Chuyên đề 15 thiết diện quan hệ song song dap an

CHUYÊN ĐỀ VD VDC TOÁN 11 Điện thoại 0946798489 Facebook Nguyễn Vương https //www facebook com/phong baovuong Trang 1 Câu 1 Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 3 Gọi I là trung điểm của AB Trên AC lấy đ[.]

Trang 1

CHUYÊN ĐỀ VD-VDC TOÁN 11 Điện thoại: 0946798489

Câu 1 Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 3 Gọi I là trung điểm của AB Trên AC lấy điểm M sao

cho MC2MA Gọi   là mặt phẳng qua M và song song với mặt phẳng DIC Thiết diện tạo bởi mặt phẳng  và tứ diện ABCD có chu vi bằng bao nhiêu?

+) Dễ thấy, thiết diện tạo bởi mặt phẳng   và tứ diện ABCD là tam giác MNP

Các tam giácABC ABD, đều cạnh bằng 3 nên các đường cao 3 3

.2

Câu 2 Cho hình chóp S ABCDcó các cạnh bên bằng nhau, đáy ABCD là hình vuông, AB20cm Gọi

Chuyên đề 15 THIẾT DIỆN - QUAN HỆ SONG SONG

• |FanPage: Nguyễn Bảo Vương

Trang 2

Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/

Trong mặt phảng (SAB) kẻ đường thẳng qua M song song với AB cắt SB tại N

Trong mặt phẳng (SAC) kẻ đường thẳng qua M song song với AC cắt SC tại P

Trong mặt phẳng (SCD) kẻ đường thẳng qua P song song với CD cắt SD tại Q

Ta có: ( )P (SAB)MN P;( )(SCD)PQ P;( )(SAD)MQ P;( )(SCB)NP Thiết diện

32

hay tứ giác MNPQ là hình vuông

Diện tích thiết diện MNPQ là: 2 2 1600 2

SMN NP AB BC cm

Câu 3 Cho tứ diện ABCD có ABCD M, là trung điểm của BC Gọi  P là mặt phẳng đi qua

M đồng thời song song với AB và CD Thiết diện của tứ diện ABCD cắt bởi  P là hình gì?

Trang 3

Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ VD-VDC TOÁN 11

  P là mặt phẳng đi qua M đồng thời song song với AB  P  ABCMN/ /AB với

Suy ra, Thiết diện của tứ diện ABCD cắt bởi  P là hình bình hành MNPQ

 Mặt khác ABCD M, là trung điểm của BC nên MN NPPQQM

Vậy thiết diện MNPQ là hình thoi

Câu 4 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M N Q lần lượt là trung điểm , ,

của các cạnh AB AD SC Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng , , MNQ là đa giác có bao nhiêu cạnh?

Lời giải Chọn C

Trang 4

 Ta có MNP  SBCPE, gọi PE cắt SB tại F

 Ta có MNP  SABFM

 Ta có MNP  SCDPQ , gọi PQ cắt SD tại K

 Ta có MNP  SADNK

 Vậy thiết diện là ngũ giác có 5 cạnh

Câu 5 Cho tứ diện ABCD Điểm M thuộc đoạn AB không trùng với điểm A và B Mặt phẳng  P

đi qua M song song với AC và BD Thiết diện của mặt phẳng  P với hình chóp là

A Hình vuông B Hình bình hành C Hình chữ nhật D Hình tam giác

Lời giải Chọn B

Vì  P đi qua M và song song với AC nên   P  ABCMN với MN / /AC N, BC

Vì  P đi qua N và song song với BD nên   P  BCDNP với NP/ /BD P, DC

Vì  P đi qua P và song song với AC nên   P  ACDPQ với PQ/ /AC Q, AD

Ta có   P  ACDPQ

Vậy thiết diện của mặt phẳng  P với hình chóp là hình bình hành MNPQ vì

/ / ; / /

NP MQ QP MN

Câu 6 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, SCa Gọi M là điểm di động trên

cạnh SC, đặt SM x0xa Mặt phẳng  P đi qua điểm M, song song với SA và BD

Tìm tất cả các giá trị của x để mặt phẳng  P cắt hình chóp S ABCD theo thiết diện là một ngũ giác

Trang 5

 Ta có vì  P  SA nên M không trùng với S,  P  BD nên M không trùng với trung điểm của SC

Mặt khác nếu M trùng với C thì  P chỉ có điểm C là điểm chung duy nhất với các mặt của hình chóp, suy ra M không trùng với C

 giao tuyến của  P và ABCD là đường thẳng qua I và song song với BD

 Mặt khác ta thấy: nếu I thuộc đoạn OC thì giao tuyến của  P và ABCD sẽ cắt BC và

CD tạo nên thiết diện là một tam giác Do đó để thiết diện là ngũ giác thì Ithuộc đoạn OA và không trùng O Mà MI  SA 1

Trang 6

Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra thiết diện cần tìm là tứ giác MNPQ

Vì M là trung điểm của AC và MN // AB NP, // CD MQ, // CD nên N P Q, , lần lượt là trung điểm của BC BD, và AD

Khi đó

1 // ,

//

2

.1

Câu 8 Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Mặt phẳng

GCDcắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích là

A

2

32

a

2

26

a

2

34

a

2

24

a

Lời giải Chọn D

Gọi M N lần lượt là trung điểm, AB CD ,

Trang 7

Mặt phẳng GCDcắt tứ diện theo thiết diện là tam giácMCD

Do tứ diện đều ABCD cạnh a nên 3

2

a

MCMD Tam giác MCD cân tại M nên MN vừa là đường cao vừa là trung tuyến

Xét tam giác MNC vuông tại N có

Câu 9 Cho tứ diện đều ABCD Gọi I J, lần lượt thuộc các cạnh AD BC, sao cho IA2ID JB, 2JC

Gọi  P là mặt phẳng qua IJ và song song với AB Thiết diện của  P và tứ diện ABCD là

A Tam giác đều B Hình bình hành C Hình tam giác D Hình chữ nhật

  P và ABD có I chung và  P //AB  giao tuyến của  P và ABD là đường thẳng d1

qua I và song song với AB Gọi M d1BD

  P và ABC có J chung và  P //AB  giao tuyến của  P và ABC là đường thẳng d2

qua J và song song với AB Gọi Nd2BC

 Thiết diện của  P và tứ diện ABCD là tứ giác IMJN

Câu 10 Cho tứ diện ABCD Điểm M thuộc đoạn AC (M khác A và C) Mặt phẳng    đi qua M

song song với AB và AD Thiết diện của tứ diện ABCD bị cắt bởi mặt phẳng    là hình gì?

A Hình tam giác B Hình vuông C Hình chữ nhật D Hình bình hành

Lời giải Chọn A

Trang 8

Vậy thiết diện của    và tứ diện ABCD là tam giác MNP

Câu 11 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thang,AB CD// và AB 12 Gọi M N lần lượt là trung ,

điểm của AD BC và , G là trọng tâm tam giác SAB Tìm độ dài đoạn CD để thiết diện của hình chóp S ABCD khi cắt bởi mặt phẳng MNG là hình bình hành

 Ta có MN là đường trung bình của hình thang ABCD nên MN AB// ;

Trang 9

 Theo đề hình thang MNPQ là hình bình hành khi và chỉ khi MN PQ

a

2 112

a

C

2 114

a

2 34

a

Tam giác BCD có N là trung điểm của BC và P là trọng tâm nên N, P, D thẳng hàng Thiết diện cần tìm là tam giác MND cân tại D (vì DM DNa 3)

Ta có:

P N M A

Trang 10

Câu 14 Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng a Trên cạnh BC, CD lần lượt lấy M, N sao cho

12

MC

MB  ,

23

CN

CD Trên trung tuyến AH của tam giác ABD lấy điểm P sao cho

45

a

2

1112

a

+) Trong BCD, gọi FMNBD;

+) Trong ABD, gọi GFPAD và KFPAB;

+) Suy ra, thiết diện khi cắt tứ diện ABCD bởi mặt phẳng MNP là tứ giác MNGK

+) Gọi E là trung điểm CN Dễ thấy: NEM  NDF(g – c – g)

Trang 11

DN

DC  (gt)

Nên NG CA// (theo Thales đảo)

+) Xét hai mặt phẳng MNGK và ABC có điểm chung là M và lần lượt chứa hai đường thẳng NG CA// (chứng minh trên), nên giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường thẳng đi qua

M và song song với NG và CA (giao tuyến đó theo cách dựng bạn đầu thì chính là MK) Suy

ra MK NG CA// // Do đó thiết diện MNGK là hình thang  1

a

2

516

a

Lời giải Chọn A

 Gọi H là trung điểm của SA thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng IJK là hình

Trang 12

Câu 16 Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng 1 Gọi I là trung điểm của AC , J là điểm trên cạnh

AD sao cho AJ 2JD  P là mặt phẳng chứa IJ và song song với AB Tính diện tích thiết diện khi cắt tứ diện bởi mặt phẳng  P

Câu 17 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang AB CD Gọi I, J lần lượt là trung

điểm của các cạnh AD, BC và G là trọng tâm của tam giác SAB Biết thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng IJG là hình bình hành Khẳng định nào sau đây đúng?

Trang 13

Do I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, BC nên IJ là đường trung bình của hình thang ABCD Do đó IJ  AB  CD và

2

AB CD

IJ  Xét hai mặt phẳng IJG và  SAB có điểm  G chung và IJ  AB nên IJG  SABd

với d là đường thẳng đi qua G và song song với AB

Gọi M, N lần lượt là giao điểm của d với SA và SB Theo bài ra ta có MNJI là hình bình hành nên

3

MN  AB 2

BC a AB ADDCa a 0 Mặt bên SBC là tam giác đều Gọi O là giao điểm của AC

và BD Biết SD vuông góc với AC M là một điểm thuộc đoạn OD sao cho MDx với 0

x  , M khác O và D Mặt phẳng    qua M và song song với hai đường thẳng SD và AC

cắt khối chóp S ABCD theo một thiết diện Tìm x để diện tích thiết diện lớn nhất

Trang 14

 Từ M kẻ đường thẳng d song song với AC Gọi HdAD I, dCD

 Từ M kẻ đường thẳng d' song song với SD cắt SB tại K

 Từ H kẻ đường thẳng d'' song song với SD cắt SA tại L

 Từ I kẻ đường thẳng d''' song song với SD cắt SC tại J

Ta được thiết diện của hình chóp S ABCD cắt bởi mặt phẳng    là ngũ giác HIJKL

Trang 15

a

23 4

a

22 8

a

D

22 4

a

G là trọng tâm tứ diện đều ABCD

32

Câu 20 Cho hình chóp S ABCD có tất cả các cạnh đều bằng 8 Gọi M là trung điểm của cạnh SBvà N

là một điểm bất kỳ thuộc cạnh CD sao cho CNx0x8 Mặt phẳng    chứa đường thẳng MN và song song đường thẳng AD cắt hình chóp S ABCD theo một thiết diện có diện tích nhỏ nhất bằng:

Trang 16

Vậy S PMINmin 12 2

Câu 21 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn là AB và AB2CD Gọi

, , ,

I J K H lần lượt là điểm trên cạnh SA AB CD SD , , , thoả mãn 1

;3

SI  SA JA2JB; 3 ;

2

CD CK SH 2DH Gọi O là giao điểm của AC và BD Khẳng định

nào sau đây là sai?

8 I

P M

Trang 17

A IJK  ABCDOK

B IJO  SBDOH

C IHC  SBCCE, với E là trung điểm của SB

D Thiết diện của hình chóp S ABCD khi cắt bởi mặt phẳng IJK là một hình thang 

Từ đó suy ra: , ,O K J thẳng hàng hay A đúng

Tương tự, ta cũng dễ dàng chứng minh được: OH // IJ ( do OH // SBvà IJ // SB) suy ra

 

H IJO nên IJO  SBDOH hay B đúng

Gọi F là trung điểm của SA Khi đó: 2 //

3

SI SH

IH DF

SF  SD   Mà tứ giác CDFE là hình bình hành nên CE // DF Từ đó suy ra: IH // CEEIHC nên IHC  SBCCE hay C đúng

Ta lại có: tứ giác IJKH là thiết diện của hình chóp S ABCD khi cắt bởi mặt phẳng IJK và nó không là hình thang

Câu 22 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang AD/ /BC Gọi M N P lần lượt là trung , ,

điểm của SB,CD và AC Hãy cho biết thiết diện của hình chóp S ABCD khi cắt bởi mặt phẳng

MNP là hình gì?

A Hình bình hành B Hình thang C Hình chữ nhật D Hình tam giác

Trang 18

Trong mp ABCD, gọi ENPAB

Khi đó : MNP  ABCDNE và MNP  SABEM (1)

Xét ACD có P,N lần lượt là trung điểm của AC,CD NP/ /AD/ /BC

Ta có: NP BC// ; NPMNP; BCSBC; MMNP  SBC, qua M kẻ đường thẳng

song song với BC cắt SC tại F

Khi đó : MNP  SBCMF

và MNP  SCDFN (2)

Từ (1) và (2), thiết diện của hình chóp là tứ giác MENF

Tứ giác MENF có MF EN// nên MENF là hình thang

Câu 23 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thang, AB CD , // AB2CD Điểm M thuộc cạnh AD

(M không trùng với A và D) sao cho MA x

MD Gọi   là mặt phẳng qua M và song song với

SA và CD Tìm x để diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng   bằng một nửa

diện tích tam giác SAB

nên giao tuyến của   và mpABCD là đường thẳng đi qua M

và song song với CD , đường thẳng này cắt CB tại Q

Trang 19

nên giao tuyến của   và mpSAD là đường thẳng đi qua  M và

song song với SA , đường thẳng này cắt SD tại N

nên giao tuyến của   và mpSCD là đường thẳng đi qua N và

song song với CD , đường thẳng này cắt SC tại P

Ta có MQ CD PN CD// , // nên PN MQ// Do đó tứ giác MNPQ là hình thang

Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng   là hình thang MNPQ

Gọi E là giao điểm của MN và PQ

Câu 24 Cho tứ diện ABCD Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của AB , BC và CD Thiết diện của tứ

diện cắt bởi MNP là hình gì trong các hình sau:

A.Hình chữ nhật B Hình thang C Hình thoi D Hình bình hành

Trang 20

* Ta có:      

1 2

Câu 25 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Tam giác SCD là tam giác đều

Gọi M N Q lần lượt là trung điểm của , , AD BC và , SA Diện tích của thiết diện của hình chóp

a

2

316

Trang 21

Xét hai mặt phẳng SAB và MNQ có MN//AB ( M N lần lượt là trung điểm của , AD BC ); ,

và Q là một điểm chung nên giao tuyến là đường thẳng đường thẳng Qx song song với AB cắt

SB tại P

Giao tuyến của 2 mặt phẳng MNQ và SAB là PQ

Giao tuyến của 2 mặt phẳng MNQ và SAD là MQ

Giao tuyến của 2 mặt phẳng MNQ và ABCD là MN

Giao tuyến của 2 mặt phẳng MNQ và SBC là PN

Suy ra, thiết diện của hình chóp S ABCD cắt bởi mặt phẳng MNQ là tứ giác MNPQ

Ta có M N lần lượt là trung điểm của , AD và BC nên MNABa

P và Q lần lượt là trung điểm của SB và SA nên 1

MQNP nên MNPQ là hình thang cân

Gọi H K lần lượt là hình chiếu của ,, P Q xuống MN

Tứ giác PQKH có 3 góc vuông nên PQKH là hình chữ nhật

Trang 22

Tam giác QKM vuông tại K nên

2

a a a

Câu 26 Cho tứ diện đều SABC Gọi I là trung điểm của AB, M là một điểm di động trên đoạn AI

Gọi  P là mặt phẳng qua M và song song với SIC Thiết diện tạo bởi  P và tứ diện SABC

là

A Hình bình hành B Tam giác cân tại M

C Tam giác đều D Hình thoi

Qua M kẻ MN IC N//  AC,MP SI P//  SA

Suy ra: MNP // SIC  P  MNP

Khi đó, mặt phẳng  P cắt hình chóp theo thiết diện là MNP

Vì I là trung điểm của ABSIIC (1)

Từ (1), (2), (3) suy ra MPMN MNP cân tại M

Câu 27 Cho hình chóp S ABCD có đáy là tứ giác lồi, O là giao điểm của đường chéo AC và BD Thiết

diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng qua O, song song với AB và SC là hình gì?

A Tứ giác không có cặp cạnh nào song song B Tứ giác có đúng một cặp cạnh song song

C Hình bình hành D Tam giác

Trang 23

Gọi    là mặt phẳng qua O, song song với AB và SC

   và ABCD có điểm O chung

Câu 28 Cho tứ diện ABCD M là điểm nằm trong tam giác ABC mp,    qua M và song song với AB

và CD Thiết diện của ABCD cắt bởi mp α  là

A Tam giác B Hình chữ nhật C Hình vuông D Hình bình hành

M

N

Q P

D

O A

C B

S S

Trang 24

Tương tự trong mp BCD , qua E vẽ EH DC//   2 HBD suy ra      BCDHE

Trong mp ABD , qua H vẽ HG AB//   3 GAD, suy ra      ABDGH

Thiết diện của ABCD cắt bởi    là tứ giác EFGH

Ta có    

ADC FG

FG DC DC

Câu 29 Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD và ABa CD, b Gọi I J, lần lượt là trung

điểm của AB và CD, điểm M thuộc đoạn IJ sao cho 1

Vì    //AB   cắt ABJ theo giao tuyến qua M và song song với AB

Gọi NT      ABJ,NAJ T, BJ

Mặt khác    //CD   cắt các mặt phẳng ACD , BCD lần lượt theo các giao

tuyến qua N T, và song song với CD

Câu 30 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, mặt bên SAB là tam giác vuông tại

A, SA a 3, SB2a Điểm M nằm trên đoạn AD sao cho AM 2MD Gọi  P là mặt

phẳng qua M và song song với SAB Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng 

 P

Tiêu đề	Chuyên đề 15 Thiết diện - Quan hệ song song
Trường học	Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội
Chuyên ngành	Toán Học
Thể loại	Bài báo nghiên cứu
Năm xuất bản	2023
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	49
Dung lượng	1,55 MB