Bài 7 Các khái niệm mở đầu Bài 4 1 SBT Toán 10 trang 47 Tập 1 Cho tam giác ABC Gọi M là trung điểm của cạnh BC và G là trọng tâm của tam giác Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là một khẳng định[.]
Trang 1Bài 7: Các khái niệm mở đầu Bài 4.1 SBT Toán 10 trang 47 Tập 1:
Cho tam giác ABC Gọi M là trung điểm của cạnh BC và G là trọng tâm của tam giác Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là một khẳng định đúng?
a) Hai vectơ GA và GM cùng phương;
b) Hai vectơ GA và GM cùng hướng;
c) Hai vectơ GA và GM ngược hướng;
d) Độ dài của vectơ AM bằng ba lần độ dài của vectơ MG
Lời giải
Ta có: M là trung điểm của BC và G là trọng tâm của tam giác ABC
Nên trung tuyến AM đi qua điểm G
+ Hai vectơ GA và GM cùng phương vì chúng có giá trùng nhau
Do đó khẳng định a) là đúng
+ Hai vectơ GA và GM ngược hướng
Do đó khẳng định b) là sai và khẳng định c) là đúng
Trang 2+ Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên AG 2AM
3
AM = 3MG
Do đó AM 3 MG
Do đó khẳng định d) là đúng
Vậy các khẳng định đúng là: a), c) và d)
Bài 4.2 SBT Toán 10 trang 47 Tập 1:
Cho trước hai vectơ không cùng phương a và b Hỏi có hay không một vectơ cùng phương với cả a và b?
Lời giải
Vì vectơ 0 cùng phương với mọi vectơ nên:
+ Vectơ 0 cùng phương với a
+ Vectơ 0 cùng phương với b
Do đó có một vectơ 0 cùng phương với cả a và b
Bài 4.3 SBT Toán 10 trang 47 Tập 1:
Cho ba vectơ a,b,c cùng phương và cùng khác vectơ 0 Chứng minh rằng có ít nhất
hai vectơ trong chúng có cùng hướng
Lời giải
Ba vectơ a,b,c cùng phương và cùng khác vectơ 0 nên chúng có thể cùng hướng hoặc ngược hướng nhau
Trang 3Trường hợp 1: Nếu a cùng hướng với b (hoặc a cùng hướng với c)
Thì khi đó có hai vectơ cùng hướng
Trường hợp 2: Nếu a ngược hướng với cả b và c
Vì a ngược hướng với b, a ngược hướng với c
Nên khi đó b và c cùng hướng với nhau
Do đó có hai vectơ trong ba vectơ cùng hướng với nhau
Vậy có ít nhất hai vectơ trong ba vectơ a, b,c có cùng hướng
Bài 4.4 SBT Toán 10 trang 47 Tập 1:
Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O Xét các vectơ có hai điểm mút lấy từ các điểm
O, A, B, C, D, E, F
a) Hãy chỉ ra các vectơ khác vectơ - không và cùng phương với vectơ OA
b) Tìm các vectơ bằng vectơ AB
Lời giải
Trang 4Do ABCDEF là lục giác đều tâm O nên:
+ Các cặp cạnh đối diện bằng nhau: AB = ED, BC = FE, CD = FA;
+ Ba đường chéo chính AD, BE, CF đồng quy tại trung điểm của mỗi đường;
+ Mỗi đường chéo chính song song với một cặp cạnh có đầu mút không thuộc đường chéo ấy
a) Các vectơ khác vectơ - không và cùng phương với vectơ OA mà có hai điểm mút lấy từ các điểm O, A, B, C, D, E, F là: OA, AO,OD, DO, BC,CB, EF, FE, DA, AD b) Vectơ bằng vectơ AB mà có hai điểm mút lấy từ các điểm O, A, B, C, D, E, F là:
AB, FO, OC, ED
Bài 4.5 SBT Toán 10 trang 47 Tập 1:
Cho tam giác ABC không vuông, với trực tâm H, nội tiếp đường tròn (O) Kẻ đường kính AA' của đường tròn (O)
a) Chứng minh rằng BHA C.
b) Gọi M là trung điểm cạnh BC Tìm mối quan hệ về phương, hướng và độ dài của hai vectơ AH và OM
Trang 5Lời giải
a) Vì H là trực tâm tam giác ABC nên CH ⊥ AB
Mặt khác AA' là đường kính của (O), B ∈ (O) nên ABA 90
Do đó AA' ⊥ AB
Suy ra CH // AA' (từ vuông góc đến song song)
Chứng minh tương tự ta cũng có BH // A'C
Tứ giác BHCA' có CH // AA' và BH // A'C
Suy ra BHCA' là hình bình hành
Do đó BHA C.
b) Ta có: O và M lần lượt là trung điểm của AA' và BC
Nên OM là đường trung bình của tam giác AA'H
Do đó AH = 2OM và OM // AH (tính chất đường trung bình) Vậy, hai vectơ OM và AH có:
Trang 6+ Cùng phương
+ Cùng hướng
+ AH 2 OM
Bài 4.6 SBT Toán 10 trang 48 Tập 1:
Trên biển Đông, một tàu chuyển động đều từ vị trí A theo hướng N20°E với vận tốc
20 km/h Sau 2 giờ, tàu đến được vị trí B Hỏi A cách B bao nhiêu kilômét và hướng nào so với B?
Lời giải
Ta sử dụng vectơ v với v 20(km/h) để biểu thị vận tốc của tàu, vectơ AB biểu thị cho quãng đường và hướng chuyển động của tàu từ A tới B (hình vẽ trên)
Trang 7Vì tàu chuyển động đều từ A với vận tốc 20 km/h trong 2 giờ tới B nên
AB AB 2 v 2.2040(km)
Vậy A cách B 40 km
Do tàu chuyển động đều từ vị trí A theo hướng N20°E đến vị trí B
Do đó A ở hướng ngược lại so với B, tức là hướng S20°W so với B