Bảng biến thiên: Đồ thị không cắt trục hoành... Ghi chú: Câu này còn có nhiều cách giải khác.
Trang 1Bộ giáo dục và đào tạo kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2003
đề thi chính thức Môn thi : toán Khối A
1)
Khi
x x
− + −
+ Tập xác định: R\{ 1 }
+
2
0
2
( 1) ( 1)
x
x x
x
=
− +
−
=
−
−
∞
→
∞
1
1 lim ) ( lim
x x
y
x
x tiệm cận xiên của đồ thị là: y=−x
=∞⇒
→ y
x 1lim tiệm cận đứng của đồ thị là: x=1
Bảng biến thiên:
Đồ thị không cắt trục hoành
Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0; 1)
1 điểm
0,25 đ
0,5 đ
0, 25 đ
+∞ +∞ −3
1 − ∞ − ∞
y
x
−3 1
−1
Trang 22)
Đồ thị hàm số
1
2
ư
+ +
=
x
m x mx
y cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ dương ⇔ phương trình f x( )=mx2+ + = có 2 nghiệm dương phân biệt khác 1 x m 0
2
0
(1) 2 1 0
1
m m
f m
m
≠
∆ = ư >
= ư > = >
0 1
1 2
0
2 0
m m
m m
m
≠
<
≠ ư
<
Vậy giá trị m cần tìm là: 1
0
2 m
ư < <
1 điểm
0,25 đ
0,75 đ
1)
Điều kiện
sin 0 cos 0 (*)
tg 1
x x x
≠
≠ ư
Khi đó phương trình đã cho sin (sin cos )
cos
sin 1
sin cos
1 sin
x x x x
x
x x
x
+
ư
=
ư
⇔
cos sin cos (cos sin ) sin (sin cos )
sin
x x x x x x x x
x
ư
2
(cosx sin )(1 sin cosx x x sin x) 0
2
cos sin 0
1 sin cos sin 0
x x
x x x
⇔
4
x= x⇔ x= ⇔ = +x k k∈ Z thỏa mãn điều kiện (*)
1 sin cos sin 0 1 sin 2 sin 0 :
2
Vậy nghiệm của phương trình là: π
π ( ) 4
x= +k k∈Z
2) Giải hệ
3
1 1 (1)
2 1 (2)
x y
x y
y x
ư = ư
+ Điều kiện xy≠ 0
+ Ta có (1) ( )(1 1 ) 0
1
x y
x y
xy xy
=
y x x x x x x
1
1 5 2
1 5 2
x y
x y
x y
ư +
⇔ = =
ư ư
= =
1 điểm
0, 25 đ
0, 25 đ
0, 25 đ
0, 25 đ
1 điểm
0, 25 đ
0,5 đ
Trang 3TH2: 3 3
4
2
y
x
x
= +
Ta chứng minh phương trình (4) vô nghiệm
Cách 1
+ + = ư + + + > ∀
Cách 2 Đặt 4
3
1
4
∈
ư
x
f x x x f x f x f
Trường hợp này hệ vô nghiệm
Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
( ; ) (1;1), ; , ;
x y ư + ư + ư ư ư ư
0, 25 đ
1)
Cách 1 Đặt AB = Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên A’C, suy ra BH ⊥ a
A’C, mà BD ⊥ (A’AC) ⇒ BD ⊥ A’C, do đó A’C ⊥ (BHD) ⇒ A’C ⊥ DH Vậy góc
phẳng nhị diện [B A C D là góc n, ' , ] BHD
Xét ∆A DC' vuông tại D có DH là đường cao, ta có DH A C CD A D ' = '
' '
CD A D
DH
A C
a a a a
= = Tương tự, ∆A BC' vuông tại B có BH là đường
cao và 2
3
a
BH =
Mặt khác:
a a a
a =BD =BH +DH ư BH DH BHD= + ư BHD,
do đó cosn 1
2
BHD= ư ⇒BHDn=120o
Cách 2 Ta có BD ⊥ AC ⇒ BD ⊥ A’C (Định lý ba đường vuông góc)
Tương tự, BC’⊥ A’C ⇒ (BC’D) ⊥ A’C Gọi H là giao điểm của A C và (' BC D ' )
⇒ nBHD là góc phẳng của [B A C D ; ' ; ]
Các tam giác vuông HA’B, HA’D, HA’C’ bằng nhau ⇒ HB = HC’ = HD
⇒ H là tâm ∆BC’D đều ⇒nBHD=120o
1 điểm
0, 25 đ
0, 25 đ
0, 25 đ
0, 25 đ hoặc
0, 25đ 0,25 đ 0,5 đ
A
A’
D’
D
C
B
H
I
Trang 42)
a) Từ giả thiết ta có
) 2 ; ; ( ) ; ; ( ' 0);
; ; (a a C a a b M a a b
Vậy ( ; ; 0), (0; ; )
2
b
BD= −a a BM = a
2
2 2
ab ab
BD BM a
JJJG JJJJG
2
a b
BA = −a b ⇒BD BM BA = −
JJJG JJJG JJJJG JJJG
Do đó
2
, '
V = BD BM BAJJJG JJJJG JJJG = b) Mặt phẳng (BDM) có véctơ pháp tuyến là 2
2 2
ab ab
n =BD BM= −a
JJG JJJG JJJJG
, mặt phẳng ( 'A BD có véctơ pháp tuyến là ) nJJG2 =BD BAJJJG JJJG, '=( ; ab ab a; 2)
Do đó
2 2 2 2
4
1 2
a b a b BDM ⊥ A BD ⇔n nJJG JJG= ⇔ + −a = ⇔ =a b a 1
b
⇔ =
2 điểm
0, 25 đ
0, 25 đ
0, 25 đ
0, 25 đ
0, 5 đ
0, 5 đ
1)
C ++ −C + = n+ ⇔ C ++ +C + −C + = n+
( 2)( 3) 7( 3) 2 7.2! 14 12.
2!
n+ n+ n n n
Số hạng tổng quát của khai triển là ( )3 52 12 60 112
k
C x x C x
Ta có
60 11
8
2
−
−
k
k
Do đó hệ số của số hạng chứa x là 8 495
)!
4 12 ( 4
! 12
4
−
=
C
2) Tính tích phân
2 3
2 2
xdx I
x x
=
+
Đặt 2
2
4
4
xdx
t x dt
x
+ và
2 2 4
x =t − Với x= 5 thì t= , với 3 x=2 3 thì t= 4
Khi đó
2
2 2
5
4 4
xdx dt
t t t
x x
− +
4 3
t t
−
+
1 điểm
0, 5 đ
0, 25 đ
0, 25 đ
1 điểm
0, 25 đ
0, 25 đ
0,25 đ
0, 25 đ
A
A’
B’
C’
D’
D
C
B
y
x
z
Trang 5Câu 5 1điểm
Với mọi ,u vG G ta có |u vG G+ | | | | | (*)≤ uG + vG
|u vG G+ | =uG +vG +2 | |u vG G ≤ uG +| |vG +2 | | | | | | | |uG vG = uG + vG )
Đặt ;1,
=
→
x x
a =
→
y y
b ;1 ,
=
→
z z
c ;1
áp dụng bất đẳng thức (*) ta có | |aG +| | | | |bG + cG ≥ a bG G+ +| | | |cG ≥ a b cG G G+ + |
Vậy
2
x y z
Cách 1 Ta có
2
2
x y z
t= xyz ⇒ < ≤t + + ≤
9
Q t t Q t t Q t
= + ⇒ = − < ∀ ∈ ⇒
giảm trên
1 0;
9
1
9
Q t Q
⇒ ≥ =
Vậy P≥ Q t( )≥ 82.
(Dấu “=” xảy ra khi 1
3
x= = =y z )
Cách 2
Ta có
(x y z) 81(x y z) 80(x y z)
+ + + + + = + + + + + − + +
2
1 1 1 18(x y z) 80(x y z) 162 80 82
x y z
Vậy P≥ 82
(Dấu “=” xảy ra khi 1
3
x= = =y z )
Ghi chú: Câu này còn có nhiều cách giải khác
0, 25 đ
0, 25 đ
0, 25 đ
0, 25 đ
hoặc 0,25 đ
0,5 đ
