BÀI 3 dãy số TĂNG, GIẢM dãy số bị CHẶN câu hỏi

https www nbv edu vn Cấp số nhân, Dạy học tích hợp, Chương trình Toán 11, Năng lực toán học, Giáo dục phổ thông môn Toán Trang 1 Lý thuyết DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN 1 Dãy số tăng, dãy số giảm Dãy số  nu được gọi là dãy số tăng nếu ta có 1n nu u  với mọi n  Dãy số  nu đư.

Trang 1

https://www.nbv.edu.vn/

Lý thuyết

DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN

1 Dãy số tăng, dãy số giảm

Dãy số  u n được gọi là dãy số tăng nếu ta có u n1u n với mọi *

.

n  

Dãy số  u n được gọi là dãy số giảm nếu ta có u n1u n với mọi *

.

n  

Chú ý: Không phải mọi dãy số đều tăng hoặc giảm Chẳng hạn, dãy số  u n với u   n  3n tức là dãy  3, 9, 27,81,  không tăng cũng không giảm

2 Dãy số bị chặn

Dãy số  u n được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho

*

n

Dãy số  u n được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho

*

n

u m    n

Dãy số  u n được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số

,

m M sao cho

*

n

mu M    n

Lưu y: + Dãy tăng sẽ bị chặn dưới bởi u 1

+ Dãy giảm sẽ bị chặn trên bởi u 1

DẠNG 1: XÉT TÍNH TĂNG, GIẢM CỦA DÃY SỐ

A Phương pháp giải

Cách 1: Xét hiệu u n1u n

u  u     thì (n u n) là dãy số tăng

u  u     thì (n u n) là dãy số giảm

Cách 2: Khi u n 0   ta xét tỉ số n * n 1

n

u u



Nếu n 1 1

n

u

  thì (u n) là dãy số tăng

Nếu n 1 1

n

u

  thì (u n) là dãy số giảm

Cách 3: Nếu dãy số (u n)được cho bởi một hệ thức truy hồi thì ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh u n1u n   (hoặc n * u n1u n   ) n *

* Công thức giải nhanh một số dạng toán về dãy số

Dãy số ( )u n có u n an b tăng khi a 0và giảm khi a 0

Dãy số ( )u n có n

n

u q

Không tăng, không giảm khi q 0

Bài 3 DÃY SỐ TĂNG, GIẢM - DÃY SỐ BỊ CHẶN

• Chương 3 CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN

• |FanPage: Nguyễn Bảo Vương

Trang 2

Giảm khi 0q1

Tăng khi q 1

Dãy số ( )u n có n an b

u

cn d





 với điều kiện

*

cnd    0 n

Tăng khi adbc0

Giảm khi adbc 0

Dãy số đan dấu cũng là dãy số không tăng, không giảm

Nếu dãy số (u n)tăng hoặc giảm thì dãy số q u n n (với q 0) không tăng, không giảm

Dãy số (u n)có u n1au n tăng nếu b

2 1

0 0

a

u u









; giảm nếu

2 1

0 0

a

u u









và không tăng không giảm nếu a  0

Dãy số (u n)có 1

*

n n

n

au b u

cu d









tăng nếu

2 1

0 0

ad bc

u u







và giảm nếu

2 1

0 0

ad bc

u u







Dãy số ( )u n có 1

*

n n

n

au b u

cu d









không tăng không giảm nếu adbc 0

Nếu ( )

( )

n

u

v









thì dãy số u nv n Nếu ( )

( )

n

u v









thì dãy số u nv n

Nếu

*

( ) ; 0









 thì dãy số u v n n Nếu

*

( ) ; 0









 thì dãy số u v n n

Nếu (u n) và u n 0   thì dãy số n *  u n

( )m

n

Nếu (u n) và u n0   thì dãy số n *  u n

( )m n

Nếu ( )u n  và u n 0   thì dãy sốn * 1

n u



Nếu ( )u n  và u n 0   thì dãy sốn * 1

n u



B Bài tập tự luận

Câu 1 Xét tính tăng giảm của các dãy số sau:

1) Dãy số u n với u n 2n35n1

2) Dãy số  u n với u n 3nn

3) Dãy số  u n với 2

1

n

n u n





4) Dãy số  u n với

2

n

u 

5) Dãy số  u n với 32

n

u n



6) Dãy số  u n : Với

2

1

n

n n u

n



 7) Dãy số  u n với

2 2

1

n

n n u

n

 





Trang 3

8) Dãy số  u n vớiu n  n n21

9) Dãy số  u n vớiu n n 1 1

n

 



Câu 2 Xét tính tăng giảm của các dãy số  u n được cho bởi hệ thức truy hồi sau:

a) 2

* 1

2

2 3,

u

u  u n N









b)

1

3 2 3

n n

n

u

u u

u















Câu 3 Cho dãy số  u n xác định bởi: 1

1

5

3 2

u

u  u n







 a) Tìm công thức của số hạng tổng quát

b) Chứng minh dãy số tăng

Câu 4 Cho dãy số  a n định bởi:

1

4

n

a n N

a  a n N









a) Chứng minh: 1 1 , * 1 

n

b) Xét tính đơn điệu của dãy số  a n

Câu 5 Cho a 2 Xét dãy U n xác định bởi

2 1

2

u a

u  u a n N

 







Xét tính đơn điệu của dãy U n

Câu 6 Cho dãy số ( )u n định bởi:

4 4

n

a n

n



 Định a để dãy số ( )u n tăng

C Bài tập trắc nghiệm

Câu 1 Cho dãy số ( )u n biết u n3n Mệnh đề nào sau đây đúng? 6

C Dãy số không tăng, không giảm D Cả A, B, C đều sai

Câu 2 Cho dãy số (u n)biết 5

2

n

n u n





 Mệnh đề nào sau đây đúng?

C Dãy số không tăng, không giảm D Có số hạng 1 5

1 2

n

n u n



n

u n

 Mệnh đề nào sau đây đúng?

C Dãy số không tăng, không giảm D Dãy số là dãy hữu hạn

Câu 4 Trong các dãy số  u n cho bởi số hạng tổng quát u sau, dãy số nào tăng? n

2

n

n u

n



2 1

n

n u n





2

n

u   n 

Câu 5 Cho dãy số (u n)biết u n 5n2 Mệnh đề nào sau đây đúng?

Trang 4

Câu 6 Cho dãy số ( )u n biết 1

n u n



A Dãy số tăng B Dãy số giảm

C Dãy số không tăng, không giảm D Cả A, B, C đều đúng

3

u  Mệnh đề nào sau đây đúng?

C Dãy số không tăng, không giảm D 1 10

u 



Câu 8 Cho dãy số (u n)biết u n 2n23n Mệnh đề nào sau đây đúng? 1

C Dãy số không tăng, không giảm D  2  

n

u  n  n 

Câu 9 Cho dãy số (u n)biết    2 

n

u   n  Mệnh đề nào sau đây đúng?

C Dãy số không tăng, không giảm D Dãy số là dãy hữu hạn

Câu 10 Cho dãy số (u n)biết 2

400

n

u n  n Mệnh đề nào sau đây đúng?

C Dãy số không tăng, không giảm D Mọi số hạng đều âm

Câu 11 Trong các dãy số  u n cho bởi số hạng tổng quát u sau, dãy số nào tăng? n

A 1

3

n u n



1

n

n u n





3

n

n u n







Câu 12 Trong các dãy số  u n cho bởi số hạng tổng quát u sau, dãy số nào giảm? n

A 4

3

n

u    

  B u   n  1 n5n1  C u   n 3 n D u n  n4

Câu 13 Trong các dãy số  u n cho bởi số hạng tổng quát u sau, dãy số nào không tăng, không giảm? n

A u n n 1

n

u   n C 3 n

n

u   D   2

3 n 1

n

u   n 

Câu 14 Cho dãy số (u n)biết u  n 5n4n Mệnh đề nào sau đây đúng?

C Dãy số không tăng, không giảm D Dãy số có số hạng thứ 100 bé hơn 1 Câu 15 Cho dãy số (u n)biết 2

n

an u n





 Tìm tất cả các giá trị của a để dãy số tăng

A a 6 B a 6 C a 6 D a  6

Câu 16 Cho dãy số (u n)biết u n 2nan Tìm tất cả các giá trị của a để dãy số tăng

A a  2 B a  2 C a  2 D a  2

Câu 17 Cho dãy số (u n)biết 3

n

u an

 Tìm tất cả các giá trị của a để dãy số tăng

A  a 0 B Không tồn tại a C   a * D a  0

Câu 18 Cho dãy số (u n)biết u n  3n 2 3n1 Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 19 Cho dãy số (u n)biết u n  n n21 Mệnh đề nào sau đây đúng?

Trang 5

C Dãy số không tăng, không giảm D Các số hạng đều dương

Câu 20 Cho dãy số (u n)biết

2

n

n n u

n

 



C Dãy số không tăng, không giảm D Có số hạng âm

Câu 21 Trong các dãy số có công thức tổng quát sau, dãy số nào là dãy số tăng?

2

n

1

n u n

n

n u n





 D u   n  1 3n n

Câu 22 Trong các dãy số  u n cho bởi số hạng tổng quát u sau, dãy số nào là dãy số giảm? n

A 1

2

1

n

n u n





2

n

u n D u n  n2

Câu 23 Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số giảm

1

n

n u

n





n

u  C u n 22

n

3

n

u  

Câu 24 Dãy số nào sau đây là dãy số giảm?

A 5 3 , *

n



n



C u n 2n33,n * D u n cos 2 n1 , n *

Câu 25 Cho các dãy số sau Dãy số nào là dãy số tăng?

A 1; 1; 1; 1; 1; 1; B 1; 1; ; 1 1; 1 ;

C 1; 3; 5; 7; 9; D 1; ; ; ; 1 1 1 1 ;

Câu 26 Trong các dãy số  u n cho bởi số hạng tổng quát u sau, dãy số nào là dãy số tăng? n

A 1

2

n u n

n

n u n





1

n

n u n







Câu 27 Trong các dãy số  u n cho bởi số hạng tổng quát u sau, dãy số nào là dãy số tăng? n

A 2

3

n

u  D u   n  2 n

Câu 28 Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số giảm?

A u n n2 B u n 2n C u n n31 D 2 1

1

n

n u n







Câu 29 Trong các dãy số  u n cho bởi số hạng tổng quát u sau, dãy số nào là dãy số giảm? n

A u n sin n B

2 1

n

n u n





C u n  n n1 D u   n  1 2n  n1 

Câu 30 Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Dãy số u n 1 2

n

  là dãy tăng B Dãy số u   n  1 n2n1 là dãy giảm

C Dãu số 1

1

n

n u n





 là dãy giảm D Dãy số

1

n

  là dãy tăng

Câu 31 Mệnh đề nào sau đây sai?

Trang 6

A Dãy số u n 1 n

n



 là dãy giảm B Dãy số u n 2n25là dãy tăng

C Dãy số 1 1

n

u

n

  

  là dãy giảm D Dãy số

2

sin

n

u  n nlà dãy tăng

1

2

2 4

n

u







Mệnh đề nào sau đây đúng?

C Dãy số không tăng, không giảm D Cả A, B đều đúng

Câu 33 Trong các dãy số  u n cho bởi số hạng tổng quát u sau, dãy số nào tăng? n

A sin

n

n u

n

2

1

n

n u n





3

n

u n

 D u n 4n33n21

1

u

u u 











Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 35 Cho dãy số (u n)biết 1

2 1

1

3,

u

u  u n 







  Mệnh đề nào sau đây đúng?

1

3 3 3

n n

n

u

u u

u















Mệnh đề nào sau đây đúng?

C Dãy số không tăng, không giảm D Có u 10 2

Câu 37 Cho dãy số (u n)biết 1 1 1

n u

   Mệnh đề nào sau đây đúng?

C Dãy số không tăng, không giảm D Có hữu hạn số hạng

 

*

1

u au  a u n





  Tìm tất cả các giá trị của a để (u n)tăng?

A a 0 B 0a1 C a 1 D a 1

Câu 39 Cho (u n)biếtu n an b

cn d





 và c0,d0 Khi đó điều kiện đủ để dãy số (u n)tăng là?

A a0,b0 B a0,b0 C a0,b0 D a0,b0

1 2

* 1

2 1 4

n n

u u







  Mệnh đề nào sau đây đúng?

C Dãy số không tăng, không giảm D Là dãy số không đổi

Trang 7

Câu 41 Với giá trị nào của a thì dãy số  u , với n 2

1

n

na u n





 , là dãy số tăng?

A a 2 B a 2 C a 2 D a 2

Câu 42 Gọi A là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của a thuộc đoạn  5; 5 sao cho dãy số (u với n)

2 2

1

n

an u

n





 là một dãy số tăng Hỏi tập hợp A có bao nhiêu phần tử?

Câu 43 Cho dãy số  u với n 1

3

n

u   Biết hiệu 1

3

a b n

c c

u  u



  trong đó a b,

c c là các phân số tối

giản Tính tổng a b

cc

3

Câu 44 Cho dãy số tăng  u với n 3

1

n

an u bn





 , với a , b là hai số thực dương Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A 3b a 0 B a3b C a3b0 D a3b 6 0

Câu 45 dãy số (u xác định bởi n) u  n 2010 2010   2010 (n dấu căn)Khẳng định nào sau đây

là đúng?

A Tăng B Giảm C Không tăng, không giảm D Bị chặn

DẠNG 2: XÉT TÍNH BỊ CHẶN CỦA DÃY SỐ

A Phương pháp giải

Phương pháp 1: Chứng minh trực tiếp bằng các phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Cách 1: Dãy số (u n)có u n f n( ) là hàm số đơn giản

Ta chứng minh trực tiếp bất đẳng thức *

( ) ,

n

u  f n M    hoặc n u n f n( )m,   n *

Cách 2: Dãy số (u n)có u nv1v2 v k  v n(tổng hữu hạn)

Ta làm trội v k a k a k1

Lúc đó u n a1a2  a2a3 a na n1

u a a  M    n

Cách 3: Dãy số (u n)có u nv v v1 2 3 v n với v n0,   (tích hữu hạn) n *

Ta làm trội k 1

k k

a v a





1 2

n n

n

a a a

u

a a a





1 ,

n n

a



Phương pháp 2: Dự đoán và chứng minh bằng phương pháp quy nạp

Nếu dãy số (u n)được cho bởi một hệ thức truy hồi thì ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh

Trang 8

Chú ý: Nếu dãy số ( u n)giảm thì bị chặn trên, dãy số ( u n)tăng thì bị chặn dưới

* Công thức giải nhanh một số dạng toán về dãy số bị chặn

Dãy số (u n)có u n q n q 1 bị chặn

Dãy số ( )u n có u n q n q 1 không bị chặn

Dãy số ( )u n có n

n

u q với q 1 bị chặn dưới

Dãy số ( )u n có u n an b bị chặn dưới nếu a  và bị chặn trên nếu 0 a  0

Dãy số (u n)có 2

n

u an bn bị chặn dưới nếu c a  và bị chặn trên nếu 0 a  0 Dãy số (u n)có 1

u a n a n   a na bị chặn dưới nếu a  và bị chặn trên nếu m 0 0

m

a 

u q a n a n   a n a với a  và m 0 q  1 không bị chặn Dãy số (u n)có 1

u a n a n  a n a



     bị chặn dưới với a  m 0 Dãy số (u n)có 3 1

u  a n a n   a na bị chặn dưới nếu a  và bị chặn trên nếu m 0 0

m

a 

Dãy số ( )u n có  

 

n

P n u

Q n

 trong đó P n và Q n là các đa thức, bị chặn nếu bậc của P n nhỏ hơn hoặc bằng bậc của Q n 

Dãy số (u n)có  

 

n

P n u

Q n

 trong đó P n và Q n là các đa thức, bị chặn dưới hoặc bị chặn trên nếu bậc của P n  lớn hơn bậc của Q n 

B Bài tập tự luận

Câu 1 Xét tính bị chặn của các dãy số sau

a) 21

n

u

n



 b) n 3.cos 3

nx

u  c) u n 2n3 1

d)

2 2

2 1

n

n n u

n n





  e)

1

n

Câu 2 Xét tính tăng hay giảm và bị chặn của dãy số: 2 1; *

3

n





Câu 3 Cho dãy số  u n với u n 1 n1 2 n

a) Viết 5 số hạng đầu của dãy số

b) Tìm công thức truy hồi

c) Chứng minh dãy số tăng và bị chặn dưới

Câu 4 Cho dãy số  u n xác định bởi

1

2 1

2

, 1,

n n

n

u















1) Chứng minh rằng dãy số  u n giảm và bị chặn

2) Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số  u n

Câu 5 Chứng minh rằng dãy số  u n , với

2 2

1

n

n u n





 là một dãy số bị chặn

Trang 9

Câu 6 Chứng minh dãy số  u n , với 7 5

n

n u n





 là một dãy số tăng và bị chặn

Câu 7.Cho dãy số  u n với u nn24n3

a) Viết công thức truy hồi của dãy số

b) Chứng minh dãy số bị chặn dưới

c) Tính tổng n số hạng đầu của dãy số đã cho

Câu 8 Xét tính bị chặn của dãy số: 1 1 ; *

n

   

Câu 9 Cho 15 15 15

n

       Chứng minh U n bị chặn trên

Câu 10 Cho dãy số  u n định bởi

1

1 2 5 3

u

u  u











*

n N

 

a) Chứng minhu n15, n N*

b) Chứng minh dãy số  u n tăng và bị chặn dưới

Câu 11 Xét tính bị chặn của các dãy số sau:

a)

 

n

u

n n

n u

n

c)

n

u

n

u

n n



C Bài tập trắc nghiệm

n u n





 Mệnh đề nào sau đây đúng ?

A Dãy số bị chặn B Dãy số bị chặn trên

C Dãy số bị chặn dưới D Không bị chặn

Câu 2 Cho dãy số (u n)biết 4 5

1

n

n u n





Câu 3 Cho dãy số (u n)biết

3 2 1

n

n u n



Câu 4 Trong các dãy số sau dãy số nào bị chặn ?

A Dãy  a n , với 3

n

a  n n    n

B Dãy  b n , với 2 1

2

n

    

C Dãy  c n , với ( 2)n 3, *

n

c       n

D Dãy  d n , với 33 , *

2

n

Câu 5 Cho dãy số (u n)biết u nasinn b cosn Mệnh đề nào sau đây đúng ?

A Dãy số không bị chặn B Dãy số bị chặn

Trang 10

C Dãy số bị chặn dưới D Dãy số bị chặn trên

Câu 6 Xét tính bị chặn của các dãy số sau: u n ( 1)n

A Bị chặn B Không bị chặn C Bị chặn trên D Bị chặn dưới Câu 7 Xét tính bị chặn của các dãy số sau: u n3n1

A Bị chặn B Bị chặn trên C Bị chặn dưới D Không bị chặn dưới Câu 8 Trong các dãy số  u n cho bởi số hạng tổng quát  u n sau, dãy số nào bị chặn?

A u nn2 B u  n 2 n C u n 1

n

Câu 9 Trong các dãy số  u n cho bởi số hạng tổng quát u n sau, dãy số nào bị chặn?

A 1

2

n

u  C u n  n1 D u n n21

Câu 10 Xét tính bị chặn của các dãy số sau: 2 1

2







n

n u n

A Bị chặn B Không bị chặn C Bị chặn trên D Bị chặn dưới Câu 11 Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (u n), biết: 2 13







n

n u n

A Dãy số tăng, bị chặn

B Dãy số giảm, bị chặn

C Dãy số không tăng không giảm, không bị chặn

D Cả A, B, C đều sai

Câu 12 Xét tính bị chặn của các dãy số sau:

2

1 1







n

n u n

A Bị chặn B Không bị chặn C Bị chặn trên D Bị chặn dưới Câu 13 Xét tính bị chặn của các dãy số sau: u n  4 3n n 2

A Bị chặn B Không bị chặn C Bị chặn trên D Bị chặn dưới Câu 14 Trong các dãy số ( un) sau, dãy số nào bị chặn?

.

n

n u

n



2

1

n

u  n   n

Câu 15 Trong các dãy số ( un) sau, dãy số nào bị chặn?

A u nnsin 3n B

2 1

n

n u n



 

1 1

n u

n n



 D u n n.sin 3 n1

Câu 16 Trong các dãy số   un cho dưới đây dãy số nào là dãy số bị chặn ?

A

3

2 1

n

n u

n



2 2017

n

u n  C u n  ( 1) (n n2). D 2

1

n

n u n





Câu 17 Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số sau: ( ) : 1

2







n

u u

n

A Tăng, bị chặn B Giảm, bị chặn C Tăng, chặn dưới D Giảm, chặn trên Câu 18 Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (u n), biết: (u n) :u n n32n1

A Tăng, bị chặn B Giảm, bị chặn C Tăng, chặn dưới D Giảm, chặn trên Câu 19 Cho dãy số 3 1

( ) :

n

u u

n





 Dãy số  u n bị chặn trên bởi số nào dưới đây?

A 1

1

Tiêu đề	Bài 3 Dãy Số Tăng, Giảm, Dãy Số Bị Chặn & Câu Hỏi
Tác giả	Nguyễn Bảo Vương
Trường học	Trường Đại Học Nội Vụ Thành Phố Hồ Chí Minh
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Bài giảng
Năm xuất bản	2023
Thành phố	Hồ Chí Minh

Định dạng
Số trang	13
Dung lượng	459,42 KB