Trang chủ»Khoa Học Tự Nhiên»Toán họcMột số ý tưởng tích hợp trong dạy học cấp số nhân trong chương trình Toán 11Tại nhiều nước trên thế giới, việc xây dựng chương trình và triển khai nội dung dạy học ở bậc phổ thông luôn gắn liền với quan điểm dạy học tíc

TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 Điện thoại 0946798489 Facebook Nguyễn Vương httpTrang chủ»Khoa Học Tự Nhiên»Toán họcMột số ý tưởng tích hợp trong dạy học cấp số nhân trong chương trình Toán 11Tại nhiều nước trên thế giới, việc xây dựng chương trình và triển khai nội dung dạy học ở bậc phổ thông luôn gắn liền với quan điểm dạy học tích hợp. Bài viết Một số ý tưởng tích hợp trong dạy học cấp số nhân trong chương trình Toán 11 trình bày một số ý tưởng dạy học tích hợp nội dung cấp số nhân trong chương trình Toán 11.s www facebook comphong baovuong Trang 1 I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM I Định nghĩa 1 Định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số Định ng.

Trang 1

TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 Điện thoại: 0946798489

I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

I Định nghĩa

1 Định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số

- Định nghĩa 1: Ta nói dãy số  u n có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu u có thể nhỏ hơn n

2 Định nghĩa giới hạn vô cực của dãy số

- Ta nói dãy số  u n có giới hạn là  khi  n , nếu u có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một n

số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: limu n   hay u n   khi  n

- Dãy số  u n có giới hạn là  khi  n , nếu limu n .

n n

a v u

a v v

Trang 2

Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/

PHẦN 1 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Dạng 1: Dãy số có giới hạn 0

1 Định nghĩa dãy số có giới hạn 0:

Định nghĩa: Ta nói rằng dãy số U n có giới hạn 0 , nếu với mọi số dương nhỏ bao nhiêu tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó.

Khi đó ta viết lim u n 0 hay u  hay n 0 lim n 0

n u

  Bằng cách sử dụng các kí hiện toán, định nghĩa trên có thể viết như sau:

limu n0   0,n :nn  u n 

Nhận xét:

- Dãy số U n có giới hạn 0 khi và chỉ khi dãy số U n có giới hạn 0 .

- Dãy số không đổi U n , với U  thì dãy số có giới hạn n 0 0 .(hay lim 00)

2 Một số dãy số có giới hạn 0

10

lim

n 

10

n u

2.sin1

n

n u

n





u u

  với mọi n

b. Chứng minh rằng: 2

3

n n

u    

 

c. Chứng minh dãy số có giới hạn 0

Trang 3

Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11

Câu 4 Chứng minh rằng hai dãy số    u n , v n với

n

n n u

n







 Ta nói rằng dãy số  u n có giới hạn là số thực L, nếu limu nL0.

 Kí hiệu: limu nL0limu nL

Ii Định lý:

 Cho  u n mà u n c,n:limu n c

 Định lý 1:

3 3

limlim

lim

n n





Trang 4

TH2: Khi đưa n k ra ngoài dấu căn mà giới hạn vẫn vô định (mẫu tiến đến 0) thì ta phải nhân và chia với biểu thức liên hợp của biểu thứa chứa căn tiến về 0.

-Khi u không là phân thức: n u có dạng n A B, AB,3 A3B thì ta nhân và chia với lượng liên hợp đưa về dạng phân thức

Chú ý rằng: Nếu limu n  thì a limu n1limu n2  a

Trang 5

Cách 2: Sử dụng định lí kẹp: Cho ba dãy số     u n , v n , wn thỏa mãn v nu n wn với mọi n và

4

n n n



. c.

3 2

4 3

n n



14.3 7lim

4 2 3lim

Trang 6

4

n n n



.

Câu 23 Cho dãy số  u n được xác định bởi: 1

Trang 7

11

;2

3

n n

Câu 32 Cho dãy số  u n xác định bởi :

1 2

1

1; 22

n n n

1

20193

2

n n

Câu 34 Cho dãy số  u n xác định bởi : 1

121

Trang 8

201912

Câu 41 Để trang hoàng cho căn hộ của mình, chú chuột Mickey quyết định tô màu một miếng bìa hình

vuông cạnh bằng 1. Nó tô màu xám các hình vuông nhỏ được đánh số lần lượt là 1, 2, 3, 4, …n,… trong đó cạnh của hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó.Giả sử quy trình tô màu của chuột Mickey có thể tiến ra vô hạn (như hình vẽ dưới đây). Tính tổng diện tích mà chuột Mickey phải tô màu.

Dạng 3: Dãy số có giới hạn vô hạn

I Dãy số có giới hạn vô han (vô cực, vô cùng)

Định nghĩa giới hạn vô cực của dãy số

Trang 9

Kí hiệu: limu n   hay u n   khi  n

Một số giới hạn đặc biệt và định lí về giới hạn vô cực

n n

a v u

a v v

3 4lim

2 15

n

n n u

Trang 10

n n

A. Nếu limu   và limv n n a thì 0 limu v n n 

B. Nếu limu n a và limv0 n   thì lim n 0

n

u v

Trang 11

(I) limn   k với k nguyên dương.

(II) limq   nếu n q 1.

(III) limq   nếu n q 1

Trang 12

A.

2 2

2

n

n u

1 2

n

n u

Câu 26 Tìm giới hạn lim3 2

3

n I

Trang 13

1lim

n n



Câu 32 Tính giới hạn lim4 2018

n n

lim

1 2

n n

Trang 14

n I

lim

2

n n



 ;

33

n

v n



 . Tính lim

n n

Trang 15

Câu 54 Cho dãy số  u n với 1 2 3 2

1

n

n u

2lim

Trang 16

n

 

2 2

3lim

1 2

n n

Trang 17

Trang 18



Trang 19

5

n n

u u

124,3

A. limu  n 1 B. limu  n 4 C. limu  n 12 D. limu  n 3.

Câu 110 Cho cấp số cộng  u n có số hạng đầu u 1 2 và công sai d 3. Tìm lim

Câu 111 Cho dãy số  u n thỏa mãn u n n2018 n2017 ,   Khẳng định nào sau đây sai? n *

A. Dãy số  u n là dãy tăng B. lim n 0

u u



 

Trang 20

2018

n

n u

Câu 119 Tam giác mà ba đỉnh của nó là ba trung điểm ba cạnh của tam giác ABC được gọi là tam giác

trung bình của tam giác ABC.

Ta xây dựng dãy các tam giác A B C A B C1 1 1, 2 2 2, A B C3 3 3, sao cho A B C1 1 1 là một tam giác đều cạnh bằng 3 và với mỗi số nguyên dương n 2, tam giác A B C n n n là tam giác trung bình của tam giác A B C n1 n1 n1. Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu S n tương ứng là diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác A B C n n n. Tính tổng SS1S2 S n ?

Trang 21

2017

201820182017

n

n n u

1 , 12

u   u a    n Biết rằng

1 2lim u u  u n2n b Giá trị của biểu thức T ab là

A. 67m; 69m  B. 60m; 63m  C. 64m; 66m  D. 69m; 72m 

Câu 125 Cho hai dãy số    u n , v n đều tồn tại giới hạn hữu hạn. Biết rằng hai dãy số đồng thời thỏa mãn

các hệ thức u n1 4v n 2,v n1 u n với mọi 1   n . Giá trị của giới hạn lim n 2 n

bóng chuyền hơi từ tầng ba, độ cao 8m so với mặt đất và thấy rằng mỗi lần chạm đất thì quả bóng

lại nảy lên một độ cao bằng ba phần tư độ cao lần rơi trước. Biết quả bóng chuyển động vuông góc với mặt đất. Khi đó tổng quảng đường quả bóng đã bay từ lúc thả bóng đến khi quả bóng

không máy nữa gần bằng số nào dưới đây nhất?

Trang 22

Câu 128 Với mỗi số nguyên dương n , gọi s là số cặp số nguyên n x y;  thỏa mãn x2y2 n2. (nếu

 

Trang 23

I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

I Định nghĩa

1 Định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số

- Định nghĩa 1: Ta nói dãy số  u n có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu u có thể nhỏ hơn n

2 Định nghĩa giới hạn vô cực của dãy số

n n

a v u

a v v

1 Định nghĩa dãy số có giới hạn 0:

Bài 1 GIỚI HẠN DÃY SỐ

• Chương 4 GIỚI HẠN

• |FanPage: Nguyễn Bảo Vương

Trang 24

Định nghĩa: Ta nói rằng dãy số U n có giới hạn 0 , nếu với mọi số dương nhỏ bao nhiêu tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó.

Khi đó ta viết lim u n 0 hay u  hay n 0 lim n 0

n u

  Bằng cách sử dụng các kí hiện toán, định nghĩa trên có thể viết như sau:

limu n0   0,n :nn  u n 

Nhận xét:

- Dãy số U n có giới hạn 0 khi và chỉ khi dãy số U n có giới hạn 0 .

- Dãy số không đổi U n , với U  thì dãy số có giới hạn n 0 0 .(hay lim 0 ) 0

2 Một số dãy số có giới hạn 0

10

lim

n 

10

m

n n

Trang 25

Câu 2 Chứng minh rằng dãy số sau có giới hạn là 0

a.u  n 0, 992n b  1 cos 1

2 1

n n

n u

2.sin1

n

n u

n





n u

2.sin1

n

n u

n



 2

u u

  với mọi n

b. Chứng minh rằng: 2

3

n n

u    

 

n

u      

 

c. Theo b. Ta có

Trang 26

n n u

Trang 27

 Ta nói rằng dãy số  u n có giới hạn là số thực L, nếu limu nL0.

 Kí hiệu: limu nL0limu nL

Ii Định lý:

 Cho  u n mà u n c,n:limu n c

 Định lý 1:

3 3

limlim

lim

n n

Trang 28

Câu 3 Chứng minh rằng 6 2

5

n n

TH2: Khi đưa n k ra ngoài dấu căn mà giới hạn vẫn vô định (mẫu tiến đến 0) thì ta phải nhân và chia với biểu thức liên hợp của biểu thứa chứa căn tiến về 0.

-Khi u không là phân thức: n u có dạng n A B, AB,3 A3B thì ta nhân và chia với lượng liên hợp đưa về dạng phân thức

Trang 29

Chú ý rằng: Nếu limu n thì a limu n1limu n2  a

Cách 1: Dùng sai phân thu gọn u , dựa vào đó tìm lim n u n

Cách 2: Sử dụng định lí kẹp: Cho ba dãy số     u n , v n , wn thỏa mãn v nu n wn với mọi n và

4

n n n



3 2

n n n

4

n n n



2 3lim

1 1

41

n n n

lim

5 32

4 3

n n



14.3 7lim

Trang 30



113lim413

2 17

n n n n

n n

1 2

111

11

1 2

1 22

11

4 51

Trang 31

4 2 3lim

Trang 33

a)  2  2 2

2

32

Trang 35

n n n



.

Trang 36

44

Trang 37

;2

11

2

n n

Trang 38

n n





 Thật vậy theo bài ra và giả thiết quy nap ta có 1 2 1 2 1 2

k

k u

n . Vậy limu n1.

Trang 39

1 2

1

1; 22

n n n

2

n n

Trang 40

u nên theo nguyên lý giới hạn kẹp suy ra limu n1 0 limu n 1

Trang 41





 ta được nghiệm dương L2 Vậy limu  n 2

1 3

201912

n n

n

u u

12

L L





 ta được L 2. Vậy limu n 2.

Câu 40 Cho hình vuông cạnh bằng a. Người ta lấy bốn trung điểm các cạnh của hình vuông trên để được

hình vuông nhỏ hơn nằm bên trong hình vuông bên ngoài. Quy trình làm như vậy diễn ra tới vô hạn. Tính diện tích tất cả hình vuông có trong bài toán.

a

S  Cứ tiếp tục như vậy ta có:

Trang 42

S 

Cạnh hình vuông thứ hai là 1

4 nên diện tích 2

116

Trang 43

Dạng 3: Dãy số có giới hạn vô hạn

I Dãy số có giới hạn vô han (vô cực, vô cùng)

Định nghĩa giới hạn vô cực của dãy số

- Ta nói dãy số  u có giới hạn là n  khi  n , nếu u có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một n

Kí hiệu: limu n   hay u n   khi  n

Một số giới hạn đặc biệt và định lí về giới hạn vô cực

n n

a v u

a v v

.

Trang 44

c. Ta có: nsin 2n n 1 mà limn1  limnsin 2n .

3 4lim

34

Trang 45

Câu 5 Tìm giới hạn của dãy số  u n với

2 15

n

n n u

Trang 46

n n

Trang 47

40

u q

Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

Hoặc Facebook: Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong

Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TOÁN)  https://www.facebook.com/groups/703546230477890/

Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương

Trang 48

TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11 Điện thoại: 0946798489

PHẦN 2 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1 Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?

A. Nếu limu   và limv n n a thì 0 limu v n n 

B. Nếu limu n a và limv0 n   thì lim n 0

n

u v

Nếu limu n a và limv0 n0 thì lim n

n

u v

Câu 4 Cho các dãy số    u n , v n và limu n a, limv n   thì lim n

Dùng tính chất giới hạn: cho dãy số    u n , v n và limu n a, limv n   trong đó a hữu hạn thì lim n 0

Trang 49

(II) limq   nếu n q 1.

(III) limq   nếu n q 1

Lời giải Chọn D

(I) lim k

n   với k nguyên dương  I là khẳng định đúng.

(II) limq   nếu n q 1 II là khẳng định sai vì limq  nếu n 0 q  1

(III) limq   nếu n q 1III là khẳng định đúng.

Ta có

11

3

n n

n

Trang 50

n n

.

n n

Lời giải Chọn B

Trang 51

Câu 16 Tính giới hạn lim 2 12

2

n L

2

n

n u

1 2

n

n u

 Xét đáp ánA.

2

21

2 3 1

n I

2

2 3lim

3 12

n

n n n

3 12

Trang 52

Câu 19 Tìm limu biết n 21 21 21

Trang 53

21lim11







n n

Trang 54

Ta có

12

lim

20183

n n







23

Ta có

119



n .

Lời giải Chọn C

Có limn 1 lim1 lim1 1

1lim

n n



Lời giải

Ta có

2 2

1lim

n n

12

n n







12

 

n n

Trang 55

Ta có

20184

lim

1 2

n n



 bằng

2

32

Trang 56

Lời giải Chọn A

2 2

2

11

Ta có

35

Ta có:

3

3lim

2

n n n

3lim

Trang 57

Ta có

12

Ta có

310



 bằng

12

11







n n

.

Câu 44

2 2

lim

2

n n



2

13



 ;

33

n

v n



 . Tính lim

n n

u

v

Trang 58

Ta có lim n

n

u I

v



11lim33

n n







31lim

1

3 1

n n

Trang 59

2 2

Trang 60

D. limu  n 1.

n n n







12

Trang 61

Chọn D

2 2

n

n u

Trang 62

2lim

Trang 63

2 3

22



1 41

1 4lim

32



Lời giải

Trang 64

Ta có 2

2

13

3lim

Trang 65

C. lim n22n n2 1 D.

3 2

1 2

n n



2 2

Trang 66

n

n n n

lim

n n n

Trang 67

2

77lim

lim

1 1

n n n

25 lim

n n n



Lời giải

Trang 68

n n n

Trang 69



Lời giải

Trang 70

n

n n

1lim

Trang 71

Áp dụng limq  n 0 , q 1

Câu 96 Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ?

A. 0,999n B.  1n C. 1, 0001n D. 1, 2345n.

Do 0,999 1 nên lim 0,999 n0.

Ta có: lim 3 n4n lim 4

Trang 72

Ta có:

11

n n

Do a nguyên thuộc khoảng 0; 2019 nên  a 7;8; ; 2018.

Câu 103 Tính giới hạn T lim 16n 14n  16n 13n

Trang 73

Ta có T lim 16n 14n  16n 13

4 3lim

Ta có 2; ;2 22; ; 2 ;

3 3 3n là một cấp số nhân lùi vô hạn với công bội

113

u  q

Trang 74

5

n n

u u

5

n n

u u

124,3

1

*2

3

n n

3

n n

Trang 75

u u



 

2lim

n n

Trang 76

2018 2

a b c

2018

n

n u

Trang 77

12017

20181

n n

Tiêu đề	Một số ý tưởng tích hợp trong dạy học cấp số nhân trong chương trình Toán 11
Trường học	Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Bài giảng tự học
Năm xuất bản	2023
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	247
Dung lượng	5,24 MB