Trang chủ»Khoa Học Tự Nhiên»Toán họcMột số ý tưởng tích hợp trong dạy học cấp số nhân trong chương trình Toán 11Tại nhiều nước trên thế giới, việc xây dựng chương trình và triển khai nội dung dạy học ở bậc phổ thông luôn gắn liền với quan điểm dạy học tíc

https www nbv edu vn Trang 1 Lý thTrang chủ»Khoa Học Tự Nhiên»Toán họcMột số ý tưởng tích hợp trong dạy học cấp số nhân trong chương trình Toán 11Tại nhiều nước trên thế giới, việc xây dựng chương trình và triển khai nội dung dạy học ở bậc phổ thông luôn gắn liền với quan điểm dạy học tích hợp. Bài viết Một số ý tưởng tích hợp trong dạy học cấp số nhân trong chương trình Toán 11 trình bày một số ý tưởng dạy học tích hợp nội dung cấp số nhân trong chương trình Toán 11.uyết Phương pháp quy nạp toán học Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n là đúng với mọi n mà không thể thử trực tiếp thì có thể làm như sau B.

https://www.nbv.edu.vn/

Trang 1

Lý thuyết Phương pháp quy nạp toán học

Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n  * là đúng với mọi n mà không thể

thử trực tiếp thì có thể làm như sau:

Bước 1 Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n 1

Bước 2 Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì nk  (gọi là giả thiết quy nạp), 1 chứng minh rằng nó cũng đúng với nk1

Đó là phương pháp quy nạp toán học, hay còn gọi tắt là phương pháp quy nạp

Một cách đơn giản, ta có thể hình dung như sau: Mệnh đề đã đúng khi n  nên theo kết quả ở 1 bước 2, nó cũng đúng với n   1 1 2 Vì nó đúng với n 2 nên lại theo kết quả ở bước 2, nó đúng với n   2 1 3, Bằng cách ấy, ta có thể khẳng định rằng mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n  *

2 Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên n p (p là một số tự nhiên) thì:

 Bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n p;

 Bước 2, giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kì nk p và phải chứng minh rằng nó cũng đúng với nk1

DẠNG: ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP ĐỂ CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC, TÍNH CHIA HẾT, HÌNH HỌC…

A Phương pháp giải

Giả sử cần chứng minh đẳng thức P n( )Q n( ) (hoặc P n( )Q n( )) đúng với  n n0, n0  ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tính P n( ), ( )0 Q n rồi chứng minh 0 P n( 0)Q n( 0)

Bước 2: Giả sử P k( )Q k( ); k,kn0, ta cần chứng minh

P k Q k

B Bài tập tự luận

Câu 1 Chứng mình với mọi số tự nhiên n 1 ta luôn có: 1 2 3 ( 1)

2

n n

Câu 2 Chứng minh với mọi số tự nhiên n 1 ta luôn có: 1 3 5 2    n 1 n2

Câu 3.Chứng minh rằng với   , ta có bất đẳng thức: n 1 1.3.5 2 1 1

n







Câu 4 Chứng minh rằng với    n 1, x 0 ta có bất đẳng thức:

2 1 1

n

n n n

x





   Đẳng thức xảy

ra khi nào?

Câu 5 Cho hàm số f :, n 2là số nguyên Chứng minh rằng nếu

f

   , x i 0 i1,n (2)

Bài 1 PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH QUY NẠP

• Chương 3 CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN

• |FanPage: Nguyễn Bảo Vương

https://www.nbv.edu.vn/

Trang 2

Câu 6 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  , ta luôn có 1

6

b 1 22 3 2 3

Câu 7

a Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  ta có: 1

1

2n





b Chứng minh các đẳng thức

( 1) sin sin

sin sin 2 sin

sin 2

x



Câu 8 Chứng minh rằng với mọi n  ta có bất đẳng thức: 1

sinnx nsinx    x

Câu 9

a Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  , ta có : 1 1 1 3

n n

b.3n 3n1 với mọi số tự nhiên n 2;

c

2.4.6.2

1.3.5 2 1

n

n

n   với mọi số tự nhiên n 1;

Câu 10 Cho hàm số f xác định với mọi x   và thoả mãn điều

kiện: f x( y) f x f y( ) ( ), x y,  (*) Chứng minh rằng với mọi số thực x và mọi số tự

nhiên n ta có:  

2

2

n n

x

f x f  

 

Câu 11 Cho n là số tự nhiên dương Chứng minh rằng: a n 16 – 15 – 1 225n n 

Câu 12 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  thì 1 A n( )7n3n luôn chia hết cho 9 1

Câu 13 Cho n là số tự nhiên dương Chứng minh rằng: B n n1n2n3 3 n  3n

Câu 14 Trong mặt mặt phẳng cho n điểm rời nhau (n > 2) tất cả không nằm trên một đường thẳng Chứng

minh rằng tất cả các đường thẳng nối hai điểm trong các điểm đã cho tạo ra số đường thẳng khác

nhau không nhỏ hơn n

Câu 15 Chứng minh rằng tổng các trong một n – giác lồi (n 3) bằng (n 2)1800

Câu 16

a Chứng minh rằng với  n 2, ta luôn cóa nn1n2  nn chia hết cho 2n

b Cho a b, là nghiệm của phương trình x227x140

Đặt   n n

S n a b Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì S n( ) là một số nguyên không chia hết cho 715

c Cho hàm số f : thỏa f(1) 1, (2) f 2 và f n( 2)2 (f n1) f n( )

Chứng minh rằng: f2(n1) f n( 2) ( )f n  ( 1)n

d Cho p là số nguyên tố thứ n Chứng minh rằng: n 22n  p n

e Chứng minh rằng mọi số tự nhiên không vượt qua !n đều có thể biểu diễn thành tổng của

không quá n ước số đôi một khác nhau của ! n

https://www.nbv.edu.vn/

Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3

Câu 17 Gọi x x là hai nghiệm của phương trình:1, 2 x26x 1 0 Đặt a nx1nx2n Chứng minh rằng:

a.a n6a n1a n2   n 2

b.a là một số nguyên và n a không chia hết cho 5 với mọi n n  1

Câu 18

a Trong không gian cho n mặt phẳng phân biệt ( n  ), trong đó ba mặt phẳng luôn cắt nhau và 1

không có bốn mặt phẳng nào có điểm chung Hỏi n mặt phẳng trên chia không gian thành bao

nhiêu miền?

b Cho n đường thẳng nằm trong mặt phẳng trong đóhai đường thẳng bất kì luôn cắt nhau và

không có ba đường thẳng nào đồng quy Chứng minh rằng n đường thẳng này chia mặt phẳng

thành

2

2 2

n  n

miền

Câu 19

a Cho a b c d m, , , , là các số tự nhiên sao cho ad, (b1)c , ab a c   chia hết cho m Chứng

minh rằng x na b ncn d chia hết cho m với mọi số tự nhiên n

b Chứng minh rằng từ n  số bất kì trong 2n số tự nhiên đầu tiên luôn tìm được hai số là bội 1

của nhau

C Bài tập trắc nghiệm

Câu 1 Một học sinh chứng minh mệnh đề ''8n1 chia hết cho 7,   n *''  * như sau:

 Giả sử  * đúng với nk, tức là 8k 1 chia hết cho 7

 Ta có: 1  

8k  1 8 8k1 7, kết hợp với giả thiết 8k 1 chia hết cho 7 nên suy ra được

1

8k  1 chia hết cho 7 Vậy đẳng thức  * đúng với mọi n  *

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Học sinh trên chứng minh đúng

B Học sinh chứng minh sai vì không có giả thiết qui nạp

C Học sinh chứng minh sai vì không dùng giả thiết qui nạp

D Học sinh không kiểm tra bước 1 (bước cơ sở) của phương pháp qui nạp

Câu 2 Cho

n S

n n

*

n  Mệnh đề nào sau đây đúng?

A 3 1

12

6

3

4

S 

Câu 3 Cho

n S

n n

*

n  Mệnh đề nào sau đây đúng?

n

n S

n



1

n

n S n



1 2

n

n S n





2 3

n

n S n







Câu 4 Cho

n S

*

n  Mệnh đề nào sau đây đúng?

n

n S

n





n S n



n S n



2

n

n S n







Câu 5 Cho 1 12 1 12 1 12

n P

n

        

với n 2 và n   Mệnh đề nào sau đây đúng?

2

n P

n





1 2

n P n



n P n



2

n P n





Câu 6 Với mọi n  *, hệ thức nào sau đây là sai?

https://www.nbv.edu.vn/

Trang 4

1 2

2

n n

1 3 5     2n1 n

C 2 2 2  1 2 1

1 2

6

D 2 2 2  2 2  1 2 1

6

Câu 7 Xét hai mệnh đề sau:

I) Với mọi n   số *, 3 2

n  n  n chia hết cho 3

II) Với mọi *

,

n   ta có 1 1 1 13

n n   n

Mệnh đề nào đúng?

A Chỉ I B Chỉ II C Không có D Cả I và II

Câu 8 Với n  *, hãy rút gọn biểu thức S1.4 2.7 3.10    n3n1

A Sn n 12 B Sn n 22

C S n n 1 D S2n n 1

Câu 9 Kí hiệu k!k k 1 2.1,    Với k * n  *, đặt S n1.1! 2.2!   n n ! Mệnh đề nào dưới

đây là đúng?

A S n 2 !n B S n n1 ! 1 C S n n1 ! D S n n1 ! 1

Câu 10 Với n  *, đặt 2 2 2  2

n

T      n và 2 2 2  2

n

M      n Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

n n





n n





1

n n





1

n n





Câu 11 Tìm số nguyên dương p nhỏ nhất để 2n 2 1

n

  với mọi số nguyên n p

A p 5 B p 3 C p 4 D p 2

Câu 12 Tìm tất cả các giá trị của n  *sao cho 2n n2

A n  5 B n  hoặc 1 n 6 C n 7 D n  hoặc 1 n  5

Câu 13 Với mọi số nguyên dương n , ta có:

an b



   , trong đó a b c, , là các số nguyên Tính các giá trị của biểu thức 2 2 2

T ab bc ca

A T 3 B T 6 C T 43 D T 42

Câu 14 Với mọi số nguyên dương n 2, ta có: 1 1 1 1 1 12 2

an

n bn



      , trong đó a b, là các số nguyên Tính các giá trị của biểu thức 2 2

T a b

A P  5 B P  9 C P 20 D P 36

Câu 15 Biết rằng 1323 n3an4bn3cn2dn e , n   Tính * giá trị biểu thức

M a  b c de

4

2

M 

Câu 16 Biết rằng mọi số nguyên dương n , ta có   3 2

1.2 2.3   n n1 a n b n c n d và

T a a b b c c d d

https://www.nbv.edu.vn/

Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5

3

3

T  Câu 17 Biết rằng 1k 2k n k, trong đó n k, là số nguyên dương Xét các mệnh đề sau:

1

1 2

n n

2

1 2 1 6

S    , 2 2

3

1 4

n n

4

30

Số các mệnh đề đúng trong các mệnh đề nói trên là:

Câu 1, chúng ta thấy ngay được chỉ có 2 2

3

1 4

n n

S   là sai

Câu 18 Xét Câu toán: “Kiểm nghiệm với số nguyên dương n bất đẳng thức n! 2 n1” Một học sinh đã

trình bày lời giải Câu toán này bằng các bước như sau:

Bước 1: Với n  , ta có: ! 1! 11 n   và 2n121 1 20  Vậy 1 ! 2n 1

 đúng

Bước 2 : Giả sử bất đẳng thức đúng với nk , tức là ta có 1 ! 2k 1

Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với nk , nghĩa là phải chứng minh 1 k 1 ! 2  k Bước 3 : Ta có k1 ! k1 ! 2.2k  k 12k Vậy n! 2 n1 với mọi số nguyên dương n

Chứng minh trên đúng hay sai, nếu sai thì sai từ bước nào ?

A Đúng B Sai từ bước 2 C Sai từ bước 1 D Sai từ bước 3

Câu 19 Biết rằng

2 2



    , trong đó a b c d, , , và n là các số

nguyên dương Tính giá trị của biểu thức T ac b d

là :

A T 75 B T 364 C T 300 D T 256

Câu 20 Tam giác ABC là tam giác đều có độ dài cạnh là 1 Gọi A B C lần lượtlà trung điểm 1, 1, 1

BC CA AB Gọi A B C lần lượtlà trung điểm 2, 2, 2 B C C A A B …Gọi 1 1, 1 1, 1 1 A B C lần lượtlà trung n, n, n điểm B C n1 n1,C n1A n1,A B n1 n1 Tính diện tích tam giác A B C ? n n n

A 1

1

1

3 4

n

 

 

 

Câu 21 Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh là 1 Gọi A B C D lần lượtlà trung điểm 1, 1, 1, 1

AC BC CD DA Gọi A B C D lần lượtlà trung điểm 2, 2, 2, 2 A B B C C D D A …Gọi 1 1, 1 1, 1 1, 1 1 , , ,

n n n n

A B C D lần lượtlà trung điểm A B n1 n1,B C n1 n1,C n1D n1,D n1A n1 Tính diện tích tứ giác

n n n n

A B C D ?

A 1

4

n

 

 

 

Câu 22 Trên một mặt phẳng cho n đường tròn phân biệt, đôi một cắt nhau và không có ba đường tròn nào

giao nhau tại một điểm Các đường tròn này chia mặt phẳng thành 92 các miền rời nhau Tìm n

Câu 23 S n(n1)(n2)(n3) (n n )luôn chia hết cho

A 2n B 3n C 4n D 2n1

Câu 24 Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của n n , 100để 2 3 2 3

1 2

n u

phương?

https://www.nbv.edu.vn/

Trang 6

Câu 25 Trên một mặt phẳng cho n đường thẳng phân biệt cùng đi qua 1 điểm phân biệt, này chia mặt

phẳng thành 100 phần rời nhau Tìm n

Câu 26 Bài toán chứng minh A4n15n1 chia hết cho 9 bằng phương pháp nào dưới đây là thích hợp

nhất?

A Đồng dư thức B Quy nạp

C Tách hạng tử D Sử dụng dấu hiệu chia hết cho 9

Câu 27 Chứng minh. 7.22n 2 32n1

   (1) với n là số nguyên dương Một học sinh đã giải như sau: 5 Bước 1: Xét với n  ta có 1 B 10 5

Bước 2: Giả sử (1) đúng với nk (k,k1), khi đó: 2 2 2 1

k

Bước 3: Chứng minh (1) đúng với nk1, hay ta cần chứng minh

2( 1) 2 2( 1) 1

k

Thật vậy 1 7.22(k 1) 2 32(k 1) 1 5

k

7.2 k  3k 

7.2 k.4 3k.9

4(7.2 k 4 3k ) 5.3 k

2 1 5

4B k 5.3k

   (B  ) k 5

Vậy B k1 5 Bước 4: Vậy 7.22n 2 32n1

   với n là số nguyên dương 5 Lập luận trên đúng đến bước nào?

A Bước 1 B Bước 2 C Bước 3 D Bước 4

Câu 28 Cho C7n3n1,Trong quy trình chứng minh C theo phương pháp quy nạp, giá trị của a 9

trong biểu thức C k17.C ka k(2 1) là:

Câu 29 Với mọi số nguyên dương n thì S n n311n chia hết cho số nào sau đây?

Câu 30 Với mọi số nguyên dương n thì S n n33n25n3 chia hết cho số nào sau đây?

Câu 31 Với mọi số nguyên dương n , a là số nguyên dương cho trước, Da2n1 chia hết cho:

A a B a 2 1 C a2 D a21

Câu 32 Cho 4k 1

E a k , với a là số tự nhiên Giá t ma  rị nhỏ nhất của a để 1 E là: 9

Câu 33 Với mọi số nguyên dương n thì S n 4n15n1 chia hết cho số nào sau đây?

Câu 34 Với mọi nN*, tổng S n122232 n2 thu gọn có dạng là biểu thức nào sau đây?

A  1 2

6

n n n

B  2 2 1

6

n n n

C  1 2 1

6

n n n

D 2 

1 2

n n 

https://www.nbv.edu.vn/

Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7

Câu 35 Với mọi số nguyên dương n thì S  n 42n32n7 chia hết cho số nào sau đây?

Câu 36 Với mọi n  *biểu thức S n    1 2 3 n bằng

A  1

2

n n 

B n n  1 C  1

2

n n 

D  1 2

6

n n n

Câu 37 Biết rằng với mọi số nguyên dương n ta có 1 2 3 n    an2bn Tính a

b

Câu 38 Tổng các góc trong một đa giác lồi n cạnh n 3 là:

A n.1800 B n 1 180 0 C n 2 180 0 D n 3 180 0

Câu 39 Mệnh đề nào là mệnh đề đúng?

A 2nn2,   n * B 2 *  

2n n ,  n \ 1; 2;3; 4

C 2nn2,   n * D 2n n2,   n

Câu 40 Với mọi nN*, tổng S n1.22.3 3.4   n n. 1 thu gọn có dạng là biểu thức nào sau

đây?

A  1 2 3

6

n n n n

3

n n n

C  1 2

2

n n n

D 23 1

4

n n 

Câu 41 Với mọi nN*, tổng 2 2 2  2

n

S      n thu gọn có dạng là biểu thức nào sau đây?

A  2 1

3

n n 

B 2 2 1

3

n n 

C 4 2 1

3

n n 

D Đáp số khác

Câu 42 Giả sử với mọi n nguyên dương ta có:   3 2

1.4 2.7   n 3n1 An Bn Cn Tính

ABC?

Câu 43 Mệnh đề nào là mệnh đề đúng?

A Với mọi số tự nhiên n , tồn tại một đa thức P n sao cho   cosnP ncos

2

n n

C 2nn2,   n *

D n1nn n 1,   n *

Câu 44 Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 2n1n23 n

A n  3 B n  5 C n 6 D n 4

BẠN HỌC THAM KHẢO THÊM DẠNG CÂU KHÁC TẠI

https://drive.google.com/drive/folders/15DX-hbY5paR0iUmcs4RU1DkA1-7QpKlG?usp=sharing

Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

Hoặc Facebook: Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong

Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TOÁN)  https://www.facebook.com/groups/703546230477890/

https://www.nbv.edu.vn/

Trang 8

Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương

 https://www.youtube.com/channel/UCQ4u2J5gIEI1iRUbT3nwJfA?view_as=subscriber

Tải nhiều tài liệu hơn tại: https://www.nbv.edu.vn/

ĐỂ NHẬN TÀI LIỆU SỚM NHẤT NHÉ!