sach bai tap toan 10 bai tap cuoi chuong 4 ket noi tri thuc

Bài tập cuối chương 4 Trang 66 A Trắc nghiệm Bài 4 39 trang 66 SBT Toán 10 Tập 1 Cho hình bình hành ABCD tâm O Xét các vectơ có hai điểm mút lấy từ các điểm A, B, C, D và O Số các vectơ khác vectơ khô[.]

Bài tập cuối chương 4 Trang 66

A Trắc nghiệm

Bài 4.39 trang 66 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD tâm O Xét các

vectơ có hai điểm mút lấy từ các điểm A, B, C, D và O Số các vectơ khác vectơ - không và cùng phương với AC là:

A Hai vectơ AB và CB cùng hướng;

B Hai vectơ CA và BC cùng hướng;

C Hai vectơ AB và AC cùng hướng;

D Hai vectơ AC và BA cùng hướng

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Vì B nằm giữa A và C nên ta có:

• AB và CB ngược hướng Do đó phương án A sai

• CA và BC ngược hướng Do đó phương án B sai

• AB và AC cùng hướng Do đó phương án C đúng

• AC và BA ngược hướng Do đó phương án D sai

Vậy ta chọn phương án C

Trang 67

Bài 4.41 trang 67 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi K, L,

M, N tương ứng là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA Trong các vectơ có đầu mút lấy từ các điểm A, B, C, D, K, L, M, O, có bao nhiêu vectơ bằng vectơ AK?

Mà O là tâm hình bình hành nên O là trung điểm của AC và BD

Do đó đường trung bình NL đi qua O

Và NO = OL = 1NL 1AB 1CD

2  2  2

Suy ra AK = KB = NO = OL = DM = MC

Khi đó các vectơ bằng vectơ AK là: KB,OL,DM,MC

Vậy có 4 vectơ bằng vectơ AK

Ta chọn phương án C

Bài 4.42 trang 67 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình thoi ABCD có độ dài các cạnh bằng

1 và DAB 120   Khẳng định nào sau đây là đúng?

A ABCD;

B BDAC;

C BD 1;

Vì ABCD là hình thoi có cạnh bằng 1 nên AD = AB = 1

Xét ABD có AB = AD = 1 và DAB 120 ,  áp dụng định lí cosin ta có:

BD2 = AD2 + AB2 – 2.AD.AB.cos DAB

 BD2 = 12 + 12 – 2.1.1.cos120°

 BD2 = 3

 BD = 3

Khi đó BD BD 3.

Do đó phương án C là sai

• Xét phương án D:

Vì ABCD là hình thoi có cạnh bằng 1 nên AD = CD = 1

Mặt khác DAB 120  nên ADC 180  DAB 180  120  60

Tam giác ADC có AD = DC nên là tam giác cân lại có ADC 60

Suy ra ADC là tam giác đều

 AC = AD = CD = 1

Khi đó AC AC 1.

Do đó phương án D là đúng

Bài 4.43 trang 67 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC đều, trọng tâm G, có độ

dài các cạnh bằng 3 Độ dài của vectơ AG bằng

Tam giác ABC đều có cạnh bằng 3 nên AB = AC = 3 và BAC 60  

Gọi M là trung điểm của BC

Vậy ta chọn phương án A

Bài 4.44 trang 67 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A và AB = 3,

AC = 4 Độ dài của vectơ CB AB bằng

Do đó B là trung điểm của AE

Bài 4.45 trang 67 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 2, BC = 4 và

ABC 60 Độ dài của vectơ AC BA bằng

Hình bình hành ABDC có BAC 90 nên là hình chữ nhật

Do đó AD = BC (hai đường chéo bằng nhau)

AC BA AD BC 4

Vậy ta chọn phương án C

Bài 4.46 trang 67 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC và điểm I sao cho

IB 2IC 0. Khẳng định nào sau đây là một khẳng định đúng?

A AI2AC AB;

B AIAB 2AC;

Gọi M là trung điểm của BI

Khi đó M là trung điểm của BI, I là trung điểm của MC

Vì I là trung điểm của MC nên ta có:

Bài 4.47 trang 68 SBT Toán 10 Tập 1: Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC và M

là trung điểm cạnh BC Khẳng định nào sau đây là một khẳng định đúng?

Vì M là trung điểm của BC nên AB AC 2AM

Mà G là trọng tâm của tam giác ABC nên AG = 2

Bài 4.48 trang 68 SBT Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–

3; 1), B(2; −1), C(4; 6) Trọng tâm G của tam giác ABC có toạ độ là

Bài 4.49 trang 68 SBT Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–

3; 3), B(5; −2) và G(2; 2) Toạ độ của điểm C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC là

A (5; 4);

B (4; 5);

Bài 4.50 trang 68 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình vuông ABCD với độ dài cạnh bằng

a Tích vô hướng AB.AC bằng:

Vì ABCD là hình vuông nên ABC vuông cân tại B

Bài 4.51 trang 68 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hai vectơ a,b cùng khác 0 Khi đó

a.b a b tương đương với

A a và b cùng phương;

B a và b ngược hướng;

C a và b cùng hướng;

D ab

Bài 4.52 trang 68 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hai vectơ a,b cùng khác 0 Khi đó

a.b a b tương đương với

Bài 4.53 trang 68 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 1, BC = 2 và

ABC 60 Tích vô hướng BC.CA bằng

Ta có: BC.CA= BC.CA.cosBC,CA

Kéo dài tia BC ta được tia Cx

Khi đó: BC,CAACx

Tam giác ABC có AB = 1, BC = 2

Nên AB = 1

2BC

Bài 4.54 trang 69 SBT Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm

A(2; −1), B(–1; 5) và C(3m; 2m –1) Tất cả các giá trị của tham số m sao cho AB ⊥

Bài 4.55 trang 69 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A với AB = 1,

AC = 2 Lấy M, N, P tương ứng thuộc các cạnh BC, CA, AB sao cho 2BM = MC, CN

= 2NA, AP = 2PB Giá trị của tích vô hướng AM.NP bằng

Hình bình hành ANMP có MN = AN nên là hình thoi

Khi đó hai đường chéo AM và PN vuông góc với nhau

AM NP

  AM.NP0

Vậy ta chọn phương án C

Bài 4.56 trang 69 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC đều các cạnh có độ dài

bằng 1 Lấy M, N, P lần lượt thuộc các cạnh BC, CA, AB sao cho BM = 2MC, CN =

Vậy AP 5

AB12

Ta chọn phương án A

Bài 4.57 trang 69 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC đều có độ dài các cạnh

bằng 3a Lấy điểm M thuộc cạnh BC sao cho MB = 2MC Tích vô hướng của hai vectơ

1 9 1

a 3a

9 2 9

Bài 4.59 trang 70 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi M,

theo thứ tự là trung điểm của BC, AD Gọi I, J lần lượt là giao điểm của BD với AM,

CN Xét các vectơ khác 0, có đầu mút lấy từ các điểm A, B, C, D, M, N, I, J, O

a) Hãy chỉ ra những vectơ bằng vectơ AB; những vectơ cùng hướng với AB

b) Chứng minh rằng BI = IJ = JD

Lời giải:

a) ABCD là hình bình hành có M, N lần lượt là trung điểm của BC, AD

Nên MN là đường trung bình của hình bình hành

 MN // AB // DC và MN = AB = DC

 ABDCMN

Vậy những vectơ bằng vectơ AB là: AB;DC;MN

Lại có O là tâm hình bình hành nên O là trung điểm của AC và BD

Do đó NO là đường trung bình của ADC

 NO // DC

Chứng minh tương tự ta cũng có OM // DC

Do đó ba điểm M, O, N thẳng hàng

Vậy những vectơ cùng hướng với AB là: AB, NO,OM, NM,DC

b) Xét tam giác ABC có: AM, BO là hai đường trung tuyến của tam giác

Bài 4.60 trang 70 SBT Toán 10 Tập 1: Trên cạnh BC của tam giác ABC lấy các điểm

M, N không trùng với B và C sao cho BM = MN =NC

a) Chứng minh rằng hai tam giác ABC và AMN có cùng trọng tâm

b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC Đặt GBuvà GCv Hãy biểu thị các vectơ sau qua hai vectơ u và v : GA, GM, GN

Lời giải:

a) Giả sử G, G' lần lượt là trọng tâm của ABC, AMN

Sử dụng kết quả của Ví dụ 3, Bài 9 (trang 53, Sách bài tập, Toán 10, Tập một) ta có:

Suy ra điểm G và G' trùng nhau

Do đó hai tam giác ABC và AMN có cùng trọng tâm

b) • Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên GA GB GC 0  

GA GB GC

a) Tính tích vô hướng AB.AC, AB.BC

b) Lấy các điểm M, N thoả mãn 2AM 3MC 0 và NB xNC 0  (x ≠ –1) Xác định x sao cho AN vuông góc với BM

Vậy AB.AC 10, AB.BC 6.

Bài 4.62 trang 70 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD Gọi M, N theo

thứ tự là trung điểm các cạnh AB, CD Lấy P thuộc đoạn DM và Q thuộc đoạn BN sao cho DP = 2PM, BQ = xQN Đặt ABu và ADv

a) Hãy biểu thị các vectơ AP, AQ qua hai vectơ u và v

Bài 4.63 trang 70 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC với trọng tâm G Lấy điểm

A', B' sao cho AA 2BC, BB 2CA Gọi G' là trọng tâm của tam giác A'B'C Chứng

minh rằng GG' song song với AB

Suy ra GG' // AB (do G và G' không nằm trên đường thẳng AB)

Bài 4.64 trang 70 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tứ giác lồi ABCD không có hai cạnh nào

song song Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm AB, CD Gọi K, L, M, N lần lượt là trung điểm của AF, CE, BF, DE

a) Chứng minh rằng tứ giác KLMN là một hình bình hành

b) Gọi I là giao điểm của KM, LN Chứng minh rằng E, I, F thẳng hàng

Lời giải:

• Vì E là trung điểm của AB nên AEEB

F là trung điểm của CD nên FC DF.

• Vì K là trung điểm của AF, L là trung điểm của CE, theo kết quả của Bài tập 4.12, trang 58, Toán 10, Tập một, ta có:

2KLAEFCEB DF

Bài 4.65 trang 70 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình thang vuông ABCD có

DABABC 90 , BC = 1, AB = 2 và AD = 3 Gọi M là trung điểm của AB

a) Hãy biểu thị các vectơ CM, CM theo hai vectơ AB và AD

b) Gọi N là trung điểm CD, G là trọng tâm tam giác MCD, và I là điểm thuộc cạnh CD sao cho 9IC = 5ID Chứng minh rằng A, G, I thẳng hàng

c) Tính độ dài các đoạn thẳng AI và BI

Lời giải:

a) Vì M là trung điểm của AB nên BM 1BA 1AB

Gọi E là hình chiếu của C trên AD Khi đó CEA 90

Tứ giác ABCE có DABABCCEA 90 nên là hình chữ nhật

Vì I thuộc cạnh CD nên hai vectơ IC và ID ngược hướng nhau

Lại có 9IC = 5ID nên 9IC 5ID hay IC 5ID

Do đó ta có: 196AI2 = 81AB2 + 64AD2

Bài 4.66 trang 71 SBT Toán 10 Tập 1: Cho bốn điểm A, B, C, D trong mặt phẳng

Chứng minh rằng AB.CD BC.AD CA.BD  0

Lời giải:

Vậy AB.CDBC.AD CA.BD 0.

Bài 4.67 trang 71 SBT Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba vectơ a

= (1; 2), b = (3; –4), c = (–5; 3)

a) Tính các tích vô hướng a.b, b.c, c.a

b) Tìm góc giữa hai vectơ a và bc

Vậy góc giữa hai vectơ a và bc khoảng 143°7'48''

Bài 4.68 trang 71 SBT Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–

Vì 3 3 1

7  3 

 nên hai vectơ AB và AC không cùng phương

Do đó ba điểm A, B, C không thẳng hàng

Vậy A, B, C là ba đỉnh của một tam giác

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:

 G

b) *Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC:

Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên AH ⊥ BC và BH ⊥ AC Hay AH.BC 0 và BH.AC 0

Giả sử H(x; y) là tọa độ trực tâm tam giác ABC

* Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC:

Theo kết quả phần a) của Bài 4.15, trang 54, Sách Bài tập, Toán 10, tập một ta có:

AH2IM với M là trung điểm của BC

Giả sử I(a; b) là tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

a) Tìm điểm D thuộc trục hoành sao cho B, C, D thẳng hàng

b) Tìm điểm E thuộc trục hoành sao cho EA + EB nhỏ nhất

c) Tìm điểm F thuộc trục tung sao cho vectơ FA FB FC  có độ dài ngắn nhất

Lời giải:

a) Giả sử D(a; 0) là điểm thuộc trục hoành

b) Ta có: A(2; −1), B(5; 3) là hai điểm nằm về hai phía của trục hoành

Do đó với mỗi điểm E nằm trên trục hoành ta luôn có EA + EB ≥ AB Suy ra EA + EB ngắn nhất là bằng AB

Điều này xảy ra khi và chỉ khi E là giao điểm của AB và trục hoành Ox

 3 điểm A, E, B thẳng hàng

AB

 và AE là hai vectơ cùng phương

Giả sử E(b; 0) là điểm thuộc trục hoành

Với A(2; −1), B(5; 3) và E(b; 0) ta có:

c) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC

Khi đó với A(2; −1), B(5; 3) và C(–2; 9) ta có:

 G

Để vectơ FA FB FC  có độ dài ngắn nhất thì FG có độ dài ngắn nhất

Mà F là điểm nằm trên trục tung

Do đó F là hình chiếu vuông góc của G lên Oy

 Hoành độ của F là x = 0 và tung độ của F bằng với tung độ của G là y = 11

Bài 4.70 trang 71 SBT Toán 10 Tập 1: Một ô tô có khối lượng 2,5 tấn chạy từ chân

lên đỉnh một con dốc thẳng Tính công của trọng lực tác động lên xe, biết dốc dài 50

m và nghiêng 15° so với phương nằm ngang (trong tính toán, lấy gia tốc trọng trường

bằng 10 m/s²)

Lời giải:

Đổi 2,5 tấn = 2 500 kg

Trọng lực của ô tô có độ lớn bằng P = mg = 2 500 10 = 25 000 (N)

Trọng lực P của ô tô hợp với hướng chuyển dời MN một góc là:

α = 90° + 15° = 105°

Trọng lực P được phân tích thành hai thành phần P1 và P2 nên ta có:

P P P

(P1 có phương vuông góc với mặt dốc, P2 có phương song song với mặt dốc)

Ta thấy P1 không có tác dụng với chuyển dời MN của xe và P2 ngược hướng với