sach bai tap toan 10 bai 8 tong va hieu cua hai vecto ket noi tri thuc

Bài 8 Tổng và hiệu của hai vectơ Bài 4 7 SBT Toán 10 trang 50 Tập 1 Cho hai vectơ a và b không cùng phương Chứng minh rằng a b a b a b     Lời giải Giả sử ba điểm A, B, C thoả mãn a AB,b BC  Kh[.]

Bài 8 Tổng và hiệu của hai vectơ Bài 4.7 SBT Toán 10 trang 50 Tập 1:

Cho hai vectơ a và b không cùng phương Chứng minh rằng:

a  b   a b a  b

Lời giải

Giả sử ba điểm A, B, C thoả mãn: aAB, bBC

Khi đó ta có: a b ABBCAC (quy tắc ba điểm)

Do đó:

+) a  AB AB;

+) b  BC BC;

+) a  b AC AC

Mặt khác: xét tam giác ABC, theo bất đẳng thức trong tam giác ta có:

AB – BC < AC < AB + BC

Hay a  b   a b a  b

Vậy a  b   a b a  b

Bài 4.8 SBT Toán 10 trang 50 Tập 1:

Cho hình bình hành ABCD tâm O M là một điểm tuỳ ý thuộc cạnh BC, khác B và

C MO cắt cạnh AD tại N

a) Chứng minh rằng O là trung điểm MN

b) Gọi G là trọng tâm tam giác BCD Chứng minh rằng G cũng là trọng tâm tam giác MNC

Lời giải

a) Vì ABCD là hình bình hành tâm O

Nên O là trung điểm của AC và BD và ADOCBO

Xét ∆ODN và ∆OBM có:

OD = OB (do O là trung điểm của BD),

DONBOM (hai góc đối đỉnh),

NDO MBO(do ADOCBO)

 ∆ODN = ∆OBM (g.c.g)

 ON = OM (hai cạnh tương ứng)

 O là trung điểm của NM

Vậy O là trung điểm của NM

b) Vì G là trọng tâm ∆BCD nên GB GC GD0

GM MB GC GN ND 0

GM MB GC GN ND 0

GM GC GN MB ND 0

Ta có: O là trung điểm của NM (câu a), O là trung điểm của BD (câu a)

 BMDN là hình bình hành

BM ND

   MBND

MB ND 0

  

Thay vào (*) ta được GMGCGN 0 0

Do đó GMGCGN0

 G là trọng tâm tam giác MNC

Vậy G là trọng tâm tam giác MNC

Bài 4.9 SBT Toán 10 trang 50 Tập 1:

Cho tứ giác ABCD

a) Chứng minh rằng AB BC CD  DA0

b) Chứng minh rằng AB CD ADCB

Lời giải

a) Theo quy tắc ba điểm ta có:

ABBCCDDA

AD DA

 

AA



0



Vậy AB BC CD  DA0

b) Theo quy tắc ba điểm ta có:

AB CD

AD DB CB BD

AD DB CB BD

   

AD CB BD DB

AD CB BB

  

AD CB 0

AD CB

 

Vậy AB CD ADCB

Bài 4.10 SBT Toán 10 trang 51 Tập 1:

Cho tam giác ABC Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BC, CA AB

a) Xác định vectơ AF – BD CE.

b) Xác định điểm M thoả mãn AF BD CEMA

c) Chứng minh rằng MCAB

Lời giải

a) Ta có: AF – BD CE

AFDB CE



AF DB EA

   (vì E là trung điểm AC nên CEEA)

EA AF DB

EF DB

 

Vì E, F lần lượt là trung điểm của AC, AB

Nên EF là đường trung bình của tam giác ABC

 EF // BC và EF 1BC

2



Mà D là trung điểm của BC nên BD 1BC

2



Xét tứ giác EFBD có: EF // BD, EF BD 1BC

2

 EFBD là hình bình hành

Khi đó: AF – BD CE EFDB

DB DB

 

2DB



CB

 (do D là trung điểm của BC)

Vậy AF – BD CE CB. 

b) Điểm M thoả mãn AF BD CEMA

Mà AF – BD CE CB  (câu a)

Nên MACB

Do đó MABC là hình bình hành (theo kết quả bài tập 4.3 SGK Toán 10 tập 1) Vậy điểm M thoả mãn tứ giác MABC là hình bình hành

c) Vì MABC là hình bình hành (câu b)

Nên MCAB (theo kết quả bài tập 4.3 SGK Toán 10 tập 1)

Vậy MCAB

Bài 4.11 SBT Toán 10 trang 51 Tập 1:

Trên Hình 4.7 biểu diễn ba lực F , F , F1 2 3 cùng tác động vào một vật ở vị trí cân bằng

A

Cho biết F1 30N, F2 40N Tính cường độ của lực F 3

Lời giải

Ta sử dụng các vectơ AB, AC, AD và AE lần lượt biểu diễn cho các lực F , F , F1 2 3

và hợp lực F của F , F1 2 (hình vẽ dưới đây)

Khi đó do F F1 F2 nên tứ giác ABEC là hình bình hành

Lại có BAC 90 nên ABEC là hình chữ nhật

Khi đó 2 2

F  AE AE AB BE (định lí Pythagoras)

Hay F  F12  F2 2  302 402 50 (N)

Do vật ở vị trí cân bằng A nên hai lực F và F3 ngược hướng và có cường độ bằng nhau

Tức là hai vectơ AE và AD là hai vectơ đối nhau

Do đó cường độ của lực F3 bằng F3  F 50 N 

Vậy cường độ của lực F3 bằng 50 N

Bài 4.12 SBT Toán 10 trang 51 Tập 1:

Trên mặt phẳng, chất điểm A chịu tác dụng của ba lực F , F , F1 2 3 và ở trạng thái cân bằng Góc giữa hai vectơ F , F1 2 bằng 60° Tính độ lớn của F3, biết F1  F2 2 3N

Lời giải

Ta sử dụng các vectơ AB, AC, AD và AE lần lượt biểu diễn cho các lực F , F , F1 2 3

và hợp lực F của F , F1 2 (hình vẽ dưới đây)

Khi đó do F F1 F2 nên tứ giác ABEC là hình bình hành

Lại có góc giữa hai vectơ F , F1 2 bằng 60° nên BAC 60 Suy ra ECA180 BAC 180    60 120

Áp dụng định lí Cosin cho tam giác AEC ta có:

AE2 = AC2 + EC2 – 2.AC.EC.cos ECA

2

AE  2 3  2 3 2.2 3.2 3.cos120

 AE2 = 36

 AE = 6

Do đó F 6 N 

Vì chất điểm A ở trạng thái cân bằng nên hai lực F và F3 ngược hướng và có cường

độ bằng nhau

Tức là hai vectơ AE và AD là hai vectơ đối nhau

Do đó độ lớn của lực F3 bằng F3  F 6 N 

Vậy độ lớn của lực F3 bằng 6 N