3 phương trình bậc 2 với 1 hàm lượng giác đáp án

TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 Điện thoại 0946798489 Facebook Nguyễn Vương https //www facebook com/phong baovuong Trang 1 3 1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI MỘT HÀM LƯỢNG GIÁC NHẬN DẠNG PHƯƠNG PHÁP LÀM ĐIỀU KIỆN[.]

Trang 1

TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 Điện thoại: 0946798489

3.1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI MỘT HÀM LƯỢNG GIÁC

NHẬN DẠNG PHƯƠNG PHÁP LÀM ĐIỀU KIỆN

, 2



I.Phương trình bậc nhất với 1 hàm lượng giác

Làm như phương trình cơ bản

II Phương trình bậc 2 với 1 hàm lượng giác

Các dạng phương trình

2 2 2 2

0 0 0 0

asin x bsinx c acos x bcosx c atan x btanx c acot x bcotx c

A Câu tập tự luận

Câu 1 Giải các phương trìnhsau:

a) 2 sin2x(2 3) sinx 3 0

b) 3 cot2x4 cotx 3 0

c)6 sin 22 xsin 2x  1 0

d)4 cos2x11cosx70

Lời giải

a) 2 sin2x(2 3) sinx 3 0

Tacó :  (2 3)28 3(2 3)2

(2 3) (2 3)

4 (2 3) (2 3) 3 sin

x









2 2

2 3 2 2 3





 



  



b) 3 cot2x4 cotx 3 0

   

Bài 3 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP - LỜI GIẢI CHI TIẾT

• Chương 1 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

• |FanPage: Nguyễn Bảo Vương

Trang 2

Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/

2 1

3 1 cot

3

x x















6

3





 



 

  



c) 6 sin 22 xsin 2x  1 0

có (1)22425(5)2

2

sin 2

12 2

2

sin 2

2

12 3

2 3

x





 











d) 4 cos2x11cosx70

2

11 3 7

11 3

8

x k x













Câu 2 Giải các phương trình sau :

2

sin cos 1 0

a x x  b.2 cos 2x4 cosx1

Lời giải

a sin2xcosx  1 0

2 2

1 cos cos 1 0

cos cos 2 0 cos 1

(2 1) cos 2( )

x

 







b.2 cos 2x4 cosx1

2 2

2(2 cos 1) 4 cos 1

4 cos 4 cos 3 0

4 12 16

2

2 4 3

2

3

4 2



   





a) 12 cot 2 1 0

sin 2x x  b)

1

tan

x x

Lời giải

Trang 3

Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11

a. 12 cot 2 1 0

sin 2x  x  Điều kiện : sin 2x 0

2

cot 2x cot 2x 2 0

     Phương trình vô nghiệm

tan

x x

   Điều kiện : cosx 0

2



sin cos

2

x x b.sin 24 xcos 24 x 1 2 sin 4x

Lời giải

2

1 sin cos

2

1 (sin cos ) 2 sin cos

2 sin 2 1

1

4 sin 2 1

4

x





 



   



2

sin 2 cos 2 1 2sin 4

(sin 2 cos 2 ) 2 sin 2 cos 2 1 2 sin 4

1 1 2 sin 4 0 sin 4 (2 ) 0

sin 4 0

4

k



Câu 5 Giải các phương trình sau :

a 2 cos 2 1 0

cos 2x x 

b 2

sinx cos 2xsinx  1 0

Lời giải :

a Điều kiện : cos 2 0

4 2

k

   

2

cos 2 1 0 cos 2x x 

2

x

x k t m





 



Trang 4

2

sin cos 2 sin 1 0

sin 1 2 sin sin 1 0

sin sin 2 0

x

k x



 







Câu 6 Giải phương trình sau :sin6xcos4xcos 2x

Lời giải :

2

sin cos cos 2

1 cos 3 cos 2 cos 1

1 3cos 3cos cos cos 2 cos 1 0

cos 2( ) cos 4 cos 5 cos 2 0

cos 1







Câu 7 Giải phương trình sau : cot 2 12 2 0

sin 2

x

Lời giải

2

: sin 2 0

2 cot 2 1 cot 2 2 0

1 c

cot

sin 2

2 cot 2 1 0

x

k x











Câu 8 Giải phương trìnhsau :cos2x4 cosx2 sinx xx2 3 0

Lời giải

cos 4 cos 2 sin 3 0

2 sin 1 cos 4 cos 2 0

2 sin sin 2 cos 4 2 0

sin 2 cos 1 0 sin 0 sin

0 cos 1 0 cos 1

x

Câu 9 Giải phương trình :

sin cos sin cos

4 4 cos 2 sin 2





Lời giải

sin cos 1 sin 2 4cos 2x+sin 2x=4-3sin 2x

4

Do đó phương trình đã cho

sin cos sin cos

4 4 cos 2 sin 2





Trang 5

2

3

1 sin 2

sin os x=1 sin sin cos cos 0

x







Ta có :

sin sin sin (1 sin 8 ) 0

os x-cos x=cos x(1-cos8x) 0

sin 0 sin 1 sin sin 0 sin (1 sin ) 0

2 cos 0

cos cos 0 cos (1 cos ) 0

cos 1

c

x x

x











 

  





  



Câu 10 Giải các phương trình :

1 tan cos cos sin (n=2,3,4 )

4

n

Lời giải :

Với điều kiện

2

x k

 nên ta có tanx và cotx luôn cùng đấu nên :

t nx+ cotx tan cot 2 tan cot 1 t nx+ cotx 1

n

 Vớin=2 thì phương trình

2

1 tan cos 4



  =1 có nghiệm cho bởi : 1

tan

2

 Với nZ n,  thì : 2

cosn xsinn xcos xsin x1

Dấu bằng xảy ra

khi n=2m

2 hay x= 2 khi n=2m+1

2

x k











Vậy vớinZ n,  thì phương trình vô nghiệm 2

Vậy arctan1 ( )

2

x  k kZ

B Câu tập trắc nghiệm

Câu 11 Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình 4 cos2x4cosx 3 0 trên đường tròn lượng

giác là?

Lời giải

Trang 6

Ta có 4 cos2x4cosx 3 0

 

3 cos

2 1 cos

2







 

  



cos

2

x   cos cos2

3

2 3

x   k  k    Vậy số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác là 2

Câu 12 Phương trình 2 3

cos 2 cos 2 0

4

x x  có nghiệm là:

A

6



6



   C 2

3



   D

3



  

Lời giải Chọn A

Ta có cos 22 cos 2 3 0

4

x x  Đặt cos 2xt với điều kiện 1  t 1, ta được phương trình bậc hai theo t là

0

4

t  t   *

Phương trình  * có hai nghiệm 1 1

2

t  và 2 3

2

t   nhưng chỉ có 1 1

2

t  thỏa mãn điều kiện

Vậy ta có

1

 

Câu 13 Nghiệm của phương trình 2

2 sin x– 5 sinx– 30 là:

2

Lời giải Chọn C

2

6 1

7 sin

2 2

6

k x







  

  







Câu 14

Nghiêm của phương trình sin2x– sinx2là:

A xk  B 



  2 2



  2





  2 2

Lời giải Chọn B

Đặt tsinx Điều kiện t  1

Phương trình trở thành: 2 2 1 ( TM)

2 (L)

t

 

        

 



Với 1 sin 1 2 (k Z)

2

t  x x k  

Câu 15 Nghiệm của phương trình 2 cos2x3 cosx  là: 1 0

Trang 7

6

3

Lời giải Chọn D

2 cos 1

2 cos

3 2

x k x

x







3 cos x– 8 cosx– 5 là:

A xk2 B xk2 C 2

2



   D xk Lời giải

Chọn A

2

cos 1

3

x

 





    



Câu 17 Nghiệm của phương trình sin2x4 sinx  là 3 0

A xk2 , k  B 2 ,

2



    

C xk2 , k  D 2 ,

2



2

sin x4 sinx 3 0 sin 1

sin 3

x x





  



Với sinx 1 2 ,

2



x k k 

Với sinx 3 phương trình vô nghiệm

Câu 18 Nghiệm của phương trình lượng giác sin2x2sinx0 có nghiệm là:

A xk2 B xk C

2



2



 

sin 2

x







Vì  1 sinx1 nên chỉ có sinx 0 thỏa mãn Vậy ta có

sinx 0 xk,k  

x x x   x  

3



3



4

x k k 

Trang 8

Phương trình đã cho tương đương với

2

sin 2 1 sin 2 2( )

x





   



2



4



Câu 20 Cho phương trình 2 cos 2xcosx  Khi đặt 1 0 tcosx, ta được phương trình nào dưới đây?

A 2t2  t 1 0 B t  1 0 C 4t2  t 3 0 D 4t2  t 1 0

2 cos 2xcosx 1 02 2 cos x1 cosx 1 04 cos xcosx 1 0

Đặt tcosx, phương trình trở thành 4t2  t 1 0

Câu 21 Phương trình cos 2x5sinx 4 0 có nghiệm là



Ta có:

 

  2

2

x









Phương trình có nghiệm 2

2

xk 

Phương trình vô nghiệm

Câu 22 Tìm nghiệm của phương trình cos 2x2 sinx  ? 3

2

x k k  B ,

2

x  k k 

2

x k  k  D 2 ,

2

x k  k

+) Ta có cos x2 2 sinx   3 1 2 sin2x2 sinx 3

sin sin 2 0

s inx 2 1 (VN)



2

Câu 23 Cho phương trình cos 2xsinx20 Khi đặt tsinx, ta được phương trình nào dưới đây

A 2t2  t 1 0 B t  1 0 C 2t2  t 3 0 D 2t2  t 2 0

Lời giải

Ta có: cos 2xsinx20  1 2sin2xsinx 2 0 2

Đặt tsinx ta được phương trình: 2t2  t 3 0

Câu 24 Giải phương trình 3sin2x2 cosx 2 0

2

x k k  B xk,k  C xk2 , k  D 2 ,

2

x k  k 

Trang 9

Lời giải

Ta có 3sin2x2 cosx 2 0 3cos2x2 cosx 5 0cosx1xk2 , k 

Câu 25 Tìm tất cả các nghiệm của phương trình tanx 3 cotx 3 1  là: 0

3

k





 







  



 B 4 ,

6

k





  







  





C

2 4

, 2 6

k





 







  



 D 4 ,

6

k





 







  





Lời giải

ĐK sin 0 sin 2 0 ,

x















tan 3

3

x





 











    Khi đặt t cos 6 x



 , phương trình đã cho

trở thành phương trình nào dưới đây?

A 4t28t 5 0 B 4t28t 3 0 C 4t28t 3 0 D 4t28t 5 0

Lời giải

Đặt cos

6

t  x

 , t  ta được phương trình: 1

2

   4t28t 3 0

Câu 27 Cho phương trình: cos 2xsinx 1 0  * Bằng cách đặt tsinx   1 t 1 thì phương trình

 * trở thành phương trình nào sau đây?

A  2 t2  t 0 B t2   t 2 0 C  2 t2   t 2 0 D    t2 t 0

Lời giải

cos 2xsinx   1 0 1 2sin xsinx   1 0 2sin xsinx  0 2t  t 0

Câu 28 Giải phương trình cos2x5sinx 4 0

A

2

x   k B

2

x   k C xk2 D 2

2

x k 

Lời giải:

Ta có cos2x5sinx   4 0 1 2sin2x5sinx 4 0

Trang 10

2

sin 1

sin 2

x









Với sin 1 2 ,

2

x x k  k Với 3

2

x  

2 sin x– 3 sinx  1 0 thỏa điều kiện: 0

2

x 

 

A

2

6

x 

4

x 

2

x 



2

2 2 sin 1

2 1

6 sin

2 6

x





 









  





Vì 0

2

x 

  nên nghiệm của phương trình là

6

x 

Câu 30 Tìm nghiệm của phương trình lượng giác cos2xcosx0 thỏa mãn điều kiện 0x

A x B

4

x 

2

x 

 D x 0 Lời giải

Chọn C

Ta có cos2 cos 0 cos 0 2

2

x

x k











k  

Với

2



  , do 0x nên ta được

2

x 



Với xk2, do 0x nên không có x nào thỏa mãn

Câu 31 Nghiệm dương bé nhất của phương trình: 2sin2x5sinx 3 0 là:

A

6

x 

2

x 

2

6



2

sin 2

x

 







2

sin

5 2

2 6

x





 



  



Trang 11

Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU TỰ HỌC TỐN 11 Câu 32 Tìm tổng tất cả các nghiệm thuộc đoạn 0;10  của phương trình sin 22 x3sin 2x20

A 105

2



4



4



D 299

4



Ta cĩ: sin 22 x3sin 2x20 sin 2 1

sin 2 2

x x

 



   

 (loại)sin 2x 1 x 4 k



    , k  

Theo đề bài: 0 10

4 k



4 k 4

   k 1, 2, ,10

Vậy tổng các nghiệm là: 3 3 3 9

      

105 2





Câu 33 Phương trình cos 2x4sinx 5 0 cĩ bao nhiêu nghiệm trên khoảng 0;10 ?

Lời giải

Chọn A

PT đã cho  2 sin2x4 sinx60

x

v

 



 





2 , 2

     

Theo đề: x 0;10  0 2 10

2 k

    

4 k 4

  

Vì k   nên k 1; 2;3; 4;5 Vậy PT đã cho cĩ 5 nghiệm trên khoảng 0;10 

Câu 34 Phương trình cos 2 x  2cos x   3 0cĩ bao nhiêu nghiệm trong khoảng 0; 2019 ? 

A 320 B 1009 C 1010 D 321

cos 2x2 cosx 3 0 2cos2x2cosx 4 0cosx hay 1 cosx  2

Với cosx 1 xk2 ; k 

Với 0 x20190k2 20190k 321.49 Vậy cĩ tổng cộng 321 nghiệm

Câu 35 Phương trình cos 2x4 sinx 5 0 cĩ bao nhiêu nghiệm trên khoảng 0;10 ?

PT đã cho  2sin2x4sinx 6 0

 

x

 



 





2 , 2



Theo đề: x0;10 0 2 10



Vì k   nên k 1; 2;3; 4;5 Vậy PT đã cho cĩ 5 nghiệm trên khoảng 0;10

Câu 36 Tính tổng S các nghiệm của phương trình    4 4 

2 cos 2x5 sin xcos x  3 0 trong khoảng0; 2

A 11

6

Trang 12

2 cos 2x5 sin xcos x   3 0 2 cos 2x5 sin xcos x  3 0

2

Do đó: 5 7 11

4



Câu 37 Số nghiệm thuộc khoảng 0;3 của phương trình 2 5

2

x x  là

 

2

1 cos

5

2 cos cos 1 0

2

cos 2



  



  



2 2

2

2 3





  

  



     







+ Với 2

2 3

x k 

, k   Vì x0;3 nên 2

   , k  

x   

+ Với 2

2 3



   , k   Vì x0;3 nên 2



   , k  

3

Do đó 2 4 8

x    

Vậy số nghiệm của phương trình là 3

Câu 38 Tìm nghiệm của phương trình lượng giác cos2xcosx0 thỏa mãn điều kiện 0x

A

2

4

x

cos 1

2

x

x k











k   

Với

2

x k , do 0x nên ta được

2

x Với xk2, do 0x nên không có x nào thỏa mãn

Câu 39 Phương trình cos 2xcosx0 có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng  ; ?

Trang 13

Ta có: cos 2xcosx0 2 cos2xcosx 1 0

cos 1

1 cos

2

x x

 









2 2 3

k











Do x   ;  nên

3

Câu 40 Số nghiệm của phương trình 9 15

    với x 0; 2 là: 

    cos 2x3sinx 1 2 sinx

2

sin 0

2 1

6 sin

2 6

x k x

x



  





   





Do x 0; 2 nên  5

0; ; ;

6 6

x   

  Vậy có 4nghiệm

Câu 41 Phương trình 4 tan2x5 tanx 1 0 có m nghiệm trong khoảng 2017 2017

;



A m 2017 B 4032 C m 4034 D m 2018

Ta có 2

tan 1

4

4 tan 5 tan 1 0 1

1 tan

arctan 4

4

x











k   

 Với

4

x k k   do 2017 2017

;

  nên có 1008 k1008 nên có

2017 nghiệm

 Với arctan1

4

x k k   do  2017 2017

;

x    

  nên có 1008 k1008 nên có

2017nghiệm và hai họ nghiệm không có nghiệm nào trùng nhau Vậy ta có m 4034

Câu 42 Trong khoảng 0; 2, phương trình cos 2x3 cosx20 có tất cả m nghiệm Tìm m

Trang 14

Phương trình 2

x

 













Vậy trên khoảng 0; 2, phương trình đã cho cĩ 3 nghiệm là x , 2

3

Câu 43 Tìm tổng tất cả các nghiệm thuộc đoạn 0;10 của phương trình sin 22 x3sin 2x 2 0

A 105

2



4



4



D 299

4



Ta cĩ: sin 22 x3sin 2x 2 0 sin 2 1

sin 2 2

x x

 



   

 (loại)sin 2x 1 x 4 k



    , k  

Theo đề bài: 0 10



Vậy tổng các nghiệm là: 3 3 3 9

      

105 2



Câu 44 Tính tổng tất cả T các nghiệm thuộc đoạn 0; 200  của phương trình 2 cos2x3sinx  3 0

A T 10150 B T 10050 C 10403

2

Đặt tsinx, điều kiện t   1;1

Khi đĩ phương trình đã cho trở thành: 2t23t 5 0 Phương trình cĩ hai nghiệm t  1,

5

2

t 

Với t  1, suy ra sin 1 2 ( )

2



Khi đĩ

Câu 45 Số nghiệm của phương trình cos 2x3 cosx  1 0 trong đoạn ;

2 2

 



  là:

Trang 15

Ta có: cos 2x3 cosx  1 0 2 cos2x3 cosx 20

Đặt t cosx , 0  , ta được phương trình: t 1

2

2t 3t 2 0

2 1 2

t t

 







 



1 2

t

Với 1

2

t  , ta có: 1

cos

2

x 

1 cos

2 1 cos

2

x x







 

  



2 3 2 2 3





  



 

   



3

x  k

    k   

Trên đoạn ;

2 2

 



  phương trình có nghiệm là x 3



Câu 46 Tính tổng S các nghiệm của phương trình (2 cos 5)(sin4 cos4 ) 3 0

x     trong khoảng

0; 2

A 11

12

2

12

2

(2 cos 5)(sin cos ) 3 0 (2 cos 5) cos 3 0

cos 3( )

cos

2

2 3

, 2 3

x

k



 









 



   





Trong khoảng0; 2: , 5

x x 

Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TOÁN)  https://www.facebook.com/groups/703546230477890/

Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương

 https://www.youtube.com/channel/UCQ4u2J5gIEI1iRUbT3nwJfA?view_as=subscriber

Tải nhiều tài liệu hơn tại: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/

Tiêu đề	3 phương trình bậc 2 với 1 hàm lượng giác
Tác giả
Trường học	Trường Đại Học
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Tài liệu tự học
Năm xuất bản	2023
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	15
Dung lượng	489,53 KB