Sách bài tập toán 10 chương 2 bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn kết nối tri thức

Bài 3 Bất phương trình bậc nhất hai ẩn Trang 18 Bài 2 1 trang 18 SBT Toán 10 Tập 1 Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn 3x + y < 4 a) Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình đã cho trên mặt phẳng[.]

Bài 3 Bất phương trình bậc nhất hai ẩn Trang 18

Bài 2.1 trang 18 SBT Toán 10 Tập 1: Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn 3x +

y < 4

a) Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình đã cho trên mặt phẳng tọa độ

b) Từ đó suy ra miền nghiệm của bất phương trình 3x + y ≤ 4 và miền nghiệm của

bất phương trình 3x + y ≥ 4

Lời giải:

a) Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình 3x + y < 4 trên mặt phẳng tọa độ

Bước 1 Vẽ đường thẳng d: 3x + y = 4 trên mặt phẳng tọa độ Oxy như sau:

• Xác định hai điểm thuộc đường thẳng d: 3x + y = 4

• Xác định 2 điểm đó trên hệ trục tọa độ Oxy và kẻ đường thẳng đi qua 2 điểm đó,

ta thu được đường thẳng d: 3x + y = 4

Bước 2 Ta chọn O(0; 0) là điểm không thuộc đường thẳng d: 3x + y = 4 và thay

vào biểu thức 3x + y, ta có 3 0 + 0 = 0 < 4

Do đó miền nghiệm của bất phương trình 3x + y < 4 là nửa mặt phẳng bờ d chứa

gốc tọa độ và bỏ đi đường thẳng d (miền không được gạch)

b) Khi đó miền nghiệm của bất phương trình 3x + y ≤ 4 là nửa mặt phẳng bờ d chứa gốc tọa độ (miền không được gạch)

Miền nghiệm của bất phương trình 3x + y ≥ 4 là nửa mặt phẳng bờ d không chứa gốc tọa độ (miền được gạch)

Bài 2.2 trang 18 SBT Toán 10 Tập 1: Cho bất phương trình 2x + 3y + 3 ≤ 5x + 2y

+ 3

Bằng cách chuyển vế, hãy đưa bất phương trình trên về dạng tổng quát của bất

phương trình bậc nhất hai ẩn Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất

hai ẩn đó trên mặt phẳng tọa độ

Lời giải:

Ta có 2x + 3y + 3 ≤ 5x + 2y + 3

 2x + 3y + 3  5x  2y  3 ≤ 0

3x + y ≤ 0

Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình 3x + y ≤ 0 trên mặt phẳng tọa độ:

Bước 1 Vẽ đường thẳng d: 3x + y = 0 theo các bước sau:

• Xác định hai điểm thuộc đường thẳng d: 3x + y = 0

Do đó đường thẳng d: 3x + y = 0 đi qua hai điểm có tọa độ (0; 0) và (1; 3)

• Xác định hai điểm đó trên hệ trục tọa độ Oxy, kẻ đường thẳng đi qua 2 điểm đó ta thu được đường thẳng d: 3x + y = 0

Bước 2 Ta chọn điểm (0; 1) là điểm không thuộc đường thẳng d: 3x + y = 0 và thay vào biểu thức 3x + y ta có 3 0 + 1 = 1 > 0

Do đó miền nghiệm của bất phương trình 3x + y ≤ 0 là nửa mặt phẳng bờ d không chứa điểm (0; 1) (miền không được gạch)

Bài 2.3 trang 18 SBT Toán 10 Tập 1: Xác định một bất phương trình bậc nhất hai

ẩn nhận nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d (miền không bị gạch) làm miền nghiệm

(H.2.3)

Lời giải:

Ta thấy đường thẳng d đi qua hai điểm (0; 2) và (4; 0)

Gọi phương trình đường thẳng d: y = ax + b (a ≠ 0)

Thay x = 0; y = 2 vào đường thẳng d ta có:

a) Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình đã cho trên mặt phẳng tọa độ b) Miền nghiệm có chứa bao nhiêu điểm (x; y) với x, y là các số nguyên âm?

• Xác định hai điểm đó trên hệ trục tọa độ Oxy, kẻ đường thẳng đi qua 2 điểm đó ta

thu được đường thẳng d: x + 2y = 4

Bước 2 Chọn điểm O(0; 0) không thuộc đường thẳng d và thay vào biểu thức x +

2y ta được 0 + 2 0 = 0 > 4

Do đó miền nghiệm của bất phương trình x + 2y ≥ 4 là nửa mặt phẳng bờ d chứa

gốc tọa độ (miền không được gạch)

b) Do x, y là các số nguyên âm và x + 2y ≥ 4 nên 0 > x > 4

Với y ≤ 2 thì 2y ≤ 4, mà x là số nguyên âm nên x + 2y < 4 (loại)

Bài 2.5 trang 19 SBT Toán 10 Tập 1: Một cửa hàng bán lẻ bán hai loại hạt cà phê

Loại thứ nhất giá 140 nghìn đồng/kg và loại thứ hai giá 180 nghìn đồng/kg Cửa hàng trộn x kg loại thứ nhất và y kg loại thứ hai sao cho hạt cà phê đã trộn có giá không quá 170 nghìn đồng/kg

a) Viết bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y thỏa mãn điều kiện đề bài

b) Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình tìm được ở câu a trên mặt phẳng tọa

độ

Lời giải:

a) Giá tiền của x kg cà phê loại thứ nhất là 140x (nghìn đồng)

Giá tiền của y kg cà phê loại thứ hai là 180y (nghìn đồng)

Tổng số tiền khi trộn x kg loại thứ nhất và y kg loại thứ hai là: 140x + 180y (nghìn đồng)

Tổng số kg cà phê sau khi trộn x kg loại thứ nhất và y kg loại thứ hai là: x + y (kg) Giá của cà phê sau khi trộn có giá cao nhất là 170 nghìn đồng/kg nên số tiền cao nhất thu được khi bán x + y kg cà phê là 170(x + y) (nghìn đồng)

Khi đó ta có bất phương trình 140x + 180y ≤ 170(x + y)

 140x  170x + 180y  170y ≤ 0

30x + 10y ≤ 0

3x + y ≤ 0

Vậy bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y thỏa mãn điều kiện đề bài là 3x + y ≤ 0

b) Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình 3x + y ≤ 0 trên mặt phẳng tọa độ:

Bước 1: Ta vẽ đường thẳng d: 3x + y = 0 như sau:

• Xác định hai điểm thuộc đường thẳng d: 3x + y = 0

Do đó đường thẳng d: 3x + y = 0 đi qua hai điểm có tọa độ (0; 0) và (1; 3)

• Xác định hai điểm đó trên hệ trục tọa độ Oxy, kẻ đường thẳng đi qua 2 điểm đó ta

thu được đường thẳng d: 3x + y = 0

Bước 2: Ta chọn điểm (0; 1) là điểm không thuộc đường thẳng d: 3x + y = 0 và

thay vào biểu thức 3x + y ta có 3 0 + 1 = 1 > 0

Do đó miền nghiệm của bất phương trình 3x + y ≤ 0 là nửa mặt phẳng bờ d không

chứa điểm (0; 1) (miền không được gạch)

Bài 4 Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn Trang 23

Bài 2.6 trang 23 SBT Toán 10 Tập 1: Biểu diễn miền nghiệm của các hệ bất

phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ:

Biểu diễn tập nghiệm của các bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ:

• Xét miền nghiệm của bất phương trình x ≥ 1

Vẽ đường thẳng d1: x = 1 bằng cách vẽ một đường thẳng song song với trục Oy tại

một điểm có hoành độ bằng 1

Chọn điểm I(1; 1)  d1 và thay vào biểu thức x, ta có 1 > 1

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x ≥ 1 là nửa mặt phẳng bờ d1 có chứa điểm I(1; 1)

• Xét miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0

Đường thẳng d2: y = 0 là đường thẳng trùng với trục Ox

Chọn điểm I(1; 1)  d2 và thay vào biểu thức y, ta có 1 > 0

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ d2 có chứa điểm I(1; 1)

• Xét miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 4

Vẽ đường thẳng d3: x + y = 4 bằng cách vẽ một đường thẳng qua hai điểm (0; 4) và (4; 0)

Chọn điểm I(1; 1)  d3 và thay vào biểu thức x + y = 4, ta có 1 + 1 = 2 < 4 Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 4 là nửa mặt phẳng bờ d3 có chứa điểm I(1; 1)

Khi đó miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch như hình vẽ dưới đây

Biểu diễn tập nghiệm của các bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ:

• Đường thẳng d1: x = 0 là đường thẳng trùng với trục Oy

Chọn điểm I(1; 1)  d1 và thay vào biểu thức x ta được 1 > 0

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x > 0 là nửa mặt phẳng bờ d1 có chứa điểm

I(1;1) và bỏ đi đường thẳng d1

• Đường thẳng y = 0 là đường thẳng trùng với trục Ox

Chọn điểm I(1; 1)  d2 và thay vào biểu thức y ta được 1 > 0

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình y > 0 là nửa mặt phẳng bờ d2 có chứa điểm I(1;1) và bỏ đi đường thẳng d2

• Vẽ đường thẳng d3: x  y  4 = 0 bằng cách vẽ đường thẳng đi qua hai điểm (0;

4) và (4; 0)

Chọn điểm I(1; 1)  d3 và thay vào biểu thức x  y  4 ta được 1  1  4 = 4 < 0 Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x  y  4 < 0 là nửa mặt phẳng bờ d3 có chứa điểm I(1; 1) và bỏ đi đường thẳng d3

Khi đó miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch như hình vẽ dưới đây:

Biểu diễn tập nghiệm của các bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ:

• Đường thẳng d1: y = 3 là đường thẳng song song với trục Ox và đi qua điểm có

tung độ bằng 3

Chọn điểm O(0; 0)  d1 và thay vào biểu thức y ta được 0 < 3

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình y ≤ 3 là nửa mặt phẳng bờ d1 có chứa điểm

O(0; 0)

• Đường thẳng d2: x = 3 là đường thẳng song song với trục Oy và đi qua điểm có

hoành độ bằng 3

Chọn điểm O(0; 0)  d2 và thay vào biểu thức x ta được 0 < 3

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x ≤ 3 là nửa mặt phẳng bờ d2 có chứa điểm

O(0; 0)

• Đường thẳng d3: x = 1 là đường thẳng song song với trục Oy và đi qua điểm có

hoành độ bằng 1

Chọn điểm O(0; 0)  d3 và thay vào biểu thức x ta được 0 > 1

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x ≥ 1 là nửa mặt phẳng bờ d3 có chứa

điểm O(0; 0)

Đường thẳng d4: y = 2 là đường thẳng song song với trục Ox và đi qua điểm có

tung độ bằng 2

Chọn điểm O(0; 0)  d4 và thay vào biểu thức x ta được 0 > 2

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 2 là nửa mặt phẳng bờ d4 có chứa điểm O(0; 0)

Khi đó miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch như hình vẽ dưới đây:

Bài 2.7 trang 23 SBT Toán 10 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

biểu thức F(x; y) = 2x + 3y với (x; y) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình

Lời giải:

Biểu diễn tập nghiệm của các bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ:

• Vẽ đường thẳng d1: x + y = 6 bằng cách vẽ đường thẳng đi qua hai điểm (6; 0) và

(0; 6)

Chọn điểm I(1; 1)  d1 và thay vào biểu thức x + y ta được 1 + 1 = 2 < 6

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 6 là nửa mặt phẳng bờ d1 có chứa

điểm I(1; 1)

• Đường thẳng d2: x = 0 là đường thẳng trùng với trục Oy

Chọn điểm I(1; 1)  d2 và thay vào biểu thức x ta được 1 > 0

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ d2 có chứa điểm

I(1; 1)

• Đường thẳng d3: y = 0 là đường thẳng trùng với trục Ox

Chọn điểm I(1; 1)  d3 và thay vào biểu thức y ta được 1 > 0

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ d3 có chứa điểm

I(1; 1)

Khi đó miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch như hình vẽ dưới đây:

Ta thấy miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền tam giác AOB với A(6; 0), O(0; 0) và B(0; 6)

Bài 2.8 trang 23 SBT Toán 10 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

biểu thức F(x; y) = 4x  3y trên miền nghiệm của hệ bất phương trình

Lời giải:

Biểu diễn tập nghiệm của các bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ:

• Vẽ đường thẳng d1: x + y = 4 bằng cách vẽ đường thẳng đi qua hai điểm (0; 4)

và (4; 0)

Chọn điểm I(1; 1)  d1 và thay vào biểu thức x + y ta được 1 + 1 = 2 > 4

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x + y ≥ 4 là nửa mặt phẳng bờ d1 chứa

điểm I(1; 1)

• Vẽ đường thẳng d2: x + y = 5 bằng cách vẽ đường thẳng đi qua hai điểm (0; 5) và

(5; 0)

Chọn điểm I(1; 1)  d2 và thay vào biểu thức x + y ta được 1 + 1 = 2 < 5

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 5 là nửa mặt phẳng bờ d2 chứa

điểm I(1; 1)

• Vẽ đường thẳng d3: x  y = 5 bằng cách vẽ đường thẳng đi qua hai điểm (0; 5) và

(5; 0)

Chọn điểm I(1; 1)  d3 và thay vào biểu thức x + y ta được 1  1 = 0 < 5

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x  y ≤ 5 là nửa mặt phẳng bờ d3 chứa

điểm I(1; 1)

• Vẽ đường thẳng d4: x  y = 4 bằng cách vẽ đường thẳng đi qua hai điểm (0; 4) và

(4; 0)

Chọn điểm I(1; 1)  d4 và thay vào biểu thức x  y ta được 1  1 = 0 > 4

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x  y ≥ 4 là nửa mặt phẳng bờ d4 chứa

điểm I(1; 1)

Khi đó miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch như hình vẽ dưới đây:

Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là hình vuông ABCD với A(5; 0), B(0,5;

Vậy giá trị lớn nhất của F(x; y) = 20 khi x = 5 và y = 0 và giá trị nhỏ nhất của biểu

thức F(x; y) = 16 khi x = 4 và y = 0

Bài 2.9 trang 23 SBT Toán 10 Tập 1: Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi

được sử dụng tối đa 12 g hương liệu, 9 lít nước và 315 g đường để pha chế hai loại

nước A và B Để pha chế 1 lít nước A cần 45 g đường, 1 lít nước và 0,5 g hương

liệu; để pha chế 1 lít nước B cần 15 g đường, 1 lít nước và 2 g hương liệu Mỗi lít

nước A nhận được 60 điểm thưởng, mỗi lít nước B nhận được 80 điểm thưởng Hỏi

cần pha chế bao nhiêu lít nước mỗi loại để đội chơi được số điểm thưởng là cao

nhất?

Lời giải:

Gọi số lít nước A và B cần pha chế lần lượt là x lít và y lít (x ≥ 0; y ≥ 0)

Do 1 lít nước A cần 45 g đường, 1 lít nước và 0,5 g hương liệu nên x lít nước A cần

45x g đường, x lít nước và 0,5x g hương liệu

Do 1 lít nước B cần 15 g đường, 1 lít nước và 2 g hương liệu nên y lít nước A cần

15y g đường, y lít nước và 2y g hương liệu

Do có tối đa 12g hương liệu, 9 lít nước và 315 g đường nên 45x + 15y ≤ 315; x + y

Với số điểm thưởng đội chơi nhận được là F(x; y) = 60x + 80y (điểm)

Biểu diễn tập nghiệm của các bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ:

• Đường thẳng d1: x = 0 là đường thẳng trùng với trục Oy

Chọn điểm I(1; 1)  d1 và thay bảo biểu thức x ta được 1 > 0

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ d1 chứa điểm I(1; 1)

• Đường thẳng d2: y = 0 là đường thẳng trùng với trục Ox

Chọn điểm I(1; 1)  d2 và thay bảo biểu thức y ta được 1 > 0

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ d2 chứa điểm I(1; 1)

• Vẽ đường thẳng d3: 0,5x + 2y = 12 bằng cách vẽ đường thẳng đi qua hai điểm (0; 6) và (4; 5)

Chọn điểm I(1; 1)  d3 và thay bảo biểu thức 0,5x + 2y ta được 0,5 1 + 2 1 = 2,5

< 12

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình 0,5x + 2y ≤ 12 là nửa mặt phẳng bờ d3

chứa điểm I(1; 1)

• Vẽ đường thẳng d4: x + y = 9 bằng cách vẽ đường thẳng đi qua hai điểm (3; 6) và (4; 5)

Chọn điểm I(1; 1)  d4 và thay bảo biểu thức x + y ta được 1 + 1 = 2 < 9

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 9 là nửa mặt phẳng bờ d4 chứa điểm I(1; 1)

• Vẽ đường thẳng d5: 45x + 15y = 315 bằng cách vẽ đường thẳng đi qua hai điểm (5; 6) và (7; 0)

Chọn điểm I(1; 1)  d4 và thay bảo biểu thức 45x + 15y ta được 45 1 + 15 1 = 60

< 315

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình 45x + 15y ≤ 315 là nửa mặt phẳng bờ d5

chứa điểm I(1; 1)

Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền không bị gạch như hình vẽ

Bài tập cuối chương 2 Trang 24

A Trắc nghiệm

Bài 2.10 trang 24 SBT Toán 10 tập 1: Trong các bất phương trình sau, bất phương trình

nào là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

Bài 2.11 trang 24 SBT Toán 10 tập 1: Trong các hệ bất phương trình sau, hệ bất phương

trình nào là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

Thay x = 4; y = 2 vào biểu thức 2x + 5y ta được 2 4 + 5 2 = 18 > 10 nên phương án A

A Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ d: x + 2y = 3 chứa gốc tọa độ

B Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ d: x + 2y = 3 không chứa gốc tọa độ

C Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ d: x + 2y = 3 chứa gốc tọa

Thay x = 0; y = 0 vào biểu thức x + 2y ta được 0 + 2 0 = 0 < 3

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ d: x + 2y = 3 chứa gốc tọa

độ

Vậy ta chọn phương án A

Trang 25

Bài 2.15 trang 25 SBT Toán 10 tập 1: Cặp số nào dưới đây là nghiệm của hệ bất phương

Các phương án A, B, C đều có giá trị x ≤ 0, do đó không thỏa mãn với điều kiện x > 0

Thay x = 2; y = 4 vào hệ bất phương trình ta có:

Các phương án A, B, D có giá trị của y > 0 nên không thỏa mãn điều kiện y ≤ 0

Thay x = 4; y = 1 vào hệ bất phương trình ta được:

x + y = 4 + (1) = 5 < 2 (thỏa mãn); x  2y = 4  2 (1) = 6 > 1 (thỏa mãn), 1 < 0 (thỏa mãn)

Vậy chọn phương án D

Bài 2.17 trang 25 SBT Toán 10 tập 1: Miền nghiệm của hệ bất phương trình nào dưới

đây là miền tam giác ABC (miền không bị gạch)?

Suy ra phương trình đường thẳng AB là y = x + 1 hay x + y = 1

Gọi phương trình đường thẳng BC là d2: y = cx + d

Suy ra phương trình đường thẳng BC là y = x  1 hay x  y = 1

Đường thẳng AC trùng với trục Oy nên phương trình đường thẳng AC là x = 0

Ta thấy điểm (0,5; 0) là điểm thuộc miền nghiệm của hệ

Thay x = 0,5; y = 0 vào biểu thức x + y được 0,5 < 1

Suy ra bất phương trình thỏa mãn miền nghiệm trên là x + y ≤ 1 (1)

Thay x = 0,5; y = 0 vào biểu thức x  y được 0,5 < 1

Suy ra bất phương trình thỏa mãn miền nghiệm trên là x  y ≤ 1 (2)

Thay x = 0,5; y = 0 vào biểu thức x được 0,5 > 0

Suy ra bất phương trình thỏa mãn miền nghiệm trên là x ≥ 0 (3)

C Miền tứ giác

D Miền ngũ giác

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Biểu diễn tập nghiệm của các bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ:

• Vẽ đường thẳng d1: x = 1 là một đường thẳng song song với trục Oy và đi qua điểm có

hoành độ bằng 1

Chọn điểm I(1; 1)  d1 và thay vào biểu thức x ta được 1 > 1

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x ≥ 1 là nửa mặt phẳng bờ d1 chứa điểm I(1;

1)

• Vẽ đường thẳng d2: x + y = 0 bằng cách vẽ một đường thẳng đi qua hai điểm (0; 0) và

(1; 1)

Chọn điểm I(1; 1)  d2 và thay vào biểu thức x + y ta được 1 + 1 = 2 > 0

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 0 là nửa mặt phẳng bờ d2 không chứa

điểm I(1; 1)

• Đường thẳng d3: y = 0 trùng với trục Ox

Chọn điểm I(1; 1)  d3 và thay vào biểu thức y ta được 1 > 0

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ d3 chứa điểm I(1; 1)

Khi đó miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch như hình vẽ dưới đây:

Ta thấy miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là miền tam giác