PHẠM HỒNG PHƯƠNG TRI THỨC PHƯƠNG PHÁP TRONG DẠY HỌC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT LỚP 12 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu Mục đích nghiên cứu là khai thác được các tri thức phương pháp trong dạyhọc giải phương trình mũ và lôgarit lớp 12, nhằm trang bị cho học sinh, giúphọc s

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

- Trong dạy học giải bài tập toán học, việc phát hiện, trang bị những tri thứcphương pháp giải toán, qua đó rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh có tầmquan trọng đặc biệt Những tri thức phương pháp giải toán không phải lúc nàocũng có sẵn, nhiều khi phải thông qua quá trình giải các bài toán mới có thểphát hiện ra được và phải thông qua nhiều bài toán mới có thể đúc kết được

- Theo yêu cầu đổi mới PPDH, phương pháp giáo dục phổ thông phải pháthuy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của học sinh; phù hợpvới đặc điểm của từng lớp học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩnăng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềmvui, hứng thú học tập của học sinh (Luật Giáo Dục Việt Nam năm 2005,chương I, điều 24)

- Giải phương trình Mũ và phương trình Lôgarit là một nội dung quan trọngtrong chương trình THPT, được các em học sinh và giáo viên đặc biệt quantâm, vì nội dung này thường có mặt trong các kỳ thi tốt nghiệp và kỳ thi tuyểnsinh vào Cao đẳng, Đại học

- Thực tiễn dạy học cho thấy học sinh còn tỏ ra khó khăn trong việc giảiphương trình mũ và lôgarit, do các em chưa nắm được những tri thức phươngpháp giải dạng toán này Hơn nữa học sinh cũng thường mắc những sai lầmđáng tiếc do nhiều nguyên nhân khác nhau

Với những lí do trên đề tài được chọn là: “Tri thức phương pháp trong dạyhọc giải phương trình Mũ và Lôgarit lớp 12 THPT”

2 Lịch sử nghiên cứu

Chúng tôi đã tham khảo một số luận văn Thạc sĩ liên quan đến dạy họcphương trình mũ và lôgarit, như là:

- Vận dụng PPDH hợp tác trong dạy học phương trình, bất phương trình Mũ

và lôgarit lớp 12 THPT, Luận văn thạc sĩ của Trương Ngọc Ánh, năm 2010

- Phối hợp các PPDH nội dung phương trình, bất phương trình ở trườngTHPT, Luận văn thạc sĩ của Đàm Thị Phương Hà, năm 2008

Tuy nhiên đề tài mà chúng tôi lựa chọn không trùng lặp với các đề tài đã có

3 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu là khai thác được các tri thức phương pháp trong dạyhọc giải phương trình mũ và lôgarit lớp 12, nhằm trang bị cho học sinh, giúphọc sinh có kĩ năng hơn khi giải phương trình mũ và lôgarit, nâng cao hiệuqủa dạy học chủ đề này ở trường THPT

Từ mục đích đó, nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài là:

- Nghiên cứu lí luận về tri thức phương pháp trong dạy học

- Nghiên cứu các tri thức phương pháp giải phương trình mũ và lôgarit lớp 12 THPT

- Đề xuất những biện pháp phát hiện, khai thác và rèn luyện các tri thứcphương pháp giải phương trình mũ và lôgarit cho học sinh cuối cấp THPT,thông qua hệ thống các bài tập (như: các bài tập cùng dạng, tìm sai lầm tronglời giải bài toán,…)

- Thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu qủa của đề tài

4 Đối tượng nghiên cứu và khách thể nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Quá trình dạy học phương trình mũ và lôgarit ở trườngTHPT

Phạm vi nghiên cứu: Các bài toán giải phương trình mũ và lôgarit ở trườngTHPT

Khách thể nghiên cứu: HS cuối cấp THPT

5 Giả thuyết khoa học

Nếu khai thác và rèn luyện các tri thức phương pháp giải phương trình mũ vàlôgarit cho HS cuối cấp THPT thì HS sẽ có kĩ năng giải các dạng toán này tốthơn, nâng cao hiệu qủa dạy học chủ đề này ở trường THPT.

6 Phương pháp nghiên cứu

+ Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu lí luận về tri thức phươngpháp trong dạy học môn Toán, về kĩ năng giải toán, về dạy học giải bài tậpToán học

+ Phương pháp điều tra quan sát: Sử dụng những mẫu phiếu điều tra về tìnhhình dạy và học giải phương trình mũ và lôgarit cho HS cuối cấp THPT + Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Soạn và dạy thực nghiệm một số giáo

án về khai thác và rèn luyện các tri thức phương pháp giải phương trình mũ

và lôgarit ở một số lớp 12 THPT, đánh giá kết qủa thực nghiệm, đánh giá tínhkhả thi và hiệu qủa của đề tài

7 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu và phần kết luận, luận văn gồm 3 chương:

Chương1 Cơ sở lí luận và thực tiễn

Chương 2 Khai thác và rèn luyện các tri thức phương pháp giải phương trình

Mũ và Lôgarit cho HS cuối cấp THPT

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

- Những khái niệm, định lí, tính chất, phản ánh những hiểu biết của con người

về các vật, sự vật, hiện tượng, các tính chất và các mối liên hệ của chúng, lànhững tri thức sự vật

- Tri thức chuẩn thường liên quan với những chuẩn mực nhất định, chẳng hạn quyđịnh về những đơn vị đo lường, quy ước về làm tròn những giá trị gần đúng

- Tri thức giá trị có nội dung là những mệnh đề đánh giá, chẳng hạn: “Toánhọc có vai trò quan trọng trong khoa học và công nghệ cũng như trong đờisống”, “Khái quát hoá là một hoạt động trí tuệ cần thiết cho mọi khoa học”

- Những quy tắc có tính chất thuật giải hay suy đoán, phương pháp luận củakhoa học Toán học, những kĩ thuật hoạt động trí tuệ và hoạt động thực tiễn, lànhững tri thức phương pháp [17]

Những tri thức phương pháp phản ánh những hiểu biết của con người về cáchthức giải quyết những công việc nào đó Những tri thức phương pháp manglại nhiều lợi ích định hướng trực tiếp cho hoạt động và ảnh hưởng quan trọngtới việc rèn luyện kĩ năng

Nội dung môn Toán không phải chỉ bao gồm những yếu tố của những líthuyết Toán học, mà còn cả những phương pháp làm việc, những ý tưởng thếgiới quan , làm cơ sở cho việc giáo dục toàn diện Những quy tắc giải một sốdạng phương trình Mũ và Lôgarit; Những quy tắc tính véctơ, tính tích phân;Những quy tắc suy luận và chứng minh, suy đoán , là những tri thức phươngpháp

1.1.2 Tri thức là đối tượng, là mục tiêu của hoạt động học tập

Trong dạy học, tri thức được cài đặt trong những tình huống có dụng ý sưphạm Để dạy một tri thức nào đó, thầy giáo thường không thể trao ngay chohọc sinh điều thầy muốn dạy; cách làm tốt nhất thường là cài đặt tri thức đóvào những tình huống thích hợp để học sinh chiếm lĩnh nó thông qua hoạtđộng tự giác, tích cực và sáng tạo của bản thân

Theo chủ nghĩa kiến tạo trong tâm lí học, học tập là một quá trình trong đóngười học xây dựng kiến thức cho mình bằng cách thích nghi với môi trườngsinh ra những mâu thuẫn, những khó khăn và những sự mất cân bằng Tuynhiên, như nhiều nhà lí luận dạy học của Pháp đã khẳng định, một môi trườngkhông có dụng ý sư phạm là không đủ để chủ thể (học sinh) kiến tạo được trithức theo đúng yêu cầu mà xã hội mong muốn Vì vậy, điều quan trọng làthiết lập những tình huống có dụng ý sư phạm để người học học tập tronghoạt động, học tập bằng thích nghi

Việc thực hiện hoạt động nhiều khi đòi hỏi những tri thức nhất định, đặc biệt

là tri thức phương pháp Những tri thức như thế có khi lại là kết quả của mộtquá trình hoạt động

Trường hợp tri thức hoặc quan niệm cũ không còn đáp ứng được yêu cầu

trước một tình huống, ta nói là có một sự mất cân bằng Khi chủ thể đã điều

chỉnh một tri thức hay quan niệm cũ, hình thành một kiến thức hay quan niệmmới và giải quyết được vấn đề, ta nói là chủ thể đó đã thiết lập lại sự cânbằng Như vậy, thầy giáo phải gợi ra ở học trò những sự thích nghi mongmuốn bằng cách lựa chọn đúng những vấn đề đặt ra cho người học trò

Thầy giáo nói chung không dạy nguyên dạng tri thức khoa học hay tri thứcchương trình, mà phải chuyển hóa tri thức chương trình thành tri thức dạyhọc Nắm vững tri thức khoa học là một điều kiện cần nhưng chưa đủ để đảmbảo kết qủa dạy học

Tri thức vừa là điều kiện vừa là kết qủa của hoạt động, nên trong việc dạy họcchúng ta cần quan tâm cả những tri thức cần thiết lẫn những tri thức đạt đượctrong quá trình hoạt động; cần dẫn dắt học sinh kiến tạo tri thức, đặc biệt là tri

thức phương pháp, như phương tiện và kết qủa của hoạt động.

Ví dụ 1: Việc giải phương trình lôgarit đòi hỏi học sinh phải có tri thức về

hàm số lôgarit và các phương pháp giải phương trình lôgarit Chẳng hạn, khihướng dẫn học sinh giải phương trình lôgarit: 2

1

log (x x  3x2) 2 (*)Học sinh cần nắm được các tri thức sau:

+) loga f x xác định khi nào? (khi ( ) f x ( ) 0 và 0a1)

+) loga a



 (với 0a   1,  )

+) loga f x( ) log a g x( ) khi nào? ( khi ( )f x g x( ) 0 ,0a 1)

Đó là các tri thức cần thiết để học sinh tiến hành hoạt động giải phương trình(*) Song qua đó học sinh kiến tạo được tri thức phương pháp giải phươngtrình dạng:

1.1.3 Những dạng tri thức phương pháp thường gặp

- Tri thức về phương pháp thực hiện những hoạt động tương ứng với nhữngnội dung toán học cụ thể như giải phương trình, biện luận về số nghiệm củaphương trình

- Tri thức về phương pháp thực hiện những hoạt động toán học phức hợp như định nghĩa, chứng minh

- Tri thức về phương pháp thực hiện những hoạt động trí tuệ phổ biến trongmôn Toán như hoạt động tư duy hàm, phân chia trường hợp

- Tri thức về phương pháp thực hiện những hoạt động trí tuệ chung như sosánh, khái quát hoá, trừu tượng hoá.…

- Tri thức về phương pháp thực hiện những hoạt động ngôn ngữ lôgic

Những tri thức phương pháp thể hiện hai loại phương pháp khác nhau về bảnchất và đều có ý nghĩa to lớn trong giáo dục Toán học, đó là những phương

pháp có tính chất thuật giải (chẳng hạn như: phương pháp giải phương trình

bậc hai) và những phương pháp có tính chất tìm đoán (chẳng hạn phươngpháp nhẩm nghiệm của phương trình và chứng minh nghiệm đó là duy nhất).Cũng không thể dạy một cách tường minh tất cả những tri thức phương pháp,

mà chỉ nên dạy cho học sinh những tri thức phương pháp thực sự cần thiết Cónhững tri thức phương pháp cần dạy một cách tường minh, có tri thức phươngpháp chỉ thông báo trong quá trình tiến hành hoạt động, hoặc chỉ thực hành ănkhớp với một tri thức nào đó.Vì vậy người giáo viên cần xác định tập hợp tốithiểu những tri thức phương pháp cần dạy; xác định yêu cầu về mức độ hoànchỉnh của những tri thức phương pháp cần dạy, đặc biệt là đối với nhữngphương pháp có tính chất tìm đoán Những tri thức phương pháp quá chungchung sẽ ít tác dụng chỉ dẫn, điều khiển hoạt động

Đứng trước một nội dung dạy học, người thầy giáo cần nắm được tất cả cáctri thức phương pháp có thể có trong nội dung đó Nắm được như vậy khôngphải là để dạy tất cả cho học sinh một cách tường minh mà còn phải căn cứvào mục tiêu và tình hình cụ thể để lựa chọn cách thức, cấp độ làm việcthích hợp, từ cấp độ dạy học tường minh tri thức phương pháp được phátbiểu tổng quát, tới cấp độ thực hành ăn khớp với tri thức phương pháp

Ví dụ 2: Khi dạy học về phương trình mũ, người thầy giáo cần nắm được tất

cả các tri thức phương pháp có thể có trong nội dung đó: phương pháp đưa

về cùng cơ số, phương pháp lôgarit hoá, phương pháp đặt ẩn phụ, phươngpháp hàm số, phương pháp đánh giá, phương pháp dựa vào đồ thị hàm số, Song không phải phương pháp nào cũng dạy cho học sinh một cách tườngminh mà phải căn cứ vào mục tiêu, trình độ học sinh, , để lựa chọn phươngpháp cần dạy và cách thức dạy thích hợp.

Chẳng hạn: đối với học sinh khá, giáo viên có thể tổ chức cho học sinh thựchiện các hoạt động ăn khớp với từng tri thức phương pháp: phương pháp đưa

về cùng cơ số, phương pháp đặt ẩn số phụ, Từ đó yêu cầu học sinh kháiquát hoá, rút ra tri thức phương pháp tương ứng cần nắm

Đối với học sinh trung bình: giáo viên có thể thông báo tri thức phương pháptrong quá trình hoạt động, như: hãy đưa các hàm số mũ trong phương trình

về cùng cơ số, hoặc hãy lấy lôgarit cả hai vế của phương trình theo cùng một

cơ số, hoặc hãy đặt ẩn số phụ

1.2 DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP TOÁN HỌC

(Mục này viết dựa theo tài liệu [17] của GS Nguyễn Bá Kim)

1.2.1 Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học

Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn Toán Điều căn bản là bàitập có vai trò giá mang hoạt động của học sinh Thông qua giải bài tập, họcsinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thểhiện định nghĩa, định lí, quy tắc hay phương pháp, những hoạt động Toán họcphức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán học, những hoạt độngtrí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ

Những bài tập cũng thể hiện những chức năng khác nhau hướng đến việc thựchiện các mục tiêu dạy học môn Toán, cụ thể là:

- Hình thành, củng cố tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở những khâu khác nhau củaquá trình dạy học, kể cả kĩ năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn;

- Phát triển năng lực trí tuệ: rèn luyện những hoạt động tư duy, hình thànhnhững phẩm chất trí tuệ;

- Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm chấtđạo đức của người lao động mới

Bài tập Toán học giúp hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó đãđược trình bày trong phần lý thuyết Khai thác tốt những bài tập sẽ góp phần

tổ chức cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tíchcực, chủ động và sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu Bài tậpđược sử dụng với những dụng ý khác nhau về phương pháp dạy học: đảm bảotrình độ xuất phát, gợi động cơ, làm việc với nội dung mới, củng cố hoặckiểm tra,… Đặc biệt là về mặt kiểm tra, bài tập là phương tiện để đánh giámức độ, kết quả dạy và học, khả năng làm việc độc lập và trình độ phát triểncủa học sinh.…

1.2.2 Các yêu cầu đối với lời giải bài toán

Để phát huy tác dụng của bài tập toán học, trước hết cần nắm vững các yêu cầucủa lời giải Các yêu cầu cơ bản là:

- Kết qủa đúng, kể cả ở các bước trung gian Kết qủa cuối cùng phải là mộtđáp số đúng, một biểu thức, một hàm số, một hình vẽ,…, thoả mãn các yêucầu đề ra Kết qủa các bước trung gian cũng phải đúng Như vậy, lời giảikhông thể chứa những sai lầm về tính toán, vẽ hình, biến đổi biểu thức…

- Lập luận chặt chẽ: luận đề phải nhất quán; luận cứ phải đúng; luận chứngphải hợp lôgic

- Lời giải đầy đủ Yêu cầu này có nghĩa là lời giải không được bỏ sót mộttrường hợp, một chi tiết cần thiết nào Cụ thể là giải phương trình không đượcthiếu nghiệm, phân chia trường hợp không được thiếu một khả năng nào,…

- Ngôn ngữ chính xác Đây là một yêu cầu về giáo dục tiếng mẹ đẻ đặt ra cho tất cả các bộ môn Việc dạy học môn Toán cũng phải tuân thủ yêu cầu này

- Trình bày rõ ràng, đảm bảo mỹ thuật Yêu cầu này đặt ra đối với cả lời văn, chữviết, hình vẽ, cách sắp xếp các yếu tố (chữ, số, hình, kí hiệu…) trong lời giải.

- Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợp lí nhất

Ngoài ra cần khuyến khích học sinh tìm ra nhiều cách giải cho cùng một bàitoán, phân tích so sánh những cách giải khác nhau để tìm ra lời giải ngắn gọn,hợp lí nhất trong số các lời giải đã tìm được; Nghiên cứu giải những bài toántương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề

Ví dụ 3: Hãy giải phương trình sau bằng những cách khác nhau; trong các

cách giải đó hãy chỉ ra cách giải tối ưu: log3 2 4 x  x5 1(*)

5 0

x

x x

      (thỏa mãn điều kiện đã đặt ra)

Vậy phương trình có nghiệm là: 1

Cho phương trình: log3 2 4 x  x5 m

a) Tìm m để phương trình trên có nghiệm duy nhất?

b) Tìm m để phương trình trên vô nghiệm?

c) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình trên?

- Ngoài những cách giải trên hãy giải bài toán theo phương pháp đồ thị?

1.2.3 Phương pháp giải bài toán của Polya

Chúng ta biết rằng không có một thuật giải tổng quát để giải mọi bài toán.Tuy nhiên, trang bị những hướng dẫn chung, gợi ý cách suy nghĩ tìm tòi, pháthiện cách giải bài toán lại là có thể và cần thiết Trong quá trình dạy họcphương pháp chung giải toán cần có những gợi ý để thầy hỗ trợ cho họcsinh và để học sinh tự định hướng suy nghĩ tìm ra lời giải

Bản gợi ý của Polya về quy trình giải bài toán như sau:

Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

- Đâu là cái phải tìm? Cái đã cho? Cái phải tìm có thể thoả mãn các điều kiệncho trước hay không? Hay chưa đủ? Hay thừa? Hay có mâu thuẫn?

- Hãy vẽ hình Hãy sử dụng kí hiệu thích hợp

- Phân biệt các phần khác nhau của điều kiện Có thể diễn tả các điều kiện đóthành công thức hay không?

- Có thể phát biểu bài toán một cách khác hay không? Một cách khác nữa?Quay về những định nghĩa

- Nếu bạn chưa giải được bài toán đã đề ra thì hãy thử giải một bài toán cóliên quan và dễ hơn hay không? Một bài toán tổng quát hơn? Một trường hợpriêng? Một bài toán tương tự? Bạn có thể giải một phần bài toán hay không?Hãy giữ lại một phần điều kiện, bỏ qua phần kia Khi đó cái cần tìm được xácđịnh đến một chừng mực nào đó; nó biến đổi như thế nào? Bạn có thể nghĩ ranhững điều kiện khác có thể giúp bạn xác định được cái phải tìm hay không?

Có thể thay đổi cái phải tìm hay cái đã cho, hay cả hai nếu cần thiết, sao chocái phải tìm mới và cái đã cho mới được gần nhau hơn không?

- Bạn đã sử dụng mọi cái đã cho hay chưa? Đã sử dụng hết các điều kiện haychưa? Đã để ý một khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa?

- Bạn có thể kiểm tra lại kết qủa? Có thể kiểm tra từng bước, thấy mỗi bướcđều đúng? Bạn có thể kiểm tra lại toàn bộ quá trình giải bài toán hay không?

- Có thể tìm được kết qủa một cách khác không? Có thể thấy trực tiếp ngaykết qủa không?

- Nếu tìm được nhiều cách giải thì hãy so sánh các cách giải đó để tìm ra lờigiải ngắn gọn và hợp lí nhất

Bước 3: Trình bày lời giải

- Nắm lại toàn bộ cách giải đã tìm ra trong quá trình suy nghĩ nêu ở bước 2

- Trình bày lại lời giải sau khi đã lược bỏ những yếu tố dự đoán, phát hiện,những yếu tố lệch lạc nhất thời, và đã điều chỉnh những chỗ cần thiết

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

Bạn có thể sử dụng kết quả hay phương pháp đó cho một bài toán tương tự,một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào khác hay không?

Ví dụ 4: Cho phương trình: m2x  2  1 1 2x (1)

a) Giải phương trình với: m 1

b)Tìm m để phương trình có nghiệm ?

Hướng dẫn:

a) Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

- Với m 1 phương trình có dạng như thế nào? ( phương trình có dạng:

- Em đã gặp bài toán dạng này lần nào chưa?

- Phương trình cần giải có dạng như thế nào? ( f x  g x )

- Cách giải của phương trình dạng đó là gì?

- Từ đó hãy giải phương trình(*) ?

Bước 3: Trình bày lời giải

Vậy với m 1 thì phương trình có nghiệm là: x 0

b) Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

- Bài toán yêu cầu gì? (Tìm m để phương trình: m2x  2  1 1 2x cónghiệm)

Bước 2: Tìm cách giải

- Phương trình có dạng như thế nào? ( f x  g x )

- Từ đó hãy biến đổi phương trình (1)?

- Có nhận xét gì về phương trình (2)? (là phương trình bậc hai ẩn: 2x)

- Từ đó, có thể phát biểu bài toán theo một cách khác hay không?

(Tìm m để phương trình (2) có nghiệm thoả mãn: 2x1)

- Em đã gặp bài toán dạng này lần nào chưa? Cách giải nó là gì?

- Từ đó hãy tìm m ?

Bước 3: Trình bày lời giải

 khi: 0m1

Vậy 0m1 là những giá trị cần tìm

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

- Nhận xét: Nếu không chú ý đến điều kiện của phép biến đổi tương đương vàtập giá trị của hàm số mũ, học sinh dễ có những sai lầm sau:

- Mở rộng bài toán: Hãy phát biểu những bài toán tương tự?

Cho phương trình: m2x 2  1 1 2x

+ Giải phương trình với m 4?

+ Giải phương trình với m 2x?

+ Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất?

+ Tìm m để phương trình vô nghiệm?

+ Giải và biện luận phương trình trên theo m?

Phương pháp chung để giải toán không phải là một thuật giải mà là nhữngkinh nghiệm giải toán mang tính chất tìm tòi, phát hiện Cần đặt cho học sinhnhững câu hỏi gợi ý đúng tình huống để học sinh dần dần biết sử dụng nhữngcâu hỏi này như những phương tiện kích thích suy nghĩ tìm tòi, dự đoán, phát

hiện để thực hiện từng bước của phương pháp chung giải toán Những câu hỏinày lúc đầu là do giáo viên nêu ra để hỗ trợ cho học sinh nhưng dần dần biếnthành vũ khí của bản thân học sinh, được học sinh tự nêu ra đúng lúc, đúngchỗ để gợi ý cho từng bước đi của mình trong quá trình giải toán Quá trìnhtrang bị cho học sinh phương pháp chung giải toán là một quá trình biếnnhững tri thức phương pháp tổng quát thành kinh nghiệm giải toán của bảnthân mình thông qua việc giải hàng loạt bài toán cụ thể Từ phương phápchung giải toán đi tới cách giải một bài toán cụ thể còn là cả một chặng đườngđòi hỏi lao động tích cực của người học sinh, trong đó có nhiều yếu tố sángtạo “Tìm được cách giải một bài toán là một phát minh” (Pôlya 1975).

1.3 THỰC TIỄN DẠY VÀ HỌC PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT LỚP 12 THPT

1.3.1 Nội dung, mục tiêu, yêu cầu dạy học giải phương trình Mũ và Lôgarít lớp 12 THPT

Từ năm 2000 - 2001, Bộ Giáo dục và Đào tạo tiến hành chỉnh lí và hợp nhấtsách giáo khoa Sách giáo khoa lớp 12 chương trình nâng cao mới được đưavào từ năm 2008, với cách viết nhẹ nhàng, đổi mới, nội dung đơn giản hơn và

* Kiến thức

Giúp học sinh:

- Nắm vững cách giải các phương trình Mũ và phương trình Lôgarit cơ bản

- Hiểu rõ được các phương pháp thường dùng để giải phương trình Mũ vàphương trình Lôgarit.

a) Khảo sát qua bài kiểm tra

Để khảo sát kĩ năng giải phương trình Mũ và Lôgarit của học sinh cuối cấp

THPT, chúng tôi đã tiến hành cho các lớp 12A2, 12A8 thuộc trường THPTKinh Môn, các lớp 12A3, 12A6 thuộc trường THPT Nhị Chiểu - huyện KinhMôn - tỉnh Hải Dương và các lớp 12D, 12H thuộc trường THPT Tứ Kỳ -huyện Tứ Kỳ - tỉnh Hải Dương làm hai bài kiểm tra vào thời gian từ 11 tháng

01 đến 15 tháng 01 năm 2011

* Mục đích: Đánh giá những kĩ năng (giải phương trình Mũ và Lôgarit) sau:-Sử dụng các phép biến đổi đơn giản về lũy thừa và lôgarit vào việc giảiphương trình

-Vận dụng các phương pháp giải phương trình mũ và phương trình lôgarit vàobài tập

* Đề bài (thời gian: 60’):

Tổng số học sinh được kiểm tra: 250 học sinh.

- Bảng kết quả kiểm tra:

52(20,8%)

127(50,8%)

58(23,2%)

5(2%)

- Những nhận xét, đánh giá:

Qua bảng kết qủa trên ta thấy: số học sinh đạt điểm khá, giỏi còn thấp; cònnhiều học sinh đạt điểm dưới trung bình

Học sinh thường mắc những sai lầm sau:

+ Quên không đặt điều kiện xác định của phương trình, điều kiện cho ẩn phụ(nếu có) Từ đó dẫn đến lời giải sai, kết luận nghiệm sai

+ Một số học sinh quen với tập giá trị của hàm số mũ: y  a x 0,  x , khigiải phương trình lôgarit nhận được: loga x b , với b 0, học sinh loạinghiệm (sai lầm).

+ Học sinh mắc sai lầm khi biến đổi lôgarit:

b) Khảo sát qua phiếu điều tra

* Phiếu điều tra từ giáo viên

Chúng tôi đã xây dựng mẫu phiếu điều tra để nắm bắt những ý kiến, đánh giácủa giáo viên Toán THPT về mức độ khó của các bài toán giải phương trình

Mũ và Lôgarit trong chương trình, mức độ kĩ năng đạt được của học sinh, thời lượng dành cho việc rèn luyện kĩ năng giải phương trình Mũ và Lôgarit cho

học sinh có phù hợp không, những ý kiến đề xuất, trao đổi của giáo viên (mẫuphiếu điều tra xin xem phần Phụ lục cuối luận văn)

Có 35 giáo viên tổ Toán thuộc các trường THPT Kinh Môn, THPT Nhị Chiểu

- huyện Kinh Môn, THPT Tứ Kỳ - huyện Tứ Kỳ - tỉnh Hải Dương tham giađiều tra

Những ý kiến của giáo viên được tổng hợp lại như sau:

- Có 100% GV được điều tra cho rằng việc khai thác các tri thức phương pháp

để trang bị cho học sinh trong quá trình dạy học là quan trọng

- Có 71,4% GV thường xuyên chú ý khai thác và trang bị các tri thức phươngpháp cho học sinh Tuy nhiên, có 28,6% GV thực hiện không thường xuyên.

- Về việc rèn luyện các tri thức phương pháp cho học sinh khi dạy học vềphương trình mũ và phương trình lôgarit:

+ Có 85,7% GV thường xuyên chú ý rèn luyện cho học sinh tri thức phươngpháp về nhận dạng phương trình và phương pháp giải từng dạng phươngtrình

+ Có 20% GV thường xuyên chú ý rèn luyện cho học sinh phương pháp biệnluận số nghiệm của phương trình

+ Có 34,3% GV thường xuyên chú ý rèn luyện cho học sinh phương phápchứng minh phương trình có nghiệm duy nhất

+ Có 14,2% GV thường xuyên chú ý rèn luyện cho học sinh tập dượt kháiquát hoá, đặc biệt hóa

+ Có 57,1% GV thường xuyên chú ý rèn luyện ngôn ngữ lôgíc cho học sinh

- Có 100% GV cho rằng học sinh tỏ ra yếu nhất về tri thức phương pháp tậpdượt khái quát hoá, đặc biệt hóa

- Có 85,7% GV đánh giámức độ khó của các bài toán giải phương trình Mũ

và Lôgarit trong chương trình là ở mức độ trung bình, còn 14,3% GV đánh

giá ở mức độ dễ

- Có 28,6% GV cho rằng lượng thời gian dành cho việc rèn luyện kĩ năng giải

phương trình Mũ và Lôgarit cho học sinh là vừa đủ, còn 71,4% GV cho rằng

lượng thời gian là hơi ít

- Có 34,3% GV cho rằng sau qúa trình học trên lớp, kĩ năng giải phương trình

Mũ – phương trình Lôgarit của học sinh đạt được ở mức độ khá, còn 65,7%

GV cho rằng học sinh đạt được ở mức độ trung bình

- Theo các thầy (cô), những lỗi mà học sinh của thầy (cô) thường mắc phảitrong quá trình giải phương trình mũ – phương trình lôgarit là:

+ Học sinh hay sai hoặc quên điều kiện xác định của phương trình.

+ Sử dụng công thức sai như: m n m n. , m n  m n, m n m n

log (a x1x2) log a x1 loga x2

log (a x1 x2) log a x1 loga x2

log ( ) loga x x1 2  a x1.loga x2

1 1

loglog

log

a a

a

+ Học sinh biến đổi phương trình chưa chú ý đến sự tương đương

+ Thiếu trường hợp khi giải phương trình có ẩn ở cơ số (dạng đơn giản)

 Thiếu trường hợp a=1

+ Khi đưa số mũ chẵn ra ngoài biểu thức lôgarit hay quên không lấy trị tuyệtđối

+ Biến đổi sai công thức, ví dụ: logn   m logn  

- Về những ý kiến đề xuất, trao đổi của giáo viên:

+ Bài phương trình Mũ và phương trình Lôgarit cần được tăng thêm bài tập

+ Chú ý sửa chữa những sai lầm hay gặp của học sinh

* Phiếu điều tra từ học sinh

Chúng tôi đã xây dựng mẫu phiếu điều tra từ học sinh để nắm bắt những ýkiến, phản hồi của các em về mức độ khó của các bài toán giải phương trình

Mũ và Lôgarit trong chương trình, mức độ kĩ năng đạt được của các em, thời lượng dành cho việc rèn luyện kĩ năng giải phương trình Mũ và Lôgarit ở trên

lớp có phù hợp không, về phương pháp dạy học của giáo viên, những ý kiến

đề xuất, trao đổi khác (mẫu phiếu điều tra xin xem phần Phụ lục cuối luậnvăn)

Có 250 học sinh lớp 12 thuộc các trường THPT Kinh Môn, THPT Nhị Chiểu

- huyện Kinh Môn, THPT Tứ Kỳ - huyện Tứ Kỳ - tỉnh Hải Dương tham giađiều tra

Những ý kiến của học sinh được tổng hợp lại như sau:

- Có 44% học sinh thích học nội dung: “Phương trình mũ - phương trìnhLogarit” Song có 20% học sinh không thích học nội dung này

- Khi học về phương trình Mũ - phương trình Logarit, học sinh thường gặpnhững khó khăn sau:

+ Có 33,6% học sinh cho rằng các công thức khó nhớ và các em hay nhầmlẫn giữa các công thức

+ Có 40% học sinh thấy khó tìm ra cách giải khi đứng trước mỗi phươngtrình

+ Có 12% học sinh thấy khó trình bày lời giải

+ Có 60% học sinh hay thiếu hoặc sai về điều kiện xác định của phương trình

- Có 12% học sinh cho rằng mức độ của các bài toán giải phương trình mũ vàphương trình lôgarit trong chương trình là rất khó, 28% học sinh cho rằngmức độ là hơi khó, 40% học sinh cho rằng mức độ là trung bình và 20% họcsinh cho rằng mức độ của các bài toán là dễ

- Theo các em: sau quá trình học, kỹ năng giải phương trình mũ và phươngtrình logarit của các em đạt được: ở mức độ tốt là 10%, ở mức độ khá là 26%,

ở mức độ trung bình là 48%, ở mức độ yếu là 16%

- Theo các em: lượng thời gian dành cho việc rèn luyện kỹ năng giải phươngtrình mũ và phương trình logarit ở trên lớp của các em là: có 26% học sinhcho rằng lượng thời gian là vừa đủ, 56% học sinh cho rằng lượng thời gian làhơi ít, 18% học sinh cho rằng lượng thời gian là quá ít

- Nhận xét về mức độ mà các thầy cô hướng dẫn và khuyến khích các em tìmtòi, khai thác các cách giải và mở rộng bài toán :

+ Có 20% học sinh nhận xét là: các thầy cô thường xuyên hướng dẫn vàkhuyến khích các em tìm tòi, khai thác các cách giải và mở rộng bài toán.+ Có 60% học sinh nhận xét là: các thầy cô thỉnh thoảng hướng dẫn vàkhuyến khích các em tìm tòi, khai thác các cách giải và mở rộng bài toán + Có 20% học sinh nhận xét là: các thầy cô không bao giờ hướng dẫn vàkhuyến khích các em tìm tòi, khai thác các cách giải và mở rộng bài toán

- Những mong muốn của học sinh đối với các thầy cô giáo khi dạy học vềphương trình mũ và phương trình logarit là :

+ Giảng kĩ hơn, đi sâu hơn.

+ Dạy kĩ các công thức và cách tìm điều kiện xác định của phương trình.+ Đưa ra nhiều bài tập để rèn luyện kĩ năng, phân thành từng dạng cụ thể, vàđưa ra các cách giải của từng dạng Phân dạng bài tập từ dễ đến khó và hướngdẫn nhiều cách giải khác nhau Dạy kĩ từng phần sau đó tổng hợp lại

+ Tìm thêm nhiều dạng toán mới, nhiều cách giải ngắn gọn, cách giải nhanh,sáng tạo

+ Khắc phục sai lầm cho học sinh trong khi giải bài tập

+ Rèn luyện cho học sinh kĩ năng làm bài và kĩ năng trình bày lời giải

c) Những ý kiến trao đổi khác

Giải phương trình mũ và phương trình lôgarit là một nội dung quan trọng

trong chương trình THPT, được các em học sinh và giáo viên đặc biệt quantâm, vì nội dung này thường có mặt trong các kỳ thi tốt nghiệp và kỳ thi tuyểnsinh vào Cao đẳng, Đại học Trong các đợt tập huấn giáo viên và tham khảotài liệu [8], nhiều ý kiến cho rằng:

- Cách trình bày, diễn đạt và sự sắp xếp kiến thức của SGK mới phù hợp vớitrình độ nhận thức của học sinh SGK đã đưa vào khá nhiều vấn đề có tínhthực tiễn Đó là điểm khác biệt khá lớn so với SGK trước đây Chẳng hạn,công thức lãi kép, vấn đề tăng dân số và nhiều vấn đề khác như: trong Hoá

học có độ pH=log[H+], trong Vật lý có mức cường độ âm

Không xét các phương trình mà ẩn số có mặt đồng thời ở cả cơ số lẫn số mũ.Điều này nhằm tránh các trường hợp còn có các ý kiến chưa thống nhất vềnghiệm của phương trình …

Số lượng bài tập vừa phải nên không gây tình trạng quá tải đối với học sinh

mà vẫn đảm bảo việc rèn luyện kỹ năng tính toán, khả năng áp dụng giải bàitập

- Chương trình SGK hiện nay được chia thành hai hệ cơ bản và nâng cao, điềunày giúp cho GV thuận lợi trong việc thiết kế liều lượng và mức độ kiến thứckhác nhau phù hợp với từng đối tượng HS

- Tuy nhiên số tiết học và luyện tập nội dung này chỉ trong 3 tiết, nên chưatương ứng với lượng kiến thức mới mà học sinh phải lĩnh hội, khiến phần lớnhọc sinh không tránh khỏi những bỡ ngỡ và lúng túng khi học vấn đề này.

- Khi giải các phương trình Mũ và phương trình Lôgarit, học sinh hay gặpphải những sai lầm về điều kiện xác định của phương trình, các công thứcbiến đổi, các phép biến đổi…

TÓM TẮT CHƯƠNG 1

Chương này trình bày: khái niệm tri thức, tri thức phương pháp, những dạng

tri thức phương pháp thường gặp trong môn Toán; vai trò của bài tập Toán

học; phương pháp giải Toán theo bản gợi ý của Polya Những vấn đề này sẽ là

cơ sở lí luận cho đề tài Chúng tôi cũng tiến hành khảo sát kĩ năng giải

phương trình Mũ và Lôgarit của học sinh cuối cấp THPT tại một số trườngTHPT thuộc tỉnh Hải Dương Kết quả khảo sát là cơ sở thực tiễn để chúng tôi

đề xuất những biện pháp khai thác và rèn luyện các tri thức PP giải phươngtrình Mũ và Lôgarit cho học sinh cuối cấp THPT

CHƯƠNG 2 KHAI THÁC VÀ RÈN LUYỆN CÁC TRI THỨC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG

TRÌNH MŨ - PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT CHO HỌC SINH

2.1 KHAI THÁC VÀ RÈN LUYỆN CÁC TRI THỨC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ

Các tri thức PP về giải phương trình mũ được chúng tôi khai thác và sử dụngthành tên mục hoặc ngay sau tên của mỗi mục và in đậm

2.1.1 Phương trình mũ có và chỉ có một cơ số dạng: a f(x) = b

(a, b  , a  0, a ≠ 1)

Nếu b < 0 thì phương trình vô nghiệm;

Nếu b biểu diễn được dưới dạng a α thì f(x) = α;

Nếu b không biểu diễn được dưới dạng a α thì f(x) = log a b.





  

Vậy phương trình có nghiệm là x 1 hoặc x 2

Vậy phương trình có nghiệm là: x  3 ln 5 hoặc x  3 ln 5

*Hệ thống bài toán tham khảo

Giải các phương trình sau:



8) 0,4x22x1 0,2



9) 2 2 32

2.1.2 Nếu phương trình quy về chỉ chứa một hàm số mũ thì đặt hàm số mũ

là t và chú ý đặt điều kiện đúng cho ẩn phụ t, đưa về phương trình ẩn t

Vậy phương trình có nghiệm: x 1

Bài 3 Cho phương trình: 22x 1 2x 3 2m 0

   (1)a) Giải phương trình với m 32?

b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt?

b) Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt  phương trình (2) có hai

nghiệm dương phân biệt: 0 t 1 t2

Ví dụ: Khi giải bài 3, phần b) học sinh thường làm như sau:

Đặt 2x t (không đặt điều kiện cho ẩn t)

*Hệ thống bài toán tham khảo

Giải các phương trình sau:

2 2

a) Giải phương trình khi m=2

b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x x sao cho 1, 2 x1x2 322) Tìm tất cả các nghiệm của phương trình: 4cos2x 4cos 2x 3

a) Giải phương trình với m 2

b) Xác định m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt?

25) Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất: 16x 1 4x 1 5m 0

2.1.3 Nếu phương trình quy về chỉ chứa một hàm số mũ thì đặt hàm số

mũ là t và vẫn còn ẩn x ban đầu thì hãy xem phương trình mới là phương trình ẩn t, còn x là tham số hoặc ngược lại.

*Luyện tập

Bài 4 Giải phương trình sau: 9x 2x 2 3 x 2x 5 0

- Sử dụng tính đồng biến, nghịch biến của hàm số, ta có:

f(x ) = 3x là hàm số đồng biến trên ; g(x) = 5 2x là hàm số nghịch biếntrên  Mà f(1) = g(1) = 3 x=1 là nghiệm của phương trình

Do đó phương trình vô nghiệm trên khoảng  ;1

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 1

*Hệ thống bài toán tham khảo

Giải các phương trình sau:

2

2 2 x x 2 2 x  1 x

9) 4x x 12 2 x 11 x0

, nên phương trình 2 3sinx 2 3sinx 4

Tương tự phần a), đặt 2 3sinx t, điều kiện 2 31 t 2 3

*Hệ thống bài toán tham khảo

Giải các phương trình sau:

11) Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 7 3 5 7 3 5 8

2.1.5 Phương trình mũ có nhiều hàm số mũ có cùng cơ số, hoặc có nhiều cơ

số nhưng có thể quy về cùng một cơ số thì: quy về cùng một cơ số, rồi đưa

; hoặc quy về phương

trình bậc hai; hoặc nhóm thừa số chung đưa về phương trình tích.

Vậy phương trình có nghiệm là x 0, x 1

 Ngoài ra: phương trình trên có thể giải bằng phương pháp đặt ẩn phụloại 3

Bài 7 Tìm sai lầm trong lời giải bài toán sau, nếu sai hãy đưa ra lời giải đúng:

Bài toán: Giải phương trình sau: x2.3x 2 9.3 x 3x x2.3 x

* Chú ý: Khi biến đổi phương trình tương đương học sinh thường hay mắc

2

2 02

); từ đó sẽ nhận nghiệm ngoại lai x 1

*Hệ thống bài toán tham khảo

Giải các phương trình sau:

(CĐ KTKT Thái Bình - 2007)24)  2 3  

0,5  x 2 x

25)2x2 x 4.2x2 x 22x 4 0

(ĐH - K.D - 2006)

26) Cho phương trình: m.2x2  5x 6 21 x2 2.26 5  x m

a) Với m 1, hãy giải phương trình trên theo 2 cách?

b) Tìm m để phương trình trên có 4 nghiệm phân biệt?

2.1.6 Nếu phương trình mũ có hai cơ số hoặc ba cơ số, nhưng không thể quy về cùng một cơ số, song có thể quy về phương trình mà mỗi vế gồm một số hạng hoặc tích các số hạng thì:

Hoặc là quy về một cơ số là tích (hoặc thương) của hai cơ số đó;

Hoặc lôgarit hóa hai vế của phương trình với cơ số là một trong hai cơ số đó.

Vậy phương trình có nghiệm là: x=2

b) Nhận xét: Có thể lấy lôgarit hai vế của phương trình theo cơ số 3 hoặc 4

- Lấy lôgarit cả hai vế của phương trình theo cơ số 3 ta được:

3 4

( 1).log 3 ( 2).log 5 2 log 3

.(1 log 3 log 5) 2(1 log 3 log 5)

Vậy phương trình có nghiệm là: x 2

*Hệ thống bài toán tham khảo

Giải các phương trình sau:

23) x2.5x 5x 2



Chia cả hai vế của phương trình cho một trong các hàm số mũ đó để quy

về phương trình bậc hai (bậc ba), hoặc xét sự biến thiên của hàm số để chứng minh nghiệm duy nhất;

Hoặc nhóm thừa số chung, đưa về phương trình tích

b) Ta có: 2 32 1

x x