Bài 1 đại cương về đường thẳng mp p1 đáp án

Trang 1 I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1 Mặt phẳng Mặt phẳng Kí hiệu  mp  ,  mp  ,  mp P Cách biểu diễn là hình bình hành Điểm thuộc mặt phẳng A thuộc mặt phẳng   , kí hiệu  A  Không thuộc kí hi.

I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1 Mặt phẳng

Mặt phẳng: Kí hiệu mp   , mp   , mp P …

Cách biểu diễn: là hình bình hành

Điểm thuộc mặt phẳng: A thuộc mặt phẳng    , kí hiệu A  

Không thuộc kí hiệu A  

2 Biểu diễn hình không gian

Quy tắc biểu diễn:

Đường thẳng biểu diễn là đường thẳng

Đoạn thẳng biểu diễn là đoạn thẳng

Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song

Nét thấy là nét liền

Nét khuất là nét đứt

3 Các tính chất thừa nhận

Tính chất 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt

Tính chất 2: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng

Tính chất 3: Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của

đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó

Tính chất 4: Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng

Tính chất 5: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung

khác nữa

Bài 1 ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG - MẶT PHẲNG

• Chương 2 QUAN HỆ SONG SONG

• |FanPage: Nguyễn Bảo Vương

A



Từ tính chất này suy ra: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng sẽ có một đường thẳng chung đi qua điểm chung ấy Đường thẳng chung là duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó Đường thẳng chung đó được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng

Tính chất 6: Trên mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng

4 Cách xác định một mặt phẳng trong không gian

Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng

Qua một đường thẳng và một điểm nằm ngoài đường thẳng đó

Qua hai đường thẳng cắt nhau

5 Hình chóp và tứ diện

Hình chóp

Cho đa giác A A A1 2 3 A và một điểm n S nằm ngoài mặt

phẳng đa giác Nối S với các đỉnh của đa giác ta được

hình chóp S A A A 1 2 3 A n

Đa giác A A A1 2 3 A gọi là đáy; n S là đỉnh; SA , 1 SA , 2 SA … 3

gọi là các cạnh bên

Có hình chóp tam giác, tứ giác,… là hình chóp có đáy là

tam giác, tứ giác

Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều, các cạnh

bên bằng nhau

Hình tứ diện

Hình tứ diện là hình tạo bởi 4 điểm A , B , C , D không

đồng phẳng Hình tứ diện có 4 mặt, mỗi mặt là một tam

giác

Tứ diện là hình chóp tam giác

Tứ diện đều là tứ diện có các cạnh bằng nhau

PHẦN 1 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

DẠNG 1: TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG

Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng? Ta tìm hai điểm chung thuộc cả hai mặt phẳng Nối hai điểm chung đó được giao tuyến cần tìm

Về dạng này điểm chung thứ nhất thường dễ tìm Điểm chung còn lại các bạn phải tìm hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng, đồng thời chúng lại thuộc mặt phẳng thứ ba và chúng không song song Giao điểm của hai đường thẳng đó là điểm chung thứ hai

Các bạn phải nhớ kỹ: Giao tuyến là đường thẳng chung của hai mặt phẳng, có nghĩa là giao tuyến

là đường thẳng vừa thuộc mặt phẳng này vừa thuộc mặt phẳng kia

Dạng toán tìm giao tuyến, thường giao tuyến của những câu hỏi đầu hay được sử dụng để tìm giao điểm để làm bài tập ở những câu sau Ta xét cụ thể những bài toán sau:

Bài tập tự luận

Câu 1 Cho hình chóp S ABCD, đáy ABCDcó ABcắt DC tại E , AC cắt BD tại F

a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng (SAB)và SCD), (SAC) và (SBD)

b) Tìm giao tuyến của ( EF)S với các mặt phẳng (SAD), (SBC)

Câu 2 Cho hình chóp S ABCD, có đáy ABCDlà hình bình hành tâm O M N P, , lần lượt là trung điểm

của BC C, D,SO.Tìm giao tuyến của (MNP)với các mặt phẳng SAB,SAD, SBC và

Làm tương tự với các mặt còn lại

Câu 3 Cho tứ diện ABCD Gọi I J, lần lượt là trung điểm của AD,BC

a) Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (IBC), ( AD)J

b) M là một điểm trên cạnh AB , N là một điểm trên cạnh AC Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

Câu 4 Cho tứ diện ABC D M là một điểm bên trong ABD, N là điểm bên trong của ACD Tìm

giao tuyến của các cặp mặt phẳng

b) Tương tự câu a) có DMN  ABCGH với GDMAB ; H DNAC

Câu 5 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành Gọi M N, lần lượt là trung điểm của

a) Trong mặt phẳng (ABCD) gọi O là giao điểm của AC B, D

Do S O, đều thuộc 2 mặt phẳng (SAC), (SBD) SO(SAC)(SBD)

I J là 2 điểm chung của 2 mặ phẳng (MNP), (ABCD) IJ(MNP)(ABCD)

Câu 6 Cho hình chóp S ABCD, có đáy ABC là hình bình hành D I J K, , lần lượt là trung điểm của

, D,SA

BC C Tìm giao tuyến của

a) (IJ )K và (SAB) b)(IJK)và (SAD)

c) (IJ )K và (SCB) d) (IJ )K và (SDB)

Lời giải

a) Trong mp (ABCD) gọi E ABIJ,F ADIJ Khi đó 2 điểm K E, là 2 điểm chung của

mp (IJ ), (K SAB) nên KE(SAB)(IJ )K

b) Tương tự KF(SAD)(IJ )K

c) ) Trong mp (SAB) gọi QKESB Khi đó 2 điểm Q I, là 2 điểm chung của mp

(IJ ), (K SCB) nên QI(SCB)(IJ )K

d) ) Trong mp (SAD) gọi PSDKF Khi đó 2 điểm P Q, là 2 điểm chung của mp

(IJ ), (K SBD) nên PQ(SBD)(IJ )K

Câu 7 Cho hình chóp S ABCD, có đáy ABC laf hình thang có đáy lớn D AD Gọi Ilà trung điểm của

SA , J là điểm nằm trên ADsao cho 1

a) Trong mp (SAB) gọi EKIAB Khi đó 2 điểm J E, là 2 điểm chung của mp

(IJ ), (K ABCD) nên JE(ABCD)(IJ )K

b) Trong mp (ABCD) gọi EBDIE Khi đó 2 điểm K P, là 2 điểm chung của mp

(IJ ), (K SBD) nên KP(SBD)(IJ )K

c) Gọi F BCJE Khi đó 2 điểm K F, là 2 điểm chung của mp (IJ ), (K SBD) nên

( ) (IJ )

KF  SBC  K

P F

K

J I

B S

C E

Câu 8 Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song, điểm M

thuộc cạnh SA Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng:

d) Trong ABCD gọi EABCD, ta có SESAB  SCD

Câu 9 Cho bốn điểm A B C D, , , không cùng thuộc một mặt phẳng Trên các đoạn thẳng AB AC BD, , lần

lượt lấy các điểm M N P, , sao cho MN không song song với BC Tìm giao tuyến của BCD

 là điểm chung của BCD và MNP

Trong mp ABC, gọi EMNBC

O A

E

D S

F

B

C M

C B

E N

D P M

A

 EBCmà BCBCDEBCD

 EMNmà MNMNPEMNP

E

 là điểm chung của BCD và MNP

Vậy PE là giao tuyến của BCD và MNP

Câu 10 Cho tứ diện ABCD, M là một điểm bên trong tam giác ABD , N là một điểm bên trong tam

giác ACD Tìm giao tuyến của các cặp mp sau

a) AMN và BCD

b) DMN và ABC

Lời giải

a) Tìm giao tuyến của AMN và BCD

Trong ABD, gọi E AMBD

 EAM mà AMAMNEAMN

 EBDmà BDBCDEBCD

E

 là điểm chung của AMN và BCD

Trong ACD, gọi FANCD

 FANmà ANAMNFAMN

 FCDmà CDBCDFBCD

F

 là điểm chung của AMN và BCD

Vậy EF là giao tuyến của AMN và BCD

b) Tìm giao tuyến của DMN và ABC

Trong ABD, gọi PDMAB

 PDMmà DMDMNPDMN

 PABmà ABABCPABC

P

 là điểm chung của DMN và ABC

Trong ACD, gọi QDNAC

A

 QACmà ACABCQABC

Q

 là điểm chung của DMN và ABC

Vậy PQ là giao tuyến của DMN và ABC

Câu 11 Cho tứ diện ABCD, O là một điểm thuộc miền trong tam giác BCD , M là điểm trên đoạn AO

a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng MCD với các mặt phẳng ABC , ABD

b) Gọi ,I J là các điểm tương ứng trên các cạnh BC và BD sao cho IJ không song song với

CD Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng IJM và ACD

Lại có CCDM  ABCPCCDM  ABC

Tương tự, trong BCD gọi QCOBD, trong ACQgọi RCMAQ

Vậy FGIJM  ACD

DẠNG 2: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VỚI MẶT PHẲNG

Muốn tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng ( ) , có hai cách làm như sau:

F N

Q P

E K

G

J

R

d

Cách 1: Những bài đơn giản, có sẵn một mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng d và một đường thẳng

a thuộc mặt phẳng ( )

Giao điểm của hai đường thẳng không song song d và a chính là giao điểm của d và mặt phẳng

( )

Cách 2: Tìm một mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng d , sao cho dễ dàng tìm giao tuyến với mặt

phẳng ( ) Giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng ( ) chính là giao điểm của đường thẳng

d và giao tuyến a vừa tìm

Bài tập tự luận

Câu 1 Cho tứ diện ABCD Trên AC và AD lần lượt lấy các điểm M , N sao cho MN khiing song

song với CD Gọi O là một điểm bên trong BCD

a) Tìm giao tuyến của OMN và BCD

b) Tìm giao điểm của BC và BD với mặt phẳng OMN

Lời giải

a) Theo hình vẽ ta có

- Trong mpACD: kẻ MN giao với CD tại I

- Trong mpBCD: kẻ IO giao BC và BD lần lượt tại E và F

- Từ đó thì giao tuyến của OMN và BCD là đường EF

b) Theo a) thì giao của BC và BD với OMN lần lượt là E và F

Câu 2 Cho hình chóp S ABCD M là một điểm trên cạnh SC

a) Tìm giao điểm của AM và SBD

b) Gọi N là một điểm trên cạnh BC Tìm giao điểm của SD và AMN

Lời giải

a) Theo hình vẽ ta có:

+) Trong mpABCD: AC giao BD tại O

+) Trong mpSAC: SO giao MA tại J

Từ đó J chính là giao điểm của AM và SBD

b) Giả sử AN giao CD tại K

Trong mpSCD: KM giao SD tại T

Từ đó T chính là giao điểm của SD và AMN

Nếu AN và CD song song với nhau, ta chỉ việc kẻ MT song song với CD (TSD) từ đó cũng suy ra được T là điểm cần tìm

Câu 3 Cho tứ diện ABCD Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AC và BC K là một điểm trên

cạnh BD và không trùng với trung điểm của BD Tìm giao điểm của CD và AD với mặt phẳng

MNK

Lời giải

Trong mpBCD: NK giao CD tại J J là giao điểm của CD và MNK

Trong mpACD: MJ giao AD tại T T là giao điểm của AD và MNK

Câu 4 Cho tứ diện ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và AD O là một điểm bên

trong BCD Tìm giao điểm của:

a) Trong BCD kẻ BO giao CD tại I

Trong ACD kẻ MN giao AI tại J J là giao điểm của MN và ABO

b) Trong ABI: AO giao BJ tại K K là giao điểm của AO và BMN

Câu 5 Cho hình chóp S ABCD , có đáy là hình thang, cạnh đáy lớn AB Gọi , ,I J K là ba điểm lần lượt

trên SA AB BC , ,

a) Tìm giao điểm của IK và SBD

b) Tìm giao điểm của mặt phẳng IJK với SD và SC

Lời giải

a) Trong ABCD: BD giao AK tại M

Trong SAK: SM giao IK tại T T là giao điểm của IK và SBD

b) Lấy R là trung điểm của SC

Dễ dàng chứng minh được RK và IJ song song với nhau (song song và bằng

2

BD

) nên

R IKJ R là giao điểm của SC với mpIJK

Trong ABCD: KJ cắt AD tại P

Trong SAD: IP cắt SD tại Q Q là giao điểm của SD với mpIJK

Câu 6 Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD có AD và BC không song song với nhau Lấy I thuộc SA

sao cho SA3IA, J thuộc SC và M là trung điểm của SB

a) Tìm giao tuyến của SAD và SBC

K J

T M

b) Tìm giao điểm E của AB và IJM

c) Tìm giao điểm F của BC và IJM

d) Tìm giao điểm N của SD và IJM

e) Gọi H là giao điểm của MN và BD Chứng minh rằng H E F thẳng hàng , ,

Lời giải

a) O là giao điểm của và BC nên SO là giao tuyến của SAD và SBC

b) Trong SAB kẻ IM giao với AB tại E nên E là giao điểm của AB và IJM

c) Trong SBC: MJ giao với BC tại F nên F là giao điểm của BC và IJM

d) Trong ABCD: EF giao với AD tại P

Trong SAD: IP giao với SD tại N nên N là giao điểm của SD và IJM

e) H là giao điểm của MN và BD Dễ thấy 3 điểm H E F đồng thời nằm trên hai mặt phẳng , ,

ABCD và IJM nên 3 điểm này thuộc giao tuyến của 2 mặt phẳng trên hay 3 điểm đó thẳng hàng

DẠNG 3 TÌM THIẾT DIỆN

I Phương pháp tìm thiết diện

Thiết diện của hình ( H ) và hình ( Q ) là phần chung nhau giữa2 hình đó

Thiết diện của mặt phẳng ( α ) với hình chóp (H ) là phần chung giữa mặt phẳng (α ) và hình chóp (H )

Đặc điểm

- Thiết diện là đa giác kín

- Các cạnh của thiết diện nằm trên các mặt của hình chóp

- Cạnh của thiết diện được hình thành từ những đoạn giao tuyến của mặt phẳng cắt với các mặt của hình chóp

- Trong giới hạn hình chóp thì Thiết diện có thể cắt hoặc không cắt tất cả các mặt của hình chóp

Phương pháp tìm thiết diện

S

D

C B

A

- Từ giao tuyến tìm được ta tiến hành tìm giao tuyến và các đoạn giao tuyến còn lại cho đến khi được 1 hình kín

Bài tập tự luận

Câu 1 Cho hình chóp S ABCD , đáy là hình bình hành tâm O Gọi M N I, , là ba điểm trênAD CD SO, ,

Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳngMNI 

Trong SAB gọi RKQSA

Và trong SBC gọi PQHSC Như vậy thiệt diện cần tìm là MNPQR

Câu 2 Cho hình chóp S ABC,M là một điểm trên cạnh SC , N và P lần lượt là trung điểm củaAB

vàAD Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng

a) Tìm giao điểm của MN và SAC

b) Tìm giao điểm của SC vớiAMN 

c) Tìm thiết diện của hình chóp S ABCD với mặt phẳng

c) Gọi KM SBF , và KNSDE Vậy thiết diện là tứ giác AFKE

Câu 4 Cho tứ diện ABCD Gọi H K, lần lượt là trung điểm của các cạnh AC BC, Trong mặt phẳng

CDB lấy điểm  M sao cho hai đường thẳng KM và CD cắt nhau Hãy tìm thiết diện của hình

chóp với mặt phẳng HKM 

Lời giải

+) Nếu M nằm giữa C và D thiết diện chính là tam giác KHM

+) NênM nằm ngoài đoạn thẳng CD Gọi FHMAD và

EKMBD khi đó thiết diện là tứ giác HFEK

F

K H

C

D B

Câu 5 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O , gọi M N P, , theo thứ tự là

trung điểm của các cạnh SB SD OC, ,

a) Tìm giao tuyến của MNP với  SAC 

b) Tìm giao điểm của SA với MNP

c) Tìm thiết diện của MNP với hình chóp

Lời giải

a) Gọi ESOMN Dựng PE cắt SA tại K Khi đó giao tuyến của MNP với SAC là đường thẳng PE

b)K là giao điểm của SA và SAC 

c) DoMN / /BD nên giao tuyến của MNP với đáy ABCD là đường thẳng qua  P song song với BD cắt các cạnh BC và CD lần lượt tại F và I Vậy MKNIF là thiết diện của khối chóp

Câu 6 Cho chóp S ABCD , M thuộc SC N P; , trung điểm AB AD,

a) Tìm giao điểm của CD vàMNP

b) Tìm giao điểm của SD và MNP 

c) Tìm giao tuyến của SBC và  MNP 

d) Tìm thiết diện của chóp và MNP 

Lời giải

I

F G

a) Gọi NPCDK khi đó CDMNPK

b) Gọi MKSDQ khi đó QSDMNP

c) Gọi PNBC  và E I SBMJ, khi đó giao tuyến củaSBC ) và MNP là MJ 

d) Thiết diện là ngũ giác MENPQ

Câu 7 Cho tứ diện đều ABCD , cạnh bằng a Kéo dài BC một đoạn CEa Kéo dài BD một đoạn

DF a Gọi M là trung điểm AB

a) Tìm thiết diện của tứ diện với mặt phẳng MEF 

b) Tính diện tích của thiết diện

Lời giải

a) Theo hình vẽ ta có:

Trong mp ABC : ME giao AC tại I

Trong mp ABD : MF giao AD tại J

Từ đó thiết diện của tứ diện với mp MEF là tam giác MIJ

b) Theo cách dựng thì I và J lần lượt là trọng tâm tam giác ABE và ABF

a A

 

Do AI AJ nên AMI   AMJ MI MJ

Câu 8 Cho hình chóp S ABCD , có đáy là hình bình hành ABCD M là trung điểm SB và G là trọng

tâm tam giác SAD

a) Tìm giao điểm I của MG với ABCD , chứng tỏ  I thuộc mặt phẳng CMG 

b) Chứng tỏ (CMG) đi qua trung điểm của SA , tìm thiết diện của hình chóp với CMG 

c) Tìm thiết diện của hình chóp với AMG 

Lời giải

a) Gọi J là trung điểm AD Khi đó IMGBJ suy ra G là trọng tâm tam giác SBI nên J là

trung điểm của BI Khi đó MG BJ CD, , đồng quy tại điểm I Do vậy I thuộc mặt phẳng

CMG

b) Ta có CMG  CIM Dựng DG cắt SA tại E Mặt khác do G là trọng tâm SAD  E là

trung điểm của SA

Như vậy tứ giác CMED là thiết diện của (CMG) với khối chóp

c) Gọi OBJAC K, SOMI H, A GSD

Dựng AK cắt SC tại F như vậy tứ giác AMFHlà thiết diện của khối chóp với mặt phẳng AMG

Câu 9 Cho hình chóp S ABCD, có đáy là hình thang ABCD AB, là đáy lớn I J, lần lượt là trung điểm

, ;

SA SB M thuộc SD

a) Tìm giao tuyến của SAD và SBC  

b) Tìm giao điểm K của IM và SBC 

c) Tìm giao điểm N của SC và IJM 

d) Tìm thiết diện của hình chóp với IJM

Lời giải