Chuyên đề 12 một số bài toán thể tích khối chóp lăng trụ khó

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 Điện thoại 0946798489 Facebook Nguyễn Vương https //www facebook com/phong baovuong Trang 1 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9 10 ĐIỂM Câu 1 (Mã 101 2018) Cho[.]

Trang 1

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 Điện thoại: 0946798489

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM Câu 1 (Mã 101 2018) Cho khối lăng trụ ABC A B C   , khoảng cách từ C đến đường thẳng BB bằng

2, khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB và CC lần lượt bằng 1 và 3 , hình chiếu vuông góc của

A lên mặt phẳng A B C   là trung điểm M của B C  và 2 3

Câu 2 (Mã 103 -2018) Cho khối lăng trụ ABC A B C ' ' ', khoảng cách từ C đến đường thẳng BB' bằng

2, khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB' và CC' lần lượt bằng 1 và 3 , hình chiếu vuông góc của

A lên mặt phẳng ( ' ' ')A B C là trung điểm M của B C' ' và A M ' 2 Thể tích của khối lăng trụ đã cho

bằng

A 2 3

Câu 3 (Mã 102 2018) Cho khối lăng trụ ABC A'B'C' , khoảng cách từ C đến BB' là 5 , khoảng cách

từ A đến BB' và CC' lần lượt là 1; 2 Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳngA B C' ' ' là trung điểm

M của B C' ', 15

'3

Câu 4 (Mã 104 2018) Cho khối lăng trụ ABC A B C    Khoảng cách từ C đến đường thẳng BB bằng

5, khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB và CC lần lượt bằng 1 và 2, hình chiếu vuông góc của

A lên mặt phẳng A B C   là trung điểm M của B C  và A M  5 Thể tích của khối lăng trụ đã cho

Câu 5 (Chuyên Hưng Yên - 2020) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C    có đáy là tam giác vuông

tại A , AB 2, AC  3 Góc CAA 90 , BAA 120 Gọi M là trung điểm cạnh BB (tham khảo hình

vẽ) Biết CM vuông góc với A B , tính thể tích khối lăng trụ đã cho

MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÓ THỂ TÍCH KHỐI CHÓP - LĂNG TRỤ

Chuyên đề 12

Trang 2

Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/

Câu 6 (Chuyên KHTN - 2020) Cho khối lăng trụ đứng ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông   

cân tại C , AB2a và góc tạo bởi hai mặt phẳng ABC và  ABC bằng 60 Gọi  M N, lần lượt là trung điểm của  A C và BC Mặt phẳng AMN chia khối lăng trụ thành hai phần Thể tích của phần nhỏ 

a

3

7 624

a

333

a

Câu 7 (Chuyên Bắc Ninh - 2020) Cho hình chóp tam giác đều S ABC có SA 2 Gọi D , E lần lượt

là trung điểm của cạnh SA, SC Thể tích khối chóp S ABC biết BD AE

Câu 8 (Chuyên Thái Bình - 2020) Cho hình lăng trụ ABC A B C    có đáy ABC là tam giác vuông tại

A , cạnh BC2a và ABC600 Biết tứ giác BCC B  là hình thoi có B BC nhọn Mặt phẳng  BCC B 

vuông góc với ABC và mặt phẳng ABB A  tạo với ABC góc 450 Thể tích khối lăng trụ ABC A B C   bằng

A

3

77

a

3

3 77

a

3

6 77

a

3

721

a

Câu 9 (Chuyên Vĩnh Phúc - 2020) Cho khối lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy là tam giác đều Mặt phẳng A BC  tạo với đáy góc 300 và tam giác A BC có diện tích bằng 8 Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho

Câu 10 (Sở Phú Thọ - 2020) Cho khối lăng trụ ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại ' ' '

,

A ABa BC, 2a Hình chiếu vuông góc của đỉnh ’A lên mặt phẳng ABC là trung điểm của cạnh

H của cạnh AC Góc giữa hai mặt phẳng BCB C' 'và ABC bằng 60 Thể tích khối lăng trụ đã cho 0bằng:

a

3

3 38

a

3

316

a

Câu 11 (Sở Phú Thọ - 2020) Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, ABa, SA

vuông góc với mặt phẳng đáy và SAa Góc giữa hai mặt phẳng SBC và SCD bằng , với

a

3

2 23

a

323

Trang 3

Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023

Câu 13 (Đô Lương 4 - Nghệ An - 2020) Cho hình lăng trụ ABC A B C    có đáy ABC là tam giác vuông

tại A , cạnh BC2a và ABC 60 Biết tứ giác BCC B  là hình thoi có B BC nhọn Biết BCC B 

vuông góc với ABC và ABB A  tạo với ABC góc 45 Thể tích của khối lăng trụ ABC A B C    bằng

A

37

a

337

a

367

Câu 14 (Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên 2019) Cho lăng trụ ABC A B C ' ' ' có đáy là tam giác đều cạnh

a, hình chiếu vuông góc của điểm A ' lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết

khoảng cách giữa hai đường thẳng AA 'và BC bằng 3

a

3

3 6

a

3

3 3

a

3

3 24

a

Câu 15 (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2019) Cho hình chóp S ABC có SA vuông góc với mặt phẳng

ABCvà tam giác ABC cân tại A Cạnh bên SBlần lượt tạo với mặt phẳng đáy, mặt phẳng trung trực của

BC các góc bằng 300 và 450, khoảng cách từ S đến cạnh BC bằng a Thể tích khối chóp S ABC bằng:

A

3

Câu 19 (Cụm Liên Trường Hải Phòng 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác đều cạnh a

A

3

5 312

a

3

5 36

a

3

4 33

a

3

7 312

Trang 4

Câu 21 Cho hình chóp S ABC có ASBCSB60

, ASC 90, SASBa, SC3a Tính thể tích của khối chóp S ABC

A

324

a

3618

a

3212

a

366

a

3

5 3.6

a

3

4 3.3

a

3

7 3.12

a

B

3

3 2

a

C

3.6

a

D

3

2 3

a

Câu 26 Cho hình lăng trụ đều ABC A B C    Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ABC  bằng 

a , góc giữa hai mặt phẳng ABC và  BCC B  bằng   với 1

cos

2 3

 Tính thể tích khối lăng trụ

Trang 5

Câu 29 (Cụm 5 Trường Chuyên - Đbsh - 2018) Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy là tam giác

ABC vuông cân tại A, cạnh BCa 6 Góc giữa mặt phẳng AB C  và mặt phẳng BCC B  bằng 60 

Tính thể tích V của khối đa diện AB CA C  

a

333

a

316

Câu 31 (Liên trường Quỳnh Lưu - Hoàng Mai - Nghệ An - 2021) Cho lăng trụ ABC A B C    Gọi M ,

N, Q, R lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, A B , BC, B C  và P, S lần lượt là trọng tâm của các tam giác AA B , CC B Tỉ số thể tích khối đa diện MNRQPS và khối lăng trụ ABC A B C    là

BCDA là

A

36

a

323

a

Câu 34 (Chuyên ĐHSP Hà Nội - 2021) Cho hình lăng trụ ABC A B C    có đáy là tam giác đều Hình

chiếu vuông góc của A trên ABC là trung điểm của BC Mặt phẳng  P vuông góc với các cạnh bên và

cắt các cạnh bên của hình lăng trụ lần lượt tại D , E , F Biết mặt phẳng ABBA vuông góc với mặt phẳng ACC A   và chu vi của tam giác DEF bằng 4, thể tích khối lăng trụ  ABC A B C    bằng

A 12 10 7 2   B 4 10 7 2   C 6 10 7 2   D 12 10 7 2   

C' B'

D'

D A

A'

Trang 6

Câu 35 (THPT Đào Duy Từ - Hà Nội - 2021) Cho khối chóp S ABC Có AB2,AC3 và

BAC  SA vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M N, lần lượt là hình chiếu của A trên SB và SC

Biết góc giữa mặt phẳng ABC và AMN bằng 60 Thể tích của khối chóp đã cho bằng

S ABC

A

3510

a

V  B

31510

a

V  C

3155

a

V  D

352

20 và hình chiếu vuông góc của S

xuống đáy nằm trong tam giác ABC Tính thể tích khối chóp V S ABC.

a

3 23

a

3 26

a

3 212

a

3212

a

326

a

3612

a

Câu 41 (Chuyên Biên Hòa - 2021) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với

Trang 7

a

3

9 22

4

a

394

a

3

3 24

a

332

314

AA  , hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng ' ABCD trùng với giao điểm của 

AC và BD Gọi M N P R, , , lần lượt là trung điểm của AB B D AD DC', ' ', ', 'và Q là trung điểm của BR Thể

tích của khối chóp MNPQ bằng

A

316

a

324

a

38

a

3327

a

Câu 45 (Sở Hưng Yên - 2021) Cho khối hộp ABCD A B C D    có A B vuông góc với mặt phẳng đáy

ABCD; góc giữa AA với ABCD bằng 45 Khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB DD,  cùng bằng 1 Góc giữa hai mặt phẳng BB C C   và C CDD  bằng  60 Tính thể tích khối hộp ABCD A B C D    

Câu 46 (Cụm Trường Nghệ An - 2022) Cho tứ diện ABCD có AC 2CD  DB 2 a Gọi H và K

lần lượt là hình chiếu vuông góc

của A và B lên đường thẳng CD sao cho H C D K, , , theo thứ tự cách đều nhau Biết góc tạo bởi

AH và BK bằng 60 Thể tích khối tứ diện ABCD bằng

A

3 36

a

3 38

a

3 33

a

3 34

a

C 2a 3

D 2a3

Trang 8

Câu 48 (Liên trường Hà Tĩnh – 2022) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy là hình vuông; mặt bên

(SAB) là tam giác vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Biết khoảng cách giữa hai

AB AD A C  và mặt phẳng AA C C   vuông góc với mặt đáy Biêt hai mặt phẳng AA C C  

và AA B B   tạo với nhau góc  có tan 3

a

33

a

3 312

a

3 33

a

Câu 51 (THPT Võ Nguyên Giáp - Quảng Bình - 2022) Cho hình hộp đứng ABCD A B C D     có đáy

ABCD là hình vuông Gọi S là tâm hình vuông A B C D    Gọi Mvà N lần lượt là trung điểm của SAvà

BC Biết rằng, nếu MN tạo với mặt phẳng ABCD một góc 60 và ABa thì thể tích S ABC bằng

A

33012

a

3303

a

332

a

Câu 52 (Sở Ninh Bình 2022) Cho khối hộp ABCD A B C D     có AC  3 Biết rằng các khoảng cách

từ các điểm A B D, , đến đường thẳng AC là độ dài ba cạnh của một tam giác có diện tích 6

Trang 9

Câu 53 (THPT Quảng Xương 1 – Thanh Hóa 2022) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thoi tâm

a

B

3 34

a

C

3 24

a

D

3 38

a

Câu 54 (Cụm trường Nam Định 2022) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều, hình chiếu

vuông góc của đỉnh S trên mặt đáy là trung điểm H của cạnh AB Biết 3

a

316

a

32

a

338

a

Câu 55 (Liên trường Quảng Nam 2022) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a ,

SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD , góc giữa hai mặt phẳng SBD và ABCD bằng 60 Gọi ,

M N lần lượt là trung điểm của cạnh SB SC Tính thể tích khối chóp , S ADNM

A

3 624

a

3 616

a

Câu 56 (Sở Hưng Yên 2022) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật,

AB AD SASB SCSD Biết mặt phẳng SAB và  SCD vuông góc với nhau đồng thời 

tổng diện tích của hai tam giác SAB và SCD bằng 2 Thể tích khối chóp S ABCD bằng

a

334

a

334

a

3

3 32

a

Câu 58 (THPT Trần Nhân Tông – Quảng Ninh 2022) Cho hình chóp S ABCD có ABCD là hình bình hành biết rằng SAD 90BAC , cạnh SA2 2 ,a BC2 ,a SB 6a Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SD biết khoảng cách giữa CH và SB bằng 2a Thể tích khối chóp S ABCD bằng

A 2a3

3

2a

Trang 10

D 10 3

3 a

Câu 59 (Sở Nghệ An 2022) Cho hình chóp có đáy ABCD là hình chữ nhật, biết AB4 ,a AD2a và

SA vuông góc với đáy Gọi M là trung điểm của cạnh SC , khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( SBD bằng )

ABa , ADa Biết góc giữa hai mặt phẳng SAB và SBD bằng 45, hãy tính theo a thể tích V

của khối chóp S ABCD

Trang 11

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM Câu 1 (Mã 101 2018) Cho khối lăng trụ ABC A B C   , khoảng cách từ C đến đường thẳng BB bằng

2, khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB và CC lần lượt bằng 1 và 3 , hình chiếu

vuông góc của A lên mặt phẳng A B C   là trung điểm M của B C  và 2 3

Cắt lăng trụ bởi một mặt phẳng qua A và vuông góc với AA ta được thiết diện là tam giác

1 1

A B C có các cạnh A B 1 ; 1 A C 1 3; B C 1 1 2

Suy ra tam giác A B C 1 1 vuông tại A và trung tuyến A H của tam giác đó bằng 1

Gọi giao điểm của AM và A H là T

A M AA

A B C

V  AA S    

Câu 2 (Mã 103 -2018) Cho khối lăng trụ ABC A B C ' ' ', khoảng cách từ C đến đường thẳng BB'

MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÓ THỂ TÍCH KHỐI CHÓP - LĂNG TRỤ

Chuyên đề 12

Trang 12

chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng ( ' ' ')A B C là trung điểm M của B C' ' và A M ' 2

Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

A 2 3

Lời giải Chọn D

Gọi A A lần lượt là hình chiếu của 1, 2 A trên BB', CC' Theo đề ra

1 1; 2 3; 1 2 2

AA  AA  A A 

Do AA12AA22 A A1 22 nên tam giác AA A vuông tại 1 2 A

Gọi H là trung điểm A A thì 1 2 1 2 1

S S

  Thể tích lăng trụ là V AM S ABC  2

Nhận xét Ý tưởng câu này là dùng diện tích hình chiếu S'Scos

Câu 3 (Mã 102 2018) Cho khối lăng trụ ABC A'B'C' , khoảng cách từ C đến BB' là 5 , khoảng

cách từ A đến BB' và CC' lần lượt là 1; 2 Hình chiếu vuông góc của A lên mặt

phẳngA B C' ' ' là trung điểm M của B C' ', 15

'3



A M Thể tích của khối lăng trụ đã cho

bằng

Trang 13

Vì CC'BB' d C BB( , ')  d K BB  IK( , ')  5  AIK vuông tại A

Gọi E là trung điểm của IK EF BB ' EFAIKEF AE

Lại có AM ABC Do đó góc giữa hai mặt phẳng ABC và AIK là góc giữa EF và

AM bằng góc AMEFAE Ta có cos AE

FAE

AF

52153

Câu 4 (Mã 104 2018) Cho khối lăng trụ ABC A B C    Khoảng cách từ C đến đường thẳng BB

bằng 5 , khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB và CC lần lượt bằng 1 và 2, hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng A B C   là trung điểm M của B C  và A M  5

Trang 14

Gọi J , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên BB và CC , H là hình chiếu vuông

Xét AJK có JK2AJ2AK25 suy ra AJK vuông tại A

Gọi F là trung điểm JK khi đó ta có 5

2

AJK ABC

Câu 5 (Chuyên Hưng Yên - 2020) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C    có đáy là tam giác vuông

tại A , AB 2, AC  3 Góc CAA 90 , BAA 120 Gọi M là trung điểm cạnh BB (tham khảo hình vẽ) Biết CM vuông góc với A B , tính thể tích khối lăng trụ đã cho

Trang 15

DoACAB, AC AA nên AC ABB A  Mà A B ABB A  nên AC A B

Câu 6 (Chuyên KHTN - 2020) Cho khối lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy ABC là tam giác vuông

cân tại C , AB2a và góc tạo bởi hai mặt phẳng ABC và ABC bằng 60 Gọi M N,lần lượt là trung điểm của  A C và BC Mặt phẳng AMN chia khối lăng trụ thành hai phần

a

3

7 624

a

3

33

a

Lời giải Chọn A

Trang 16

Gọi I là trung điểm AB, suy ra ABCIC nên góc giữa C AB  và ABC là góc

Thể tích khối lăng trụ là V CC S ABC a 3a2 a3 3

Trong ACC A , kéo dài AM cắt CC tại O 

Suy ra C M là đường trung bình của OAC , do đó OC2CC2a 3

7 324

C EM CAN

a

Câu 7 (Chuyên Bắc Ninh - 2020) Cho hình chóp tam giác đều S ABC có SA 2 Gọi D , E lần

lượt là trung điểm của cạnh SA, SC Thể tích khối chóp S ABC biết BDAE

Trang 17

Gọi O là tâm tam giác đều ABC Do S ABC là hình chóp đều nên ta có SOABC

Câu 8 (Chuyên Thái Bình - 2020) Cho hình lăng trụ ABC A B C    có đáy ABC là tam giác vuông

tại A , cạnh BC2a và ABC600 Biết tứ giác BCC B  là hình thoi có B BC nhọn Mặt phẳng BCC B  vuông góc với ABC và mặt phẳng ABB A  tạo với ABC góc 450 Thể tích khối lăng trụ ABC A B C    bằng

Trang 18

BCC B ABC BC Do đó trong BCC B  kẻ B H vuông góc với BC tại H

thìB H ABC hay B H là chiều cao của hình lăng trụ

Trong ABC kẻ HK vuông góc với AB tại K Khi đó ABB HK 

B HK vuông tại H có  B KH 45 B HK vuông cân tại H B H KH

Xét hai tam giác vuông B BH và BKH , ta có

Câu 9 (Chuyên Vĩnh Phúc - 2020) Cho khối lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy là tam giác đều Mặt

phẳng A BC  tạo với đáy góc 0

30 và tam giác A BC có diện tích bằng 8 Tính thể tích V

của khối lăng trụ đã cho

Trang 19

Gọi I là trung điểm cạnh BC

Vì ABC A B C    là lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều nên ABC A B C    là khối lăng trụ đều

Do đó ta có: A B A C Suy ra tam giác A BC cân tại A A I BC

Mặt khác: tam giác ABC đều AI BC

Suy ra BCA IA 

Vậy góc giữa mặt phẳng A BC  và mặt đáy bằng góc A IA 300

Ta có: tam giác ABC là hình chiếu của tam giác A BC trên mặt đáy nên

0.cos 8.cos 30 4 3

ABC A BC

Đặt ABx

23

Suy ra: V ABC A B C.     AA S ABC2.4 38 3

Câu 10 (Sở Phú Thọ - 2020) Cho khối lăng trụ ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại ' ' '

,

A ABa BC, 2a Hình chiếu vuông góc của đỉnh ’A lên mặt phẳng ABC là trung điểm

của cạnh H của cạnh AC Góc giữa hai mặt phẳng BCB C' 'và ABC bằng 60 Thể tích 0khối lăng trụ đã cho bằng:

a

3

3 38

a

3

316

a

Lời giải Chọn C

Trang 20

Gọi K là trung điểm của ’ ’ A C từ K kẻ KM vuông góc với ’ ’ B C

Tứ giác KMIH là hình bình hành nên 3

Câu 11 (Sở Phú Thọ - 2020) Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, ABa, SA

vuông góc với mặt phẳng đáy và SAa Góc giữa hai mặt phẳng SBC và SCD bằng ,

a

3

2 23

a

323

a

Trang 21

AD  , A C 3 và mặt phẳng AA C C   vuông góc với mặt đáy Biết hai mặt phẳng

AA C C  , AA B B   tạo với nhau góc  có 3

Trang 22

Gọi M là trung điểm của AA Kẻ A H vuông góc với AC tại H , BK vuông góc với AC

tại K , KN vuông góc với AA tại N

Do AA C C    ABCD suy ra A H ABCD và BK AA C C  BKAA

 

AA BKN AA NB

    suy ra  AA C C   , AA B B   KNB

Ta có: ABCD là hình chữ nhật với AB  6, AD  3 suy ra BD 3 AC

Suy ra ACA cân tại C Suy ra CM AAKN CM//

AC

2 2

Câu 13 (Đô Lương 4 - Nghệ An - 2020) Cho hình lăng trụ ABC A B C    có đáy ABC là tam giác

vuông tại A , cạnh BC2a và ABC 60 Biết tứ giác BCC B  là hình thoi có B BC nhọn Biết BCC B  vuông góc với ABC và ABB A  tạo với ABC góc 45 Thể tích của khối lăng trụ ABC A B C    bằng

Trang 23

Lời giải Chọn B

Gọi H là chân đường cao hạ từ Bcủa tam giác B BC Do góc B BC là góc nhọn nên H

thuộc cạnh BC BCC B  vuông góc với ABC suy ra B H là đường cao của lăng trụ

Khi đó mặt phẳng B HK  vuông góc với AB nên góc giữa hai mặt phẳng ABB A  và

ABC là góc B KH Theo giả thiết, B KH 45 B K h 2, với B H h

Xét tam giác vuông B BH có B H 2BH2 B B 2 hay 2 2 2 

h  BK  a Xét tam giác vuông B BK B K :  2BK2B B 2 hay 2 2 2 

Câu 14 (Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên 2019) Cho lăng trụ ABC A B C ' ' ' có đáy là tam giác đều

cạnh a, hình chiếu vuông góc của điểm A ' lên mặt phẳng  ABC  trùng với trọng tâm tam giác

ABC Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA 'và BC bằng 3

4

a

Tính theo a thể tích khối lăng trụ đó

A

3

312

a

3

36

a

3

33

a

3

324

a

Trang 24

+ Gọi M là trung điểm BC, H là trọng tâm tam giác ABC A H '   ABC 

23

Câu 15 (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2019) Cho hình chóp S ABC có SA vuông góc với mặt phẳng

ABCvà tam giác ABC cân tại A Cạnh bên SBlần lượt tạo với mặt phẳng đáy, mặt phẳng trung trực của BC các góc bằng 300 và 450, khoảng cách từ S đến cạnh BC bằng a Thể tích khối chóp S ABC bằng:

A

3

Trang 25

+ Lấy M là trung điểm của BC, tam giác ABC cân tại A

AMBC



SA BC

 

BC SAM tại trung điểm M  SAM là mặt phẳng trung trực cạnh BC

Góc giữa SBvà mặt phẳng SAM= góc giữa SBvà SM=  0

45



BSM Góc giữa SBvà mặt phẳng ABC= góc giữa SBvà AB=  0

Trang 26

Gọi H K lần lượt là trung điểm cạnh , CD AB ,

   do đó AH BH (2 đường cao tương ứng) (2)

Từ (1), (2) suy ra AHB vuông cân tại H

Trang 27

Câu 17 (Chuyên Đại học Vinh - 2019) Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có SAa 11, cosin góc

hợp bởi hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) bằng 1

10 Thể tích của khối chóp S ABCD. bằng

Gọi H là tâm của hình vuông ABCD nên SH (ABCD) Đặt m HA , nSH Do tam giác

SAH vuông tại H nên m2n211a2

Xây dựng hệ trục tọa độ như sau: H(0;0;0), B m( ;0;0), D m( ;0;0), C(0; ;0)m , S(0;0; )n

Chiều cao của hình chóp là SH 3a

Diện tích của hình vuông là S ABCD 4a2

Trang 28

Gọi M N P lần lượt là hình chiếu của , , H lên các cạnh AC BC AB , ,

a

3

5 36

a

3

4 33

a

3

7 312

a

V 

Trang 29

Vì   0

90

SABSCB S A B C, , , cùng thuộc mặt cầu đường kính SB

Gọi D là trung điểm BC, I là trung điểm SB và O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC, ta

Lời giải

Trang 30

+ Dựng hình chóp ' ' 'S A B C sao cho A là trung điểm B C , ' ' B là trung điểm A C , C là ' 'trung điểm A B' '

+ Khi đó SB ACBA'BC' nên 4 SA C' 'vuông tại S và

Câu 21 Cho hình chóp S ABC có ASBCSB 60 , ASC 90, SASBa, SC3a Tính thể tích

của khối chóp S ABC

A

3

24

a

3

618

a

3

212

a

3

66

a

Trang 31

 là đường cao của khối chóp SABM

Thể tích của khối chóp S ABM là

3

Vì SABSCB90 S A B C, , , cùng thuộc mặt cầu đường kính SB

Gọi D là trung điểm BC , I là trung điểm SB và O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC, ta có

N

J

H I

E

D

Trang 32

Ta có    

,,

a

3

5 3.6

a

3

4 3.3

a

3

7 3.12

a

V 

Gọi I là trung điểm của SB

Do SABSCB 90 nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC

Gọi O là tâm của đáy ABC OI(ABC)

Gọi H là hình chiếu của S lên mặt phẳng ABC Ta có AB(SAH)ABAH Tương

tự, BCCH Suy ra H thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm là , O nên O là trung điểm của BH Do đó, SH2OI

Gọi N là trung điểm của BCIN//SC nên BCINBCAIN(*)

Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB và K là hình chiếu của G lên mặt phẳng

Trang 33

Tam giác GKN vuông tại K có

Dựng tứ diện D A B C    sao cho A, B, C lần lượt là trung điểm của B C , A C , A B 

Theo cách dựng và theo bài ra có: ACBCBD

Xét tam giác DA C  có: BD là đường trung tuyến và A B BCBD DA C  vuông tại

D

Chứng minh tương tự ta cũng có: DB C , DA B  vuông tại D

Khi đó tứ diện D A B C    có các cạnh DA, DB, DC đôi một vuông góc với nhau

Câu 25 Cho tứ diện ABCD có DABCBD 90 ;  ABa; AC  a 5; ABC 135  Biết góc giữa

hai mặt phẳng ABD, BCD bằng 30  Thể tích của tứ diện ABCD là

Trang 34

A

3.2

a

B

3

3 2

a

C

3.6

a

D

3

2 3

a

Gọi H thuộc mặt phẳng ABC và DH ABC

Kẻ HE , HF lần lượt vuông góc với DA , DB

Suy ra HEABD, HFBCD nên góc giữa hai mặt phẳng ABD, BCD bằng góc

DH a HF

Câu 26 Cho hình lăng trụ đều ABC A B C    Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ABC  bằng 

a, góc giữa hai mặt phẳng ABC và BCC B  bằng  với 1

cos

2 3

 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C   

Trang 35

Gọi M N, lần lượt là trung điểm của AB và BC

Câu 27 (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Cho hình hộp ABCD A B C D     có A B vuông góc

với mặt phẳng đáy ABCD Góc giữa AA với mặt phẳng ABCD bằng 450 Khoảng cách

y

x

α a

Trang 36

Câu 28 (Chuyên Thoại Ngọc Hầu - 2018) Cho lăng trụ ABCD A B C D     có đáy ABCD là hình chữ

nhật với AB 6,AD 3,A C 3 và mặt phẳng AA C C   vuông góc với mặt đáy Biết hai mặt phẳng AA C C   , AA B B   tạo với nhau góc  thỏa mãn tan 3

4

 Thể tích khối lăng trụ ABCD A B C D     bằng?

Lời giải

Tiêu đề	Chuyên đề 12 một số bài toán thể tích khối chóp - lăng trụ khó
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Tài liệu ôn thi
Năm xuất bản	2023

Định dạng
Số trang	72
Dung lượng	3,54 MB