:

= 2 2

5 +

15

= 5

5= 5 Vậy G = 5

Trang 25

Vậy H = 5

Cho góc α thỏa mãn 0° < α < 180°, tanα = 2 Tính giá trị của biểu thức

 = 2 > 0 nên sinα và cosα cùng dấu, do đó cosα > 0

Chia cả tử và mẫu của K cho cos3α ta được:

an1

3

tantan

Bài 3.5 trang 33 SBT Toán 10 Tập 1: Chứng minh rằng:

a) sin4α + cos4α = 1  2sin2α cos2α;

b) sin6α + cos6α = 1  3sin2α cos2α;

Trang 26

c*) 4 2 4 2

sin  6cos   3 cos  4sin  4

Lời giải:

a) Ta có (sin2α + cos2α)2 = sin4α + 2sin2α cos2α + cos4α

 12 = sin4α + cos4α + 2sin2α cos2α

 sin4α + cos4α = 1  2sin2α cos2α

Vậy sin4α + cos4α = 1  2sin2α cos2α

b) Ta có (sin2α + cos2α)3 = sin6α + cos6α + 3sin2α cos2α(sin2α + cos2α)

 13 = sin6α + cos6α + 3sin2α cos2α 1

 sin6α + cos6α = 1  3sin2α cos2α

Vậy sin6α + cos6α = 1  3sin2α cos2α

sin  6cos   3 cos  4sin  4

Bài 3.6 trang 33 SBT Toán 10 Tập 1: Góc nghiêng của Mặt Trời tại một vị trí trên

Trái Đất là góc nghiêng giữa tia nắng lúc giữa trưa với mặt đất Trong thực tế, để đo trực tiếp góc này, vào giữa trưa (khoảng 12 giờ), em có thể dựng một thước thẳng vuông góc với mặt đất, đo độ dài của bóng thước trên mặt đất Khi đó, tang của góc nghiêng Mặt Trời tại vị trí đặt thước bằng tỉ số giữa độ dài của thước và độ dài của bóng thước Góc nghiêng của Mặt Trời phụ thuộc vào vĩ độ của vị trí đo và phụ thuộc vào thời gian đo trong năm (ngày thứ mấy trong năm) Tại vị trí có vĩ độ  và ngày thứ N trong năm, góc nghiêng của Mặt Trời α còn được tính theo công thức sau:

Trang 27

a) Hãy áp dụng công thức trên để tính góc nghiêng của Mặt Trời vào ngày 10/10

trong năm không nhuận (năm mà tháng 2 có 28 ngày) tại vị trí có vĩ độ  = 20°

b) Hãy xác định vĩ độ tại nơi em sinh sống và tính góc nghiêng của Mặt Trời tại đó

theo hai cách đã được đề cập trong bài toán (đo trực tiếp và tính theo công thức) và

so sánh hai kết quả thu được

b) Học sinh tự thực hiện việc đo và tính theo công thức để so sánh

Lưu ý tại vị trí có vĩ độ  và ngày thứ N trong năm, góc nghiêng của Mặt Trời α còn được tính theo công thức sau:

Trang 28

Bài 6 Hệ thức lượng trong tam giác Trang 38

Cho tam giác ABC có A45 ,C  30 và c = 12

a) Tính độ dài các cạnh còn lại của tam giác

b) Tính độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác

c) Tính diện tích của tam giác

d) Tính độ dài các đường cao của tam giác

d) Áp dụng công thức diện tích tam giác ta có:

Trang 29

Tam giác ABC có a = 19, b = 6 và c = 15

a) Tính cosA

b) Tính diện tích tam giác

c) Tính độ dài đường cao hc

d) Tính độ dài bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác

Vậy diện tích ABC bằng 10 14

c) Áp dụng công thức diện tích tam giác ta có:

Trang 30

Cho tam giác ABC có a = 4, C 60 , b = 5

a) Tính các góc và cạnh còn lại của tam giác

b) Tính diện tích của tam giác

c) Tính độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A của tam giác

b) Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ta có:

Vậy diện tích tam giác ABC bằng 5 3

c) Áp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến trong phần Nhận xét của Ví dụ

3, trang 37, SBT, Toán 10, Tập một ta có:

 2 2

2 a

Vậy độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC bằng 19

Một tàu cá xuất phát từ đảo A, chạy 50 km theo hướng N24°E đến đảo B để lấy thêm ngư cụ, rồi chuyển hướng N36°W chạy tiếp 130 km đến ngư trường C

Trang 31

a) Tính khoảng cách từ vị trí xuất phát A đến C (làm tròn đến hàng đơn theo đơn vị

Vậy khoảng cách từ đảo A đến ngư trường C khoảng 161 km

b) Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:

Một tàu du lịch xuất phát từ bãi biển Đồ Sơn (Hải Phòng), chạy theo hướng N80°E với vận tốc 20 km/h Sau khi đi được 30 phút, tàu chuyển sang hướng E20°S giữ nguyên vận tốc và chạy tiếp 36 phút nữa đến đảo Cát Bà Hỏi khi đó tàu du lịch cách

vị trí xuất phát bao nhiêu kilômet?

Lời giải:

Giả sử tàu du lịch xuất phát từ điểm A, chuyển động theo hướng N80°E tới B sau đó chuyển hướng E20°S tới điểm C như hình vẽ dưới đây

Trang 32

Một cây cổ thụ mọc thẳng đứng bên lề một con dốc có độ dốc 10° so với phương nằm ngang Từ một điểm dưới chân dốc, cách gốc cây 31 m người ta nhìn đỉnh ngọn cây dưới một góc 40° so với phương nằm ngang Hãy tính chiều cao của cây

Lời giải:

Cây cổ thụ và con dốc được mô tả như hình vẽ dưới đây:

Vì con dốc có độ dốc 10° so với phương nằm ngang, người nhìn nhìn đỉnh ngọn cây dưới một góc 40° so với phương nằm ngang nên ta có BAC 40     10 30

Trang 33

Vậy chiều cao của cây khoảng 20,23 m

Cho tam giác ABC Chứng minh rằng:

Trang 34

Cho tam giác ABC có hai trung tuyến kẻ từ A và B vuông góc

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AC

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC

Mà AM, BN là hai đường trung tuyến kẻ từ A và B của tam giác ABC

Do đó theo công thức tính độ dài đường trung tuyến của tam giác ta có:

Trang 35

Từ (1) và (2) ta có: cotC = 2(cotA + cotB) =

2

c.SVậy cotC = 2(cotA + cotB)

2



 A 30 và C 60 Vậy A   30 ;B 90 và C 60

Trang 36

Cho tam giác ABC có S = 2R sin A.sinB Chứng minh rằng tam giác ABC là một tam giác vuông

Lời giải:

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:

2Rsin Asin Bsin C

 a = 2R.sinA; b = 2R.sinB và c = 2R.sinC

Theo công thức tính diện tích tam giác ta có:

2R sin A 2R sin B 2R sin C    

Tiêu đề	Hệ thức lượng trong tam giác - kết nối tri thức
Chuyên ngành	Toán
Thể loại	Sách bài tập

Định dạng
Số trang	36
Dung lượng	1,46 MB