Với Đề thi chọn đội tuyển Quốc gia môn Toán năm 2022-2023 có đáp án (Vòng 2) - Sở GD&ĐT Quảng Bình này, các bạn học sinh sẽ được ôn tập củng cố lại kiến thức và nâng cao kỹ năng trả lời câu hỏi để chuẩn bị cho kì thi sắp tới đạt được kết quả mong muốn. Mời các bạn tham khảo.
Trang 1S GD&ĐT QU NG BÌNHỞ Ả
Đ CHÍNH TH CỀ Ứ
K THI CH N Ỳ Ọ Đ I TUY N Ộ Ể
D THI CH N H C SINH GI I QU C GIA Ự Ọ Ọ Ỏ Ố
NĂM H C 20222023Ọ
Khóa ngày 20 tháng 9 năm 2022
Môn thi: TOÁN
S BÁO DANH:………Ố
BÀI THI TH HAIỨ
Th i gian: 1ờ 80 phút (không k th i gian giao đ ) ể ờ ề
Đ g m có ề ồ 01 trang va ̀03 câu
Câu 5 (6,0 đi m)ể . Tìm t t c các hàm ấ ả f ﾡ: ﾡ th a mãn ỏ
( 3 ( )) ( ) ( ) 2 ( ), ,
f x f y =xf y yf x f x ∀x y ﾡ Câu 6 (7,0 đi m).ể Cho s nguyên t ố ố p>3
a) Gi s ả ử1 12 12 1 2 ,
m
− v i ớ m và n là các s nguyên dố ương
nguyên t cùng nhau. Ch ng minh r ng ố ứ ằ m chia h t cho ế p
b) Ch ng minh r ng ứ ằ 5 1p 1 1
p
C −
− − chia h t cho ế p3. Câu 7 (7,0 đi m)ể . Cho tam giác ABC n i ti p đ ng trònộ ế ườ ( )O Đ ng th ng ườ ẳ l đ iố
x ng v i đứ ớ ường th ng ẳ AC qua đường th ng ẳ BC l c t , ắ BO t i ạ X Đi m ể E tùy ý trên
đo nạ BO , đường tròn ngo i ti p tam giác ạ ế XAE c t ắ đường th ng ẳ l t i ạ Q khác X
Đường th ng ẳ QE c t đ ng th ng ắ ườ ẳ OC t i ạ Y
a) Ch ng minh r ng đứ ằ ường tròn ngo i ti p tam giác ạ ế AYE đi qua đi m c đ nh khiể ố ị
E thay đ i trên ổ đo n ạ BO
b) G i ọ M là đi m chính gi a cung ể ữ AE không ch a ứ Y c a đ ng tròn ngo i ti pủ ườ ạ ế
tam giác AYE và CM c t đắ ường tròn ngo i ti p tam giác ạ ế AYE t i m t đi m ạ ộ ể K khác
M Ch ng minh ứ r ng ằ khi E thay đ i trên ổ đo n ạ BO thì đường th ng ẳ KE luôn đi qua
m t đi m c đ nh. ộ ể ố ị
Trang 2
-hÕt -S GD&ĐT QU NG BÌNHỞ Ả
HƯỚNG D N CH MẪ Ấ
K THI CH N Ỳ Ọ Đ I TUY N D THI Ộ Ể Ự
H C SINH GI I QU C GIA NĂM H C 2022Ọ Ỏ Ố Ọ
2023 Khóa ngày 20 tháng 9 năm 2022
Môn thi: TOÁN BÀI THI TH HAIỨ
Đap an nay g m có́ ́ ̀ ồ 04 trang
YÊU C U CHUNGẦ
* Đáp án ch trình bày m t l i gi i cho m i bài. Trong bài làm c a h c sinh yêu c u ph iỉ ộ ờ ả ỗ ủ ọ ầ ả
l p lu n lô gic ch t ch , đ y đ , chi ti t và rõ ràng.ậ ậ ặ ẽ ầ ủ ế
* Trong m i bài, n u h c sinh gi i sai bỗ ế ọ ả ở ước gi i trả ư ớc thì cho đi m 0 đ i v i nh ngể ố ớ ữ
bước gi i sau có liên quan. câu hình, n u h c sinh không v hình ho c v hình sai thìả Ở ế ọ ẽ ặ ẽ cho đi m 0.ể
* Đi m thành ph n c a m i bài nói chung phân chia đ n 0,5 đi m. Đ i v i đi m thànhể ầ ủ ỗ ế ể ố ớ ể
ph n l n h n 0,5 đi m thì tu t giám kh o th ng nh t đ chi t thành t ng 0,5 đi m.ầ ớ ơ ể ỳ ổ ả ố ấ ể ế ừ ể
* H c sinh có l i gi i khác đáp án (n u đúng) v n cho đi m t i đa tu theo m c đi mọ ờ ả ế ẫ ể ố ỳ ứ ể
c a t ng bài.ủ ừ
* Đi m c a toàn bài là t ng (không làm tròn s ) c a đi m t t c các bài.ể ủ ổ ố ủ ể ấ ả
Câu 5
(6,0
đi m)ể
Thay x=0 vào gi thi t ta có ả ế
(3 ( )) (0) 2 (0),
f f y = yf f ∀y ﾡ (1)
1,0
đi mể
Trường h p 1:ợ (0) 0f = . Thay y=0 vào gi thi t ta cóả ế
đi mể
Trường h p 2: ợ f(0) 0. T (1) suy ra ừ f là toàn ánh.
Suy ra t n t i ồ ạ c sao cho ( ) 0 f c = Thay y c= vào gi thi t bài toánả ế
ta có ( )f x = −cf x( ) 2 ( ),− f x ∀x ﾡ (2)
1,0
đi mể
N uế c −3 thì t ừ (2) suy ra ( ) 0,f x = ∀x��ﾡ f(0) 0= (đi u này ề
mâu thu n). Do đó ẫ c= −3 suy ra ( 3) 0.f − = đi m0,5 ể
Thay x= −3 vào gi thi t ta có ả ế f( 3 3 ( )) 3 ( ),− f y = f y ∀y ﾡ
Suy ra ( 3f − + =t) t v i m i ớ ọ t có d ng ạ t = −3 ( ).f y
1,0
đi mể
Trang 3Mà f là toàn ánh nên 3 ( )− f y quét h t m i giá tr trên ế ọ ị ﾡ
Do v y ậ − +3 t ch y kh p ạ ắ ﾡ
1,0
đi mể
Suy ra ( )f x = + ∀x 3, x ﾡ
Th l i th a mãn.ử ạ ỏ
0,5
đi mể
V y ậ f x( ) 0,= ∀x ﾡ và ( )f x = + ∀x 3, x ﾡ là các hàm s c n ố ầ
tìm
0,5
đi mể
Câu 6a
(3,0
đi m)ể
Theo đ nh lý Bezout, v i m i ị ớ ỗ i�{1,2, ,p−1 ,} t n t i duy nh tồ ạ ấ
{1,2, , 1}
i
j � p− sao cho i j i 1(mod ).p đi m1,0 ể
T đó ừ
2 2 2 2
m n
p
= �+ + + + �
−
+ + + +
1,0
đi mể
M t khác, ặ ( , , , ,j j j1 2 3 j p−1) là m t hoán v c a ộ ị ủ (1,2,3, ,p−1) nên
(mod )
i i
=
=
M t khác, ta bi t r ng v i ặ ế ằ ớ p>3ta có
1 2 1
( 1)(2 1) 0(mod ).
6
p− i = p p− p− p
V y ậ m chia h t cho ế p
0,5
đi mể
Câu 6b
(4,0
đi m)ể
Theo đ nh lý Fermat nh , đa th cị ỏ ứ
1 (x−1)(x−2) (x p− + −1) (x p− −1)là đa th c b c ứ ậ p−2có p−1
nghi m phân bi t ệ ệ 1,2,3, ,p−1 theo modulo p nên có t t c các ấ ả
h s chia h t cho ệ ố ế p
0,5
đi mể
Xét đa th cứ
p
P x = −x x− x p− + = x − +a x − + +a −
Ta có a a1, , ,2 a p−3,a p−2 chia h t cho ế p và
1
1 ( 1) (p 1)! ( 1)!
p
a − = − − p− = p −
0,5
đi mể
Thay x p= vào ( ),P x ta đ c ượ
1,0
đi mể
Trang 4Nên 2 p 2 1 p 3 3 2.
a − = −p − −a p − − −a p p− M Thay x=5p vào ( ),P x ta đ cượ
(5 1)(5 2) (4 1) (5 ) (5 ) (5 )
1,0
đi mể
H n n a ơ ữ a p−3(5 )p 2 +a p−2(5 ) 0(mod )p p3 (do a p−3 0(mod )p và
2
2 0(mod ))
p
1 (5p−1)(5p−2) (4p+1) a p− (mod ).p đi m0,5 ể
Do đó (5 1)(5 2) (4 1) 1(mod ).3
( 1)!
p
−
V y ta có đi u ph i ch ng minh.ậ ề ả ứ
0,5
đi mể
Câu 7a
(3,0
đi m)ể
K' =K
M Y
Q
X
D
O
A
E
Ta có ﾡBOC = 2 ﾡA,
ﾡ 180 0 ﾡ 180 0 ﾡ ﾡ 180 0 (90 0 ﾡ ) ﾡ 90 0 ﾡ ﾡ
OCX = −OCQ= −OCB BCQ− = − −A C− = + −A C
T đó ừ OXC BOC OCXﾡ = ﾡ − ﾡ = 90 0 − =B OACﾡ ﾡ
Suy ra , , ,O X A C thu c m t đ ng tròn.ộ ộ ườ
1,0
đi mể
Mà OA OC= nên XO là phân giác góc ﾡAXC hay XE là phân giác
góc ﾡAXQ. Ta được tam giác AEQ đ ng d ng tam giác tam giácồ ạ
AOC
1,0
đi mể
T n t i phép v t quay tâm ồ ạ ị ự A bi n ế E thành , O Q thànhC Vì EQ
giao OC t i ạ Y nên , , , Y E O A thu c m t đ ng tròn hay đ ng ộ ộ ườ ườ 1,0
đi mể
Trang 5(4,0
đi m)ể
G i ọ D là đi m đ i x ng v i ể ố ứ ớ A qua BC thì D c đ nh. Ta ch ng ố ị ứ
minh KE đi qua D
G i ọ DE c t ắ CM t iạ ’K , ta ch ng minh ứ K trùng K Mu n v y ta ’ ố ậ
ch ng minh ứ K thu c đ’ ộ ường tròn( AYE )
Ta có tam giác AME cân t i ạ M , tam giác AOB cân t i ạ O và
AOB
T đó suy ra ừ AM AE
AO = AB và MAO EABﾡ = ﾡ
1,0
đi mể
V y tam giác ậ AMO đ ng d ng tam giác ồ ạ AEB nên có phép v t ị ự
quay f tâm A bi n ế M thành , E O thành B
0,5
đi mể
L i có ạ MOC AOC AOMﾡ = ﾡ − ﾡ = 2B ABE EBDﾡ − ﾡ = ﾡ và
MO MO EB EB
OC = OA = BA BD=
0,5
đi mể
Nên tam giác MOC đ ng d ng và cùng chi uồ ạ ề v iớ tam giác EBD
T n t i phép v t quay bi n ồ ạ ị ự ế M thành , E O thành , B C thành D
Rõ ràng đó là phép v t quay ị ự f trên, có tâm ở A
1,0
đi mể
Và DE c t ắ MC t i ạ K thì ’, , ,’ K M E A thu c m t đ ng tròn. Ta ộ ộ ườ
có đi u ph i ch ng minh. ề ả ứ
V y ậ KE luôn đi qua D c đ nh.ố ị
1,0
đi mể
H t ế