Bài 1 đại cương về đường thẳng mp p1 câu hỏi

Trang 1 I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1 Mặt phẳng Mặt phẳng Kí hiệu  mp  ,  mp  ,  mp P Cách biểu diễn là hình bình hành Điểm thuộc mặt phẳng A thuộc mặt phẳng   , kí hiệu  A  Không thuộc kí hi.

I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1 Mặt phẳng

Mặt phẳng: Kí hiệu mp   , mp   , mp P …

Cách biểu diễn: là hình bình hành

Điểm thuộc mặt phẳng: A thuộc mặt phẳng    , kí hiệu A  

Không thuộc kí hiệu A  

2 Biểu diễn hình không gian

Quy tắc biểu diễn:

Đường thẳng biểu diễn là đường thẳng

Đoạn thẳng biểu diễn là đoạn thẳng

Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song

Nét thấy là nét liền

Nét khuất là nét đứt

3 Các tính chất thừa nhận

Tính chất 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt

Tính chất 2: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng

Tính chất 3: Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của

đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó

Tính chất 4: Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng

Tính chất 5: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung

khác nữa

Bài 1 ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG - MẶT PHẲNG

• Chương 2 QUAN HỆ SONG SONG

• |FanPage: Nguyễn Bảo Vương

A



Trang 2

Từ tính chất này suy ra: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng sẽ có một đường thẳng chung đi qua điểm chung ấy Đường thẳng chung là duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó Đường thẳng chung đó được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng

Tính chất 6: Trên mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng

4 Cách xác định một mặt phẳng trong không gian

Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng

Qua một đường thẳng và một điểm nằm ngoài đường thẳng đó

Qua hai đường thẳng cắt nhau

5 Hình chóp và tứ diện

Hình chóp

Cho đa giác A A A1 2 3 A và một điểm n S nằm ngoài mặt

phẳng đa giác Nối S với các đỉnh của đa giác ta được

hình chóp S A A A 1 2 3 A n

Đa giác A A A1 2 3 A gọi là đáy; n S là đỉnh; SA , 1 SA , 2 SA … 3

gọi là các cạnh bên

Có hình chóp tam giác, tứ giác,… là hình chóp có đáy là

tam giác, tứ giác

Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều, các cạnh

bên bằng nhau

Hình tứ diện

Hình tứ diện là hình tạo bởi 4 điểm A , B , C , D không

đồng phẳng Hình tứ diện có 4 mặt, mỗi mặt là một tam

giác

Tứ diện là hình chóp tam giác

Tứ diện đều là tứ diện có các cạnh bằng nhau

O

a

P

b

A

a

P

A

B

C

P

1

A

2

A

3

A

4

A

5

A

6

A

S

PHẦN 1 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

DẠNG 1: TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG

Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng? Ta tìm hai điểm chung thuộc cả hai mặt phẳng Nối hai điểm chung đó được giao tuyến cần tìm

Về dạng này điểm chung thứ nhất thường dễ tìm Điểm chung còn lại các bạn phải tìm hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng, đồng thời chúng lại thuộc mặt phẳng thứ ba và chúng không song song Giao điểm của hai đường thẳng đó là điểm chung thứ hai

Các bạn phải nhớ kỹ: Giao tuyến là đường thẳng chung của hai mặt phẳng, có nghĩa là giao tuyến

là đường thẳng vừa thuộc mặt phẳng này vừa thuộc mặt phẳng kia

Dạng toán tìm giao tuyến, thường giao tuyến của những câu hỏi đầu hay được sử dụng để tìm giao điểm để làm bài tập ở những câu sau Ta xét cụ thể những bài toán sau:

Bài tập tự luận

Câu 1 Cho hình chóp S ABCD, đáy ABCDcó ABcắt DC tại E , AC cắt BD tại F

a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng (SAB)và SCD), (SAC) và (SBD)

b) Tìm giao tuyến của ( EF)S với các mặt phẳng (SAD), (SBC)

Câu 2 Cho hình chóp S ABCD, có đáy ABCDlà hình bình hành tâm O M N P, , lần lượt là trung điểm

của BC C, D,SO.Tìm giao tuyến của (MNP)với các mặt phẳng SAB,SAD, SBC và

SCD

Câu 3 Cho tứ diện ABCD Gọi I J, lần lượt là trung điểm của AD,BC

a) Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (IBC), ( AD)J

b) M là một điểm trên cạnh AB , N là một điểm trên cạnh AC Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

(IBC), (DMN)

Câu 4 Cho tứ diện ABC D M là một điểm bên trong ABD, N là điểm bên trong của ACD Tìm

giao tuyến của các cặp mặt phẳng

a) AMN và  BCD b)  DMN và  ABC 

Câu 5 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành Gọi M N, lần lượt là trung điểm của

, D

SB S .Lấy điểm P trên cạnh SC sao cho PCPS Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng

a) (SAD) và (SBD) b)(MNP) và (SBD)

c) (MNP) và (SAC) d) (MNP) và (SAB)

Trang 4

e) (SAD) và (MNP) f) MNP) và (ABCD)

Câu 6 Cho hình chóp S ABCD, có đáy ABCDlà hình bình hành I J K, , lần lượt là trung điểm của

, D,SA

BC C Tìm giao tuyến của

a) (IJ )K và (SAB) b)(IJK)và (SAD)

c) (IJ )K và (SCB) d) (IJ )K và (SDB)

Câu 7 Cho hình chóp S ABCD, có đáy ABCD laf hình thang có đáy lớn AD Gọi Ilà trung điểm của

SA , J là điểm nằm trên ADsao cho D 1 D

4

J  A , KSB SK: 2BK Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:

a)(IJ )K và (ABCD)

b) (IJ )K và (SBD)

c) (IJ )K và (SCB)

Câu 8 Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song, điểm M

thuộc cạnh SA Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng:

a) SAC và SBD b) SAC và MBD

c) MBC và SAD d) SAB và SCD

Câu 9 Cho bốn điểm A B C D, , , không cùng thuộc một mặt phẳng Trên các đoạn thẳng AB AC BD, , lần

lượt lấy các điểm M N P, , sao cho MN không song song với BC Tìm giao tuyến của BCD

và MNP

Câu 10 Cho tứ diện ABCD, M là một điểm bên trong tam giác ABD , N là một điểm bên trong tam

giác ACD Tìm giao tuyến của các cặp mp sau

a) AMN và BCD

b) DMN và ABC

Câu 11 Cho tứ diện ABCD, O là một điểm thuộc miền trong tam giác BCD , M là điểm trên đoạn AO

a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng MCD với các mặt phẳng ABC , ABD

b) Gọi ,I J là các điểm tương ứng trên các cạnh BC và BD sao cho IJ không song song với

CD Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng IJM và ACD

DẠNG 2: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VỚI MẶT PHẲNG

Muốn tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng ( ) , có hai cách làm như sau: Cách 1: Những bài đơn giản, có sẵn một mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng d và một đường thẳng

a thuộc mặt phẳng ( )

Giao điểm của hai đường thẳng không song song d và a chính là giao điểm của d và mặt phẳng

( )

d

Cách 2: Tìm một mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng d , sao cho dễ dàng tìm giao tuyến với mặt

phẳng ( ) Giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng ( ) chính là giao điểm của đường thẳng

d và giao tuyến a vừa tìm

Bài tập tự luận

Câu 1 Cho tứ diện ABCD Trên AC và AD lần lượt lấy các điểm M, N sao cho MN khiing song

song với CD Gọi O là một điểm bên trong BCD

a) Tìm giao tuyến của OMN và BCD

b) Tìm giao điểm của BC và BD với mặt phẳng OMN

Câu 2 Cho hình chóp S ABCD M là một điểm trên cạnh SC

a) Tìm giao điểm của AM và SBD

b) Gọi N là một điểm trên cạnh BC Tìm giao điểm của SD và AMN

Câu 3 Cho tứ diện ABCD Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AC và BC K là một điểm trên

cạnh BD và không trùng với trung điểm của BD Tìm giao điểm của CD và AD với mặt phẳng

MNK

Câu 4 Cho tứ diện ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và AD O là một điểm bên

trong BCD Tìm giao điểm của:

a) MN và ABO

b) AO và BMN

Câu 5 Cho hình chóp S ABCD , có đáy là hình thang, cạnh đáy lớn AB Gọi , ,I J K là ba điểm lần lượt

trên SA AB BC , ,

a) Tìm giao điểm của IK và SBD

b) Tìm giao điểm của mặt phẳng IJK với SD và SC

Câu 6 Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD có AD và BC không song song với nhau Lấy I thuộc SA

sao cho SA3IA, J thuộc SC và M là trung điểm của SB

a) Tìm giao tuyến của SAD và SBC

b) Tìm giao điểm E của AB và IJM

c) Tìm giao điểm F của BC và IJM

d) Tìm giao điểm N của SD và IJM

e) Gọi H là giao điểm của MN và BD Chứng minh rằng H E F thẳng hàng , ,

DẠNG 3 TÌM THIẾT DIỆN

I Phương pháp tìm thiết diện

Thiết diện của hình ( H ) và hình ( Q ) là phần chung nhau giữa2 hình đó

Thiết diện của mặt phẳng ( α ) với hình chóp (H ) là phần chung giữa mặt phẳng (α ) và hình chóp (H )

N M

S

D

C B

A

Trang 6

Đặc điểm

- Thiết diện là đa giác kín

- Các cạnh của thiết diện nằm trên các mặt của hình chóp

- Cạnh của thiết diện được hình thành từ những đoạn giao tuyến của mặt phẳng cắt với các mặt của hình chóp

- Trong giới hạn hình chóp thì Thiết diện có thể cắt hoặc không cắt tất cả các mặt của hình chóp

Phương pháp tìm thiết diện

- Xác định điểm chung có sắn

- Từ các điểm chung có sắn ta xác định giao tuyến của mặt phẳng với các mặt chưa điểm chung

đó

- Từ giao tuyến đó ta xác định đoạn giao tuyến bằng cách tìm giao điểm của giao tuyến với các cạnh của mặt phẳng đó

- Từ giao tuyến tìm được ta tiến hành tìm giao tuyến và các đoạn giao tuyến còn lại cho đến khi được 1 hình kín

Bài tập tự luận

Câu 1 Cho hình chóp S ABCD , đáy là hình bình hành tâm O Gọi M N I, , là ba điểm trênAD CD SO, ,

Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳngMNI 

Câu 2 Cho hình chóp S ABC , M là một điểm trên cạnh SC , N và P lần lượt là trung điểm củaAB

vàAD Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng

Câu 3 Cho hình chóp S ABCD Trong tam giác SBC , lấy một điểm M Trong tam giác SCD , lấy một

điểm N

a) Tìm giao điểm của MN và SAC 

b) Tìm giao điểm của SC vớiAMN 

c) Tìm thiết diện của hình chóp S ABCD với mặt phẳng

Câu 4 Cho tứ diện ABCD Gọi H K, lần lượt là trung điểm của các cạnh AC BC, Trong mặt phẳng

CDB lấy điểm  M sao cho hai đường thẳng KM và CD cắt nhau Hãy tìm thiết diện của hình

chóp với mặt phẳng HKM 

Câu 5 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O , gọi M N P, , theo thứ tự là

trung điểm của các cạnh SB SD OC, ,

a) Tìm giao tuyến của MNP với  SAC 

b) Tìm giao điểm của SA với MNP 

c) Tìm thiết diện của MNP với hình chóp 

Câu 6 Cho chóp S ABCD , M thuộc SC N P; , trung điểm AB AD,

a) Tìm giao điểm của CD vàMNP 

b) Tìm giao điểm của SD và MNP 

c) Tìm giao tuyến của SBC và  MNP 

d) Tìm thiết diện của chóp và MNP 

Câu 7 Cho tứ diện đều ABCD , cạnh bằng a Kéo dài BC một đoạn CEa Kéo dài BD một đoạn

DF a Gọi M là trung điểm AB

a) Tìm thiết diện của tứ diện với mặt phẳng MEF

b) Tính diện tích của thiết diện

Câu 8 Cho hình chóp S ABCD , có đáy là hình bình hành ABCD M là trung điểm SB và G là trọng

tâm tam giác SAD

a) Tìm giao điểm I của MG với ABCD , chứng tỏ  I thuộc mặt phẳng CMG 

b) Chứng tỏ (CMG) đi qua trung điểm của SA , tìm thiết diện của hình chóp với CMG

c) Tìm thiết diện của hình chóp với AMG

Câu 9 Cho hình chóp S ABCD, có đáy là hình thang ABCD AB, là đáy lớn I J, lần lượt là trung điểm

, ;

SA SB M thuộc SD

a) Tìm giao tuyến của SAD và SBC  

b) Tìm giao điểm K của IM và SBC 

c) Tìm giao điểm N của SC và IJM

d) Tìm thiết diện của hình chóp với IJM

Câu 10 Cho hình chóp S ABCD , có đáy là hình thang ABCD , AB là đáy lớn

Gọi I J K, , lần lượt là trung điểm AD BC SB, ,

a) Tìm giao tuyến của (SAB) và (SCD); (IJK) và (SCD)

b) Tìm giao điểm M của SD và (IJK)

c) Tìm giao điểm N của SA và (IJK)

d) Tìm thiết diện của hình chóp với (IJK) Thiết diện là hình gì?

DẠNG 4: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG

Để chứng minh ba điểm ( hay nhiều điểm) thẳng hàng ta chứng minh chúng là điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt, khi đó chúng nằm trên đường thẳng giao tuyên của hai mặt phẳng nên thẳng hàng

Bài tập tự luận

Câu 1 Cho tứ diện ABCD Gọi M N, lần lượt là trung điểm của AB và CD Mặt phẳng   qua MN

cắt AD BC, lần lượt tại P và Q Biết MP cắt NQ tại I Chứng minh ba điểm I B D, , thẳng hàng

Câu 2 Cho tứ diện SABC Trên SA SB và , SC lấy các điểm D E và F sao cho DE cắt AB tại , I , EF

cắt BC tại J , FD cắt CA tại K Chứng minh ba điểm , , I J K thẳng hàng

Câu 3 Cho tứ diện S ABC có D E lần lượt là trung điểm của , AC BC và , Glà trọng tâm của tam giác

ABC Mặt phẳng    đi qua AC cắt SE SB lần lượt tại M , N Một mặt phẳng ,    đi qua BC

cắt SD SA tương ứng tại P và Q ,

a) Gọi I  AMDN J, BPEQ Chứng minh S ,I , J ,G thẳng hàng

b) Giả sử K ANDM L, BQEP Chứng minh S ,K ,L thẳng hàng

Câu 4 Cho tứ giác ABCD và SABCD Gọi M N, là hai điểm trên BC và SD

a Tìm giao điểm IBNSAC

b Tìm giao điểm J MNSAC

c Chứng minh C I J, , thẳng hàng

Câu 5 Cho mặt phẳng  P và điểm A B C, , không thẳng hàng và ở ngoài  P Giả sử các đường thẳng

, ,

BC CA AB lần lượt cắt  P tại các điểm D E F, , Chứng minh D E F, , thẳng hàng

Trang 8

Câu 6 Cho hình chóp S ABCD Gọi I J, là hai điểm cố định trên SA SC, với SI IA và SJ JC Một

mặt phẳng  P quay quanh IJ cắt SB tại M , SD tại N

a Chứng minh rằng IJ MN SO, , đồng quy ( OACBD ) Suy ra cách dựng điểm N khi biết

M

b AD cắt BC tại E , IN cắt JM tại F Chứng minh S E F, , thẳng hàng

Câu 7 Cho hình chóp S ABC Trên SA SB SC, , lấy các điểm M N P, , Gọi E F K, , lần lượt là giao

điểm của MN với AB , NP với BC , MP với AC Chứng minh E F K, , thẳng hàng

Câu 8 Trong mặt phẳng  P cho tứ giác lồi ABCD và điểm S nằm ngoài mặt phẳng  P Giả sử

', '

C D là các điểm trên SC SD, sao cho đường thẳng AD' và BC cắt nhau tại ' M Giả sử A B', '

là hai điểm trên SA SB, sao cho DA' và CB' cắt nhau tại N Chứng minh M N S, , thẳng hàng

Câu 9 Cho hình bình hành ABCD , S là điểm không thuộc ABCD Gọi M N, lần lượt là trung điểm

của AB và SC

a Tìm giao điểm I ANSBD

b Tìm giao điểm JMNSBD

c Chứng minh I J B, , thẳng hàng

Câu 10 Cho hình chóp SABC Gọi L M N, , lần lượt là các điểm trên các cạnh SA SB AC, , sao cho LM

không song song với AB , LN không song song với SC

a Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng LMN và ABC

b Tìm giao điểm IBCLMN và JSCLMN

c Chứng minh M I J, , thẳng hàng

Câu 11 Cho hình chóp S ABCD , M là một điểm trên cạnh BC , N là một điểm trên cạnh SD

a) Tìm giao điểm I của BN và SAC và giao điểm J của MN và  SAC 

b) DM cắt AC tại K Chứng minh S K J, , thẳng hàng

c) Xác định thiết diện của hình chóp S ABCD với mặt phẳng BCN

DẠNG 5: CHỨNG MINH 3 ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY

Muốn chúng minh 3 đường thẳng đồng quy ta chứng minh giao điểm của hai đường này là điểm chung của hai mặt phẳng mà giao tuyến là đường thẳng thứ ba

Bài tập tự luận

Câu 1 Cho hình chóp tứ giác S ABCD , gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD Một mặt

phẳng   cắt các cạnh bên SA SB SC SD, , , tưng ứng tại các điểm M N P Q, , , Chứng minh rằng các đường thẳng MP NQ SO, , đồng qui

Câu 2 Chóp S ABC MSAsao choMA2MS PSB đểPS2PB Q là trung điểm SC

NốiMPABH, MQACK Chứng minh PQ BC HK, , đồng quy

Câu 3 Chóp S ABCD ACBDH Mặt phẳng  P chứa CD cắtSA SB tại , M N, Chứng minh

,

CM DN SH, đồng quy

DẠNG 6: BÀI TOÁN QUỸ TÍCH: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG DI ĐỘNG

Để tìm tập hợp giao điểm I của hai đường thẳng thay đổi ,a b ta chọn hai mặt phẳng cố định   

và  β cắt nhau lần lượt chứa ,a b , khi đó  

 

I a

I b





 



   

 



   

Vậy điểm I thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng    và   

Để chứng minh đường thẳng d đi qua một điểm cố định ta thực hiện theo các bước sau

- Chọn một điểm cố định J thuộc hai mặt phẳng    và   

- Chứng minh d là giao tuyến của hai mặt phẳng  δ và    , khi đó d đi qua điểm cố định J

Bài tập tự luận

Câu 1 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn là AB Một mặt phẳng

 P quay quanh AB cắt các cạnh SC SD tại các điểm tương ứng ,, E F

a) Tìm tập hợp giao điểm I của AF và BE

b) Tìm tập hợp giao điểm J của AE và BF

Câu 2 Cho tứ diện ABDC Hai điểm M N lần lượt nằm trên hai cạnh AB và , AC sao cho AM AN

AB  AC

Một mặt phẳng  P thay đổi luôn chứa MN, cắt các cạnh CD và BD lần lượt tại E và F

a) Chứng minh EF luôn đi qua một điểm cố định

b) Tìm tập hợp giao điểm I của ME và NF

c) Tìm tập hợp giao điểm J của MF và NE

Câu 3 Cho hình chóp S ABCD , có đáy là hình thang ABCD với AB/ /CD và ABCD Gọi I là

trung điểm SC Mặt phẳng  P quay quanh AI cắt các cạnh SB SD, lần lượt tại M N,

a) Chứng minh MN luôn đi qua một điểm cố định

b) IM kéo dài cắt BC tại R IN, kéo dài cắt CD tại Q Chứng minh RQ luôn đi qua một điểm

cố định

c) Tìm tập hợp giao điểm của IM và AN

d a

b

β

α

I