6 phép đồng dạng đáp án 6 phép đồng dạng đáp án

Trang 1 I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1 Định nghĩa Phép biến hình f gọi là phép đồng dạng tỉ số k  0k  nếu với 2 điểm ,M N bất kì và ảnh , M N của chúng ta có M N kMN 2 Định lí Mọi phép đồng dạng f t. Trang 1 I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1 Định nghĩa Phép biến hình f gọi là phép đồng dạng tỉ số k  0k  nếu với 2 điểm ,M N bất kì và ảnh , M N của chúng ta có M N kMN 2 Định lí Mọi phép đồng dạng f t.

I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1 Định nghĩa:

Phép biến hình f gọi là phép đồng dạng tỉ số k k 0 nếu với 2 điểmM N bất kì và ảnh , ', '

M N của chúng ta có: M N' 'kMN

2 Định lí:

Mọi phép đồng dạng f tỉ số k k 0đều là hợp thành của một phép vị tựV tỉ số k và một

phép dời hình D

3 Tính chất:

- Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự của ba điểm đó

- Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài được nhân lên vớik( k là tỉ số đồng dạng)

- Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số k

- Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn có bán kính R'kR

- Biến góc thành góc bằng nó

3 Hai hình đồng dạng:

Hai hình được gọi là đồng dạng với nhau nếu có một phép đồng dạng biến hình này thành hình kia

Sơ đồ biểu thị mối quan hệ giữa các phép biến hình

II CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

DẠNG 1 KHAI THÁC ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP ĐỒNG

DẠNG

A Bài tập tự luận

Câu 1 Cho hình chữ nhật ABCD tâm I Gọi E , F , G , H lần lượt là trung điểm của AB , CD, CI,

FC Phép đồng dạng hợp bởi phép vị tự tâm C tỉ số k 2 và phép đối xứng tâm I biến tứ giác

IGHF thành

Lời giải

Bài 6 PHÉP ĐỒNG DẠNG - LỜI GIẢI CHI TIẾT

• Chương 1 PHÉP BIẾN HÌNH

• |FanPage: Nguyễn Bảo Vương

H

G I

F

E

B A

C;2   

Câu 2 Cho đường tròn  O , đường thẳng d và một điểm P cố định Với mỗi điểm M thuộc đường

tròn  O ta xác định điểm N đối xứng với M qua d Gọi I là trung điểm của PN Tìm tập

hợp điểm I khi M thay đổi trên đường tròn

Giải

Ta có Ð :d M N  quỹ tích điểm N là đường tròn  O ảnh của đường tròn  O qua phép đối xứng trục Ðd

Mặt khác qua phép vị tự tâm P, tỉ số 1

2 1

,

2

:

P

V  N I

 

 



 Quỹ tích điểm I là đường tròn O ảnh của đường tròn  O qua phép vị tự 1

, 2

P

V 

 

  , như vậy

tập hợp các điểm I là đường tròn O ảnh của đường tròn  O qua phép đồng dạng

1 , Ð

2 d

F V P 

 

Câu 3 Cho tam giác ABC , về phía ngoài ta dựng tam giác đều ABM , trên cạnh AC về phía trong tam

giác ta dựng tam giác đều ACN Gọi K H, lần lượt là tâm các tam giác đều ABM và ACN

Chứng minh BC 3KH

Giải

Ta có   1

30 ;

3

KAB HAC

 Như vậy phép quay 30  , tâm A và phép vị tự tâm A tỉ số 3 biến điểm K thành điểm B

và điểm H thành điểm C hay:

 

30 , 3 A :

A

 

 3

BC KH

Câu 4 Chứng minh rằng nếu hai tam giác cân ABC và A B C' ' ' có ABAC, A A' và 2

' '

AB

A B  thì

hai tam giác đó đồng dạng với nhau

Lời giải

Phép đồng dạng bao gồm: TAA; Q A;

1 2

A

V

Với  A B A B' 1; ' '

Câu 5 Chứng minh rằng hai hình vuông bất kì đồng dạng với nhau

Lời giải

Xét hai hình vuông ABCD và A B C D' ' ' '

Trước hết tịnh theo theo vectơ AA'



Hình vuông ABCD biến thành hình vuông A B C D ' 1 1 1

Tiếp theo thực hiện phép quay tâm A , góc quay '  A D A D' 1; ' '

C'

B'

C 1

B 1

A'

C B

A

θ

D'

D 1 D

C'

B'

B 1 A'

C

B A

θ

Sau cùng thực hiện phép vị tự tâm A tỉ số '

1

' ' '

A B k

A B

 Khi đó hình vuông A B C D' ' ' ' có được

bằng cách thự chiện liên tiếp ba phép đồng dạng

AA

T; QA; k

A

V Vậy hai hình vuông đồng dạng với

nhau

Câu 6 Cho hai tam giác ABC vuông tại A , AH là đường cao kẻ từ A HBC Chứng minh rằng có

một phép đồng dạng biến tam giác HBA thành tam giác ABC

Lời giải

Ta có: BHABAC Do đó

k

BH  BA 

BA kBH

BC kBA





 



 Gọi d là đường vuông góc trong của góc ABC

Giả sử:Ñd H H'BH BH'V B k(H')A

Giả sử: Ñ   ' ' k( ')

d A A BABA V B A C

Ngoài ra: Ñd B B; K

B

V B

Như vậy thực hiện hai phép biến hình liên tiếp Ñd và k

B

V thì tam giác HBA biến thành tam giác

ABC

Mặt khác Ñd và k

B

V là các phép đồng dạng nên thực hiện liên tiếp ta được một phép đồng dạng

Câu 7 Chứng minh rằng các đa giác đều có cùng số cạnh thì đồng dạng với nhau

Lời giải

Cho hai n đa giác đều AA A1 n và BB1 B có cùng số cạnh là n n và có tâm lần lượt là O, O'

Hai tam giác cânA OA , 1 2 BO B có góc ở đỉnh ' 2 

1 2 1 2

2

A OA B OB

n



  nên đồng dạng Do đó,

đặt 1 2 1 

1 2 1

' 1

B B O B k

A A OA

Phép biến đa giác đều AA A1 nthành đa giác đều CC C1 nvà 1 2 

1 2 2

C C k

A A

Từ (1) và (2) ta cóC C1 2B B1 2 Vậy hai đa giác đều CC C1 nvà BB1 B có cạnh bằng nhau nên n

có một phép dời hình D biếnCC C1 nthành BB1 B n

Nếu gọi f là hợp thành của V O k , và phép dời hình D thì f là một phép đồng dạng biến đa

giác đều AA A1 nthành đa giác đềuBB1 B n

Câu 8 Cho tam giác ABC vuông tại cân tại A (các đỉnh vẽ theo chiều dương) Biết đỉnh B cố định,

đỉnh A di động trên đường trònO R;  Tìm tập hợp các đỉnhC

Lời giải

d

B A

Tam giác ABC vuông tại cân tại A nên BCAB 2 Xét phép vị tự

B; 2

V biến A thành A , với '

BA BA Ta có A thuộc nữa đường thẳng BA'

'

BA BC





 

 



 

Do đó C là ảnh của A trong phép quay '

 0

; 45

B

Q

 Suy raC là ảnh của A qua phép hợp thành của phép vị tự

B; 2

V và phép quay

 0

; 45

B

Q

 Vậy C là ảnh của A qua phép đồng dạng tỉ số 2

Theo giả thiết, A di động trên O R; , nên tập hợp của Clà đường tròn O R'; 2, là ảnh của

O R;  qua phép đồng dạng đó Tâm O' được xác định bởi:   0

; ' 45

BO BO









Câu 9 Cho điểm A và đường thẳng  không đi qua A Một điểm M thay đổi trên  , vẽ tam giác AMN

vuông cân tại M (các đỉnh của tam giác ghi theo chiều ngược kim đồng hồ) Tìm tập hợp các

điểmN

Lời giải

Ta có:   0

AN; AM 45

2









Suy ra N là ảnh của M qua phép đồng dạng qua phép hợp thành của phép vị tự

A; 2

V và phép quay

A;45 0

Do đó khi M thay đổi trên  thì tập hợp các điểm Nlà ảnh của đường thẳng  qua phép đồng

dạng trên, gọi H là hình chiếu của A trên  , vẽ tam giác vuông AHI khi đó ' là đường thẳng

qua I và tạo với  một góc 45 0

B bài tập trắc nghiệm

Câu 10 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A Phép đồng dạng là một phép dời hình B Có phép vị tự không phải là phép dời hình

C Phép dời hình là một phép đồng dạng D Phép vị tự là một phép đồng dạng

Lời giải Chọn A

Phép đồng dạng có thể làm thay đổi kích thước của hình nên không phải là một phép dời hình

Câu 11 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A “ Phép vị tự tỷ số k  1 là phép dời hình”

B “ Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng song song với nó”

C “ Phép đối xứng tâm biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính”

D “ Phép quay tâm I góc quay 90 biến đường thẳng thành đường thẳng vuông góc với nó”

Lời giải Chọn A

Phép vị tự tỷ số k  1 là đối xứng tâm

Câu 12 Cho các khẳng định sau:

(1) Phép vị tự là một phép dời hình

(2) Phép đối xứng tâm là một phép dời hình

(3) Phép tịnh tiến không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì

(4) Phép quay tâm O góc quay bất kì biến M thành M  thì , O M M  thẳng hàng ,

Trong các khẳng định trên, có bao nhiêu khẳng định đúng?

Lời giải Chọn D

+Phép vị tự không phải là phép dời hình mà là phép đồng dạng, nên (1) sai

+ Phép đối xứng tâm là một phép dời hình, nên (2) đúng

+ Phép tịnh tiến không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì, nên (3) đúng

+ Phép quay tâm O góc quay bất kì biến M thành M  và , O M M  thẳng hàng chỉ khi đó là , phép quay tâm O có góc quay là 0 hoặc 180, nên (4) sai

Câu 13 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A Hai đường thẳng bất kỳ luôn đồng dạng B Hai đường tròn bất kỳ luôn đồng dạng

C Hai hình vuông bất kỳ luôn đồng dạng D Hai hình chữ nhật bất kỳ luôn đồng dạng Đáp án D

Lời giải:

Với hai hình chữ nhật bất kỳ ta chọn từng cặp cạnh tương ứng khi đó tỉ lệ giữa chúng chưa chắc

đã bằng nhau Vì vậy không phải lúc nào cũng tồn tại phép đồng dạng biến hình chữ nhật này thành hình chữ nhật kia

Câu 14 Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Phép dời hình là phép đồng dạng, tỉ số k  1

B Phép vị tự tỉ số k là một phép đồng dạng với tỉ số k

C Phép vị tự tỉ số k 0 là phép đồng dạng tỉ số k

D Phép đồng dạng là phép dời hình với k 0

Lời giải:

Đáp án C

Câu 15 Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Mọi phép đồng dạng đều biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó

B Mọi phép đồng dạng biến hình vuông thành hình vuông

C Tồn tại phép đồng dạng biến hình chữ nhật (không phải hình vuông) thành hình vuông

D Phép đồng dạng biến tam giác thành tam giác có cùng diện tích

Lời giải:

Đáp án B

Câu 16 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

I “ Mỗi phép vị tự tỉ số k là một phép đồng dạng tỉ số k”

II “ Mỗi phép đồng dạng là một phép dời hình”

III “ Thực hiện liên tiếp hai phép đồng dạng ta được một phép đồng dạng”

A Chỉ I B Chỉ II C Chỉ III D Cả I và III

Lời giải:

Đáp án C

Câu 17 Phép đồng dạng với tỉ số k nào dưới đây thì được một hình bằng hình ban đầu?

2

Lời giải:

Đáp án A

Câu 18 Cho ABC và A B C   đồng dạng với nhau theo tỉ số k Chọn câu sai:

A k là tỉ số hai trung tuyến tương ứng

B k là tỉ số hai đường cao tương ứng

C k là tỉ số hai góc tương ứng

D k là tỉ số hai bán kính đường tròn ngoại tiếp tương ứng

Lời giải:

Đáp án C

Câu 19 Cho hình vuông ABCD , P thuộc cạnh AB , H là chân đường vuông góc hạ từ B đến PC Phép

đồng dạng viến BHC thành PHB Khi đó ảnh của B và D lần lượt là:

A P và Q Q BC BQ; BH B C và Q Q BC BQ; BH

C H và Q Q BC BQ; BH D P và C

Lời giải:

Đáp án A

Câu 20 Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Phép đồng dạng tỉ số k  là phép dời hình 1

B Phép đồng dạng tỉ số k  1 là phép đối xứng tâm

C Phép đồng dạng tỉ số k 1 là phép tịnh tiến

D Phép đồng dạng tỉ số k  là phép vị tự tỉ số 1 k  1

Đáp án A

Lời giải:

Khi k  phép đồng dạng bảo toàn khoảng cách nên là phép dời hình 1

Câu 21 Giả sử phép đồng dạng F biến tam giác ABC thành tam giác A B C Giả sử F biến trung tuyến 1 1 1

AM của ABC thành đường cao A M của 1 1 A B C1 1 1 Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A A B C1 1 1 là tam giác đều B A B C1 1 1 là tam giác cân

C A B C1 1 1 là tam giác vuông tại B 1 D A B C1 1 1 là tam giác vuông tại C 1

Lời giải:

Đáp án D

Theo tính chất phép đồng dạng thì A M là đường trung tuyến của 1 1 A B C1 1 1, theo giả thiết A M 1 1

lại là đường cao nên A B C1 1 1 là tam giác cân tại A Vì vậy 1 ABC cân tại A

Câu 22 Cho hình chữ nhật ABCD và AC2AB Gọi Q là phép quay tâm A góc quay AB AC,  V

là phép vị tự tâm A tỉ số 2, F là phép hợp thành của V và Q F biến đường tròn tâm B bán kính BA thành đường tròn nào sau đây?

A Đường tròn tâm D bán kính DB B Đường tròn tâm C bán kính CA

C Đường tròn tâm D bán kính DC D Đường tròn tâm A bán kính AC

Lời giải:

Đáp án B

A;2   1; A;  1

V B B Q  B C

A

D

B

C

P

H

Q

Qua VA;2 biến đường tròn tâm B bán kính BA thành đường tròn tâm B bán kính 1 B A 1

Qua QA;biến đường tròn tâm B bán kính 1 B A thành đường tròn tâm 1 C bán kính CA

Câu 23 Cho hai đường tròn I R và ;  I; 2R tiếp xúc ngoài nhau tại O d là đường thẳng tiếp xúc với

hai đường tròn tại O Gọi V là phép vị tự tâm O tỉ số k, Đ là phép đối xứng qua đường thẳng

d , F là phép hợp thành của Đd và VO k; Với giá trị k bằng bao nhiêu thì F biến I R;  thành

I; 2R?

2

2

Lời giải:

Đáp án A

Ta có: Đd  I  I1 ;VO;2  I1  I  Vậy k 2

Câu 24 Cho hình vuông ABCD tâm O (điểm được đặt theo chiều kim đồng hồ) A B C D, , ,  theo thứ tự

là trung điểm của AB BC CD DA, , , Gọi V là phép vị tự tâm O tỉ số k  2 và Q là phép quay

tâm O góc quay

4



 Phép biến hình F được xác định là hợp thành liên tiếp của phép quay và phép vị tự Khi đó qua F ảnh của đoạn thẳng B D  là:

A Đoạn D B  B Đoạn A C  C Đoạn CA D Đoạn BD

Lời giải:

Đáp án C

Ta có:

; 4

O

Q 

 

  biến B D,  thành B D B D1, 1: 1 1B D  và B D nằm trên đường thẳng qua 1, 1 AC

O; 2 1 2; O; 2 1 2 2 2 1, 2 2 1 2 2 2 1 1 2

I A

B1

C

D

B

d

I'

O

C'

A'

A

D

B

C

Câu 25 Cho hình bình hành ABCD tâm O Trên cạnh AB lấy điểm I sao cho IA2 IB0

Gọi G là

trọng tâm ABD F là phép đồng dạng biến AGI thành COD Khi đó F là hợp bởi hai phép

biến hình nào?

A Phép tịnh tiến theo GD

và phép VB; 1 B Phép

 0

;108

G

Q và phép 1

; 2

B

V 

 

 

C Phép 3

; 2

A

V 

 

 

và phép

O; 108 0

Q

; 2

A

V 

 

 

và phép

G; 108 0

Q



Lời giải:

Đáp án C

- Phép 3  

; 2

A

V  AGI AOB

 

 

  

- Phép

O; 180 0  

Câu 26 Phóng to một hình chữ nhật kích thước là 4 và 5 theo phép đồng dạng tỉ số k 3 thì được hình có

diện tích là:

A 60 đơn vị diện tích B 180 đơn vị diện tích

C 120 đơn vị diện tích D 20 đơn vị diện tích

Lời giải:

Đáp án B

Qua phép đồng dạng tỉ số k 3 ta được các cạnh tương ứng của hình chữ nhật là 12 và 15

 Diện tích của hình chữ nhật ảnh là: 12.15 = 180

Câu 27 Cho hình chữ nhật ABCD, AC và BD cắt nhau tại I Gọi H , K , L và J lần lượt là trung điểm

AD , BC, KC và IC

Ảnh của hình thang JLKI qua phép đồng dạng bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm C tỉ

số 2 và phép quay tâm I góc 180 là

A hình thang IHDC B hình thang IKBA C hình thang HIAB D hình thang IDCK

Lời giải Chọn A

( ;2)C

V biến hình thang JLKI thành hình thang IKBA

O A

D

B

C G

I

I;180 

Q  biến hình thang IKBA thành hình thang IHDC

Câu 28 Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I Gọi H K L J, , , lần lượt là trung điểm của AD BC KC IC, , ,

Tứ giác IHCD đồng dạng với tứ giác nào sau đây?

Đáp án A

Lời giải:

Tứ giác IHDC là hình thang vuông Ta thấy IHDC đồng dạng với JLKI theo tỉ số 1

2

Câu 29 Cho ABC có đường cao AH H, nằm giữa BC Biết AH4,HB2,HC8 Phép đồng dạng

F biến HBA thành HAC F được hình thành bởi hai phép biến hình nào?

A Phép đối xứng tâm H và phép vị tự tâm H tỉ số 1

2

B Phép tịnh tiến theo BA

và phép vị tự tâmH tỉ số k 2

C Phép vị tự tâm H tỉ số k  và phép quay tâm 2 H góc quay là góc HB HA, 

D Phép vị tự tâm H tỉ số k 2 và phép đối xứng trục

Đáp án C

Lời giải:

Ta có VH,2 và QH;với HB HA,  biến B thành A và A thành C, vậy F là phép đồng dạng hợp thành của VH,2 và QH;biến HBA thành HAC

DẠNG 2 TÌM ẢNH CỦA MỘT ĐIỂM HOẶC MỘT HÌNH QUA PHÉP ĐỒNG DẠNG

BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

A Bài tập tự luận

Câu 1 Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm M3; 6  Gọi N là ảnh của M qua phép đồng dạng có được

từ việc thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số 1

3

 và phép đối xứng trục Oy Tìm tọa độ N

Lời giải

Gọi   1  

0;

3

;

M x y V  M



 

 

3

   

Gọi N x y  ; DOyMN1; 2

J L

H

I

M

C B

φ 2

4

B

A

Câu 2 Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình xy20 Viết phương trình

đường thẳng d' là ảnh của d qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị

tự tâm I   1; 1, tỉ số 1

2

k  và phép quay tâm O góc 450

Lời giải

Gọi d là ảnh của 1 d qua phép vị tử tâm I   1; 1, tỉ số 1

2

k  Vì d song song hoặc trùng 1

với d nên phương trình của d có dạng: 1 xyC 0

Lấy M 1;1 thuộc d, thì ảnh của nó qua phép vị tự nói trên là O thuộc d 1

Vậy phương trình của d1:xy Ảnh của 0 d qua phép quay tâm 1 O góc 450 là đường

thẳng Oy Vậy phương trình của d' là x 0

Câu 3 Xét phép biến hình F biến mỗi điểm M x y ;  thành điểm M  2x3; 2y1 Chứng minh F

là một phép đồng dạng

Giải

Gọi A x A;y A,B x B;y B phép biến hình F biến A B, tương ứng thành

 2 A 3; 2 A 1 ,  2 B 3; 2 B 1

Ta có A B   2x A2x B22y B2y A2 2 x Ax B2y By A2 2AB

Vậy F là một phép đồng dạng tỉ số k 2

Câu 4 Cho đường thẳng d y : 2 2 Viết phương trình đường thẳng d là ảnh của d qua phép đồng

dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số 1

2

k  và phép quay tâm O góc

0

45

Giải

Phép vị tự O tỉ số 1

2

k  biến d y : 2 2 thành d:y 2

Phép quay tâm O góc 450 biến d:y 2 thành d:y x 2

B Bài tập trắc nghiệm

Câu 5 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d :x2y 3 0 Phép đồng dạng có được bằng cách

thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số k 2 và phép tịnh tiến theo vectơ v   1;2

biến đường thẳng d thành đường thẳng d  có phương trình

A x2y110 B x2y110 C x2y 6 0 D x2y 6 0

Lời giải Chọn B

Gọi  là ảnh của d qua phép vị tự tâm O tỉ số 2

45 0

d 1

y

O

x