BÀI 2 HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG DA p1

Trang 1 LÝ THUYẾT I Định nghĩa hai đường thẳng song song Hai đường thẳng gọi là đồng phẳng nếu chúng cùng nằm trong 1 mặt phẳng Hai đường thẳng gọi là chéo nhau nêu chúng không đồng phẳng Hai đường th.

LÝ THUYẾT

I Định nghĩa hai đường thẳng song song

Hai đường thẳng gọi là đồng phẳng nếu chúng cùng nằm trong 1 mặt phẳng

Hai đường thẳng gọi là chéo nhau nêu chúng không đồng phẳng

Hai đường thẳng gọi là song song nếu chúng đồng phẳng và không có điểm chung a b,  P

a b







  



Ký hiệu: / /a b

II Tính chất

1 Định lý 1: // //b

//

a c

a

b c









2 Định lý 2: (Định lý giao tuyến)

   

   

,











DẠNG 1 CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

1 Tính chất đường trung bình

Bài 2 HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

• Chương 2 QUAN HỆ SONG SONG

• |FanPage: Nguyễn Bảo Vương

b a

P

M , N là trung điểm của AB , AC Khi đó // 1

2

MN  BC

2 Định lý Ta-lét

MN BC

3 Tính chất cạnh đối của hình bình hành

Hai phương pháp để chứng minh tứ giác là hình bình hành:

*) Chứng minh: AB CD//

AB CD









*) Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Bài tập tự luận

Câu 1 Cho hình lập phương ABCD A B C D    , ACBDO M , N là trung điểm của A B   , BC Chứng

minh MN A O// 

Lời giải

*)ABC: ON là đường trung bình ON AB// , =1

2

ON AB  1

*) Tính chất hình lập phương: AB A B//  , AB A B=  A M AB // , A M 1AB  2

*) Từ (1) và (2) ON A M//  , ONA M  Tứ giác AMNO là hình bình hành

//

A O MN

Câu 2 Lăng trụ ABC A B C   .M P Q là trung điểm A B, ,   , B C ,AC Chứng minh AM PQ //

Lời giải

*) A B C   có MP là đường trung bìnhMP A C//  , =1

2

MP A C   1

2

A C  AC A C  ACAQ A C AQ   A C 

*) Từ (1) và (2) MP//QA;MP=QAMNPD là hình bình hành

//

AM PQ

Câu 3 Cho tứ diện ABCD có I J; lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC, ABD Chứng minh rằng:

//

IJ CD

Lời giải

A

B

C

D

M

I

J

Gọi M là trung điểm của AB

Xét tam giác ABC có: 1

3

MI

MC  (do I là trọng tam của tam giác ABC)

Xét tam giác ABD có: 1

3

MJ

MD (do J là trọng tam của tam giác ABD)

Do 1

3

MC  MD IJ CD// (Định lí Ta-let)

Câu 4 Cho tứ diện ABCD Trên SA BC lấy điểm , M N sao cho: , 3

4

SA  BC  Qua N kẻ NP song song với CA ( P thuộc AB ) Chứng minh rằng MP // SB

Lời giải

4

4

AB  AS 

Vậy MP/ /SB

Câu 5 Cho hình chóp S ABCD , có đáy là hình bình hành Gọi M N P Q là các điểm lần lượt trên , , , BC,

,

SC SD AD sao cho , MN//BS, NP//CD MQ //, CD

a) Chứng minh: PQ // SA

b) Gọi K là giao điểm của MN và PQ Chứng minh SK // AD // BC

Lời giải

a) Chứng minh: PQ // SA

P

N M

S

A

B

C

K

Q

M

S

Xét tam giác SCD Ta có: NP/ /CD NP CN 1 

Tương tự: MN/ /SB CN CM 2 

Tương tự: MQ/ /CD CM DQ 3 

Từ      1 , 2 , 3 suy ra DP DQ

DS  DA

Vậy: PQ/ /SA

b) Chứng minh SK // AD // BC

 

/ /



















giao tuyến là đường thẳng St qua S song song BC và AD

Mà KSBC  SADKStSK/ /AD/ /BC

Câu 6 Cho hình chóp S ABCD có đáy là tứ giác lồi Gọi M N là trọng tâm tam giác , SAB và SAD E

là trung điểm CB

a) Chứng minh rằng MN // BD

b) Gọi ,L H là giao điểm của MNE với SD và SB Chứng minh rằng LH // BD

Lời giải

a) Gọi Q là trung điểm SA

3

QD  QB  ( tính chất của trọng tâm tam giác)

Vậy MN/ /BD

H

P L

F

K

E

N

Q

M S

A

D

C B

b) Dựng EK/ /MNMNE  MNKE

Tìm LMNESD, SBSAD, gọi FADKE MNKE,   SADMP

Ta có: MNMNE;BDSBD và MN/ /BD mà MNE  SBDLHLH/ /BD/ /MN

Câu 7 Cho hình chóp S ABC , ISA sao cho IA2IS M N, là trung điểm SB , SC H là điểm đối

xứng với I qua M, K là điểm đối xứng với I qua N

a) Chứng minh HK/ /BC

b) Chứng minh BH/ /SA

Lời giải

a) *) IHK có MN là đường trung bìnhMN/ /BC,  1

*) SBC có MN là đường trung bìnhMN BC// (2)

*) Từ (1) và (2) HK/ /BC(đpcm)

b) Tứ giác SIBH có hai đường chéo SB IH cắt nhau tại M là trung điểm của mỗi đường, SIBH

là hình bình hành SI/ /BHSA/ /BH(đpcm)

Câu 8 Tứ diện ABCD M N P Q R S là trung điểm AB , , , , , , CD,BC , AD , AC , BD Chứng minh

, ,

MN PQ RS đồng quy tại 1

2mỗi đường

Lời giải

I S

R

Q

M

A

B

C

D

*) ABC : MP là đường trung bìnhMP AC// , =1

2

MN AC  1

*) ACD : NQ là đường trung bình NQ AC// , =1

2

NQ AC  2

*) Từ (1) và (2) MP//NQMPNQ là hình bình hành

,

MN PQ

 cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (3)

*) ABC : PR là đường trung bìnhPR AB// , 1

2

PR AB  4

*) ABD : QS là đường trung bìnhQS AB// , =1

2

QS AB  5

*) Từ (4) và (5) PR//QSPRQS là hình bình hành

,

RS PQ

 cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (6)

Từ (5) và (6) suy ra MN PQ RS đồng quy tại , , 1

2mỗi đường

DẠNG 2 TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG

Có 2 phương pháp tìm giao tuyến  P và  Q

+ Tìm 2 điểm chung

+ Tìm bằng định lý giao tuyến

   

   

,











Bài toán tổng quát: Dựng  P qua M và / / , a b

+ Qua M dựng a/ /a <Đúng + Đủ>

+ Qua M dựng b/ /b <Đúng + Đủ>

  P a b , 

Q P

c

a

b M

a'

b a

M

Bài tập tự luận

Câu 9 Chóp SABCD , đáy ABCD là hình bình hành Tìm giao tuyến của:

a) SAB và SCD

b) SAD và SBC

Lời giải

a) SSAB S, SCD và AB//CD suy ra SAB  SCDd //AB //CD

b) SSAD S, SCB và AD//BC suy ra SAD  SCBd //AD//BC'

Câu 10 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành Điểm M thuộc cạnh SA , điểm E và F lần

lượt là trung điểm của AB và BC

1) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng SAB và SCD

2) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng MBC và  SAD 

3) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng MEF và  SAC 

Lời giải

S

A

D

E

F

M

t

1) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng SAB và SCD

Ta có:

//

AB CD









   với Sx AB CD// //

2) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng MBC và  SAD 

A

D

B

C

Lại có :  

 









Ta có :

//

BC AD









3) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng MEF và  SAC 

 









Xét tam giác ABC có: EF là đường trung bình của tam giác EF AC//

Do

//

EF AC









   với EF AC Mt// //

Câu 11 Cho hình chóp S ABCD Mặt đáy là hình thang có cạnh đáy lớn AD , AB cắt CD tại K , điểm M

thuộc cạnh SD

1) Xác định giao tuyến  d của SAD và  SBC Tìm giao điểm  N của KM và SBC  2) Chứng minh rằng: AM BN, , d đồng quy

Lời giải

S

A

D

M

N

K

1) Xác định giao tuyến  d của SAD và SBC Tìm giao điểm N của KM và SBC

Ta có:

//

AD BC









   với Sx AD BC// //

Trong SCD gọi  NKMSC





 



2) Chứng minh rằng: AM BN, , d đồng quy

Ta có:   d  SAD  SBC

Trong AMK gọi  O là giao điểm của AM và BN

 



 



Vậy ba đường thẳng  d ; BN AM; đồng quy tại O

DẠNG 3 THIẾT DIỆN CHỨA ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI ĐƯỜNG THẲNG KHÁC

Thiết diện của mặt phẳng  P với chóp

+ Thiết diện là một đa giác phẳng khép kín Tìm thiết diện bằng cách tìm giao tuyến với mặt bên, mặt đáy

Bài tập tự luận

Câu 12 Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tâm O Mặt bên SAB là tam giác

đều Góc SAD 90o Gọi Dx là đường thẳng qua D và song song với SC

a) Tìm giao điểm IDxSAB.CMR AI/ /SB

b) Xác thiết diện của IAC với hình chóp Tính diện tích thiết diện

Lời giải

a)DxSDC, SSAB  SDC  

 

/ /

/ / / /

AB DC

DC SDC







P

A

B

C

D

S

D' A'

B'

C'

 

IDxSyI  SAB Dx

Rõ ràng SI/ /AB/ /DC và SI ABDCABSIlà hình bình hành nênAI / /SB

b) EICSD nên thiết diện của IAC với hình chóp là AEC 

Câu 13 Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD là hình bình hành Gọi I , J , lần lượt là trọng tâm của SAB

, SAD M là trung điểm của CD Xác định thiết diện IJM với hình chóp S ABCD

Lời giải

Vì I , J , lần lượt là trọng tâm của SAB , SAD nên IJ/ /BD

/ /

, / / / /

I J BD







Gọi F và P là giao điểm của KM với AB và AD IFIFIJM  SAB và

JP M  SAD , N IFJP thiết diện là NQKMH

Câu 14 Chóp S ABCD có SA2a , ABCD là hình vuông cạnh ABa , SACD, MAD để AM x

0xa Mặt phẳng  P qua M và / /SA CD, Dựng  P Tìm thiệt diện Tính S TD theo

,

a x

Lời giải

*) Dựng  P

+) Qua M dựng MN/ /CD

+) Qua M dựng MQ/ /SA

  P QMN

*) Tìm thiết diện; Trái, phải, trước, sau, đáy

*) Ta có    







, / /







*) Thiết diện là tứ giác MNPQ

*) Tính S TD

Ta có MN/ /CD

CD SA









+) Tính QM : QM / /SA QM DM

a a x

a



+) Tính PQ : PQ/ /CD PQ SQ AM

a

    .2  2 2

TD

Câu 15 Chóp S ABC , SABC, SA3a, ABC đều, ABa M AB để AM x0xa  P

qua M và song song SA BC, Dựng  P Tìm thiết diện Tìm x để diện tích thiết diện lớn nhất

Lời giải

P

B N C D

A M Q S

Dựng  P :

- Qua M dựng MN BC//

- Qua M dựng MQ A//

  P MNQ

Tìm thiết diện:

- Ta có:





 thiết diện là tứ giác MNPQ

Tính diện tích thiết diện: SABCMN MQMNPQ là hình chữ nhật

 

 

3



TD

S MN MQx a x  x ax  x a

 

2 2 1 2

TD

a

     



Câu 16 Chóp S ABCD , SACD, SA2a ABCD là hình thang vuông ở A và D

2

AB

ADDC a

, MAD để AM x, 0 xa  P qua M và song song SA CD, Dựng  P Tìm thiết diện Tính diện tích thiết diện S TD

Lời giải

  P  QMN thiết diện là tứ giác MNPQ

Tính MN:

-

  2



-

2 2 2

       

  2

a a x



CD SD AD   a 

  2

2

TD

PQ MN MQ

Câu 17 Chóp S ABCD , SABD, SAa, ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O MAO để

2 0

2

a

AM x x 

 P qua M và song song với SA, BD Dựng  P Tìm thiết diện Tính

TD

S

Lời giải

Qua M dựng EF song song BD

Qua M dựng MN song song SA

Qua E dựng EG song song SA

Qua F dựng FH song song SA

Vậy thiết diện là EFHNG

Vì SABDMNHF MNGE, là hình thang vuông bằng nhau

3a

4

MN

2, D

2

SA BA AF



DT

a

S  MNHF FM x x 

 

Câu 18 Chóp S ABCD , SA  , ABCD là hình vuông cạnh a AD a SB MAB để AM x0xa

 P qua M và song song với SB AD, Dựng  P Tìm thiết diện Tính S TD

Lời giải

Qua M dựng MN song song SB

Qua M dựng MQ song song AD

Vậy thiết diện là MNPQ

Vì ADSBMNPQlà hình thang vuông

SA  AD  SA  

TD

x

S  MN NP MQ  ax

Câu 19 Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tâm O Mặt bên SAB là tam giác đều

3

SCSDa Gọi H , K lần lượt là trung điểm của SA và SB Gọi M là trung điểm DA

a) Chứng minh rằng HKMN là hình thang cân

b) Đặt AM x0xa tính diện tích HKMN theo a và x Tìm x để diện tích này nhỏ nhất

Lời giải

a) Tìm N BCHKM,

   

M HKM  ABCD

/ /

/ / ;







Vì MN/ /HK nên HKMN là hình thang

     hay HKMN là hình thang cân

b) Dựng đường cao AO của là hình thang HKMN

Diện tích hình thang  

2

KH MN HO

2 2

AD a

4

a

HO MH MO MO

Tính HM

120

AD SA

2

HO MH MO  x 

2

2

xa a

x   min khi x 0 hay M  A

Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

Hoặc Facebook: Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong

Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TOÁN)  https://www.facebook.com/groups/703546230477890/

Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương

 https://www.youtube.com/channel/UCQ4u2J5gIEI1iRUbT3nwJfA?view_as=subscriber

Tải nhiều tài liệu hơn tại https://www.nbv.edu.vn/