sach bai tap toan 10 bai 6 he thuc luong trong tam giac ket noi tri th

Bài 6 Hệ thức lượng trong tam giác Trang 38 Bài 3 7 trang 38 SBT Toán 10 Tập 1 Cho tam giác ABC có A 45 ,C 30   và c = 12 a) Tính độ dài các cạnh còn lại của tam giác b) Tính độ dài bán kính đường[.]

Bài 6 Hệ thức lượng trong tam giác Trang 38

Bài 3.7 trang 38 SBT Toán 10 Tập 1:

Cho tam giác ABC có A45 ,C  30 và c = 12

a) Tính độ dài các cạnh còn lại của tam giác

b) Tính độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác c) Tính diện tích của tam giác

d) Tính độ dài các đường cao của tam giác

Lời giải:

Xét ABC có A  B C 180

B 180 A C 180 45 30 105

Áp dụng định lí sin ta có: a b c

sin A sin Bsin C Suy ra:

• a c sin A 12 sin 45

sin C sin 30



12 2

a 12 2;

1 2

2

• b c sin B 12 sin105

sin C sin 30



12 6 2

b 6 6 6 2

1 4

2



Vậy a 12 2;b 6 66 2

b) Theo định lí sin ta có c 2R

sin C 

2sin C 2.sin 30



Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng 12 c) Áp dụng công thức diện tích tam giác ta có:

S bcsin A 6 6 6 2 12.sin 45

6 6 6 6 2 36 3 36

2

Vậy diện tích tam giác ABC bằng 36 336

d) Áp dụng công thức diện tích tam giác ta có:

a b c

S ah bh ch

Do đó:

a

2 36 3 36 2S

a 12 2



b

2 36 3 36 2S

b 6 6 6 2





c

2 36 3 36 2S



Vậy độ dài các đường cao ha, hb, hc của tam giác ABC lần lượt là ha 3 63 2;

b

h 6 2; hc 6 36

Bài 3.8 trang 38 SBT Toán 10 Tập 1:

Tam giác ABC có a = 19, b = 6 và c = 15

a) Tính cosA

b) Tính diện tích tam giác

c) Tính độ dài đường cao hc

d) Tính độ dài bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác

Lời giải:

a) Áp dụng định lí côsin cho ABC ta có:

a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA

2 2 2 2 2 2

b c a 6 15 19 5

Vậy cosA = 5

9



b) Tam giác ABC có a = 19, b = 6 và c = 15

Khi đó:

• p a b c 19 6 15 20

• p – a = 1;

• p – b = 14;

• p – c = 5

Áp dụng công thức Heron ta có:

S p pa pb pc  20.1.14.510 14 Vậy diện tích ABC bằng 10 14

c) Áp dụng công thức diện tích tam giác ta có:

1

S ch

2



c

2S 2.10 14 4 14

Vậy độ dài đường cao hc 4 14

3



d) Áp dụng công thức diện tích tam giác ta có:

S = pr r S 10 14 14.

Vậy bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng 14

2

Trang 39

Bài 3.9 trang 39 SBT Toán 10 Tập 1:

Cho tam giác ABC có a = 4, C 60 , b = 5

a) Tính các góc và cạnh còn lại của tam giác

b) Tính diện tích của tam giác

c) Tính độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A của tam giác Lời giải:

Áp dụng định lí côsin cho ABC ta có:

c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC

 c2 = 42 + 52 – 2.4.5.cos60°

= 16 + 25 – 40.1

2 = 21

 c = 21

Áp dụng định lí sin ta có: a b c

sin A sin Bsin C

Do đó:

• sin B sin C.b sin 60 5 5 7.



B 70 53 36 

  

• sin A sin C.a sin 60 4 2 7



A 49 6 24 

  

Vậy c 21;A49 6 24 ;B   70 53 36   

b) Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ta có:

S absin C 4.5.sin 60 5 3

Vậy diện tích tam giác ABC bằng 5 3

c) Áp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến trong phần Nhận xét của Ví dụ

3, trang 37, SBT, Toán 10, Tập một ta có:

 2

2

2

a

5 21





a

m 19

Vậy độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC bằng 19

Bài 3.10 trang 39 SBT Toán 10 Tập 1:

Một tàu cá xuất phát từ đảo A, chạy 50 km theo hướng N24°E đến đảo B để lấy thêm ngư cụ, rồi chuyển hướng N36°W chạy tiếp 130 km đến ngư trường C

a) Tính khoảng cách từ vị trí xuất phát A đến C (làm tròn đến hàng đơn theo đơn vị

đo kilômét)

b) Tìm hướng từ A đến C (làm tròn đến hàng đơn vị, theo đơn vị độ)

Lời giải:

Ba vị trí đảo A, đảo B và ngư trường C được mô tả như hình vẽ đưới đây:

a) Ta có: ABC90   24  90   36  120

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

AC2 = AB2 + BC2 – 2.AB.BC.cos ABC

= 502 + 1302 – 2.50.130 1

2

 

  = 25 900

 

AC 10 259 161 km

Vậy khoảng cách từ đảo A đến ngư trường C khoảng 161 km

b) Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:

sin BACsin ABC

sin ABC sin BAC BC

AC

sin120 sin BAC 130 0,699

161



BAC 44

Do đó AC có hướng chếch về hướng W một góc 44° – 24° = 22° so với hướng N Vậy từ A đến C có hướng N20°W

Bài 3.11 trang 39 SBT Toán 10 Tập 1:

Một tàu du lịch xuất phát từ bãi biển Đồ Sơn (Hải Phòng), chạy theo hướng N80°E với vận tốc 20 km/h Sau khi đi được 30 phút, tàu chuyển sang hướng E20°S giữ nguyên vận tốc và chạy tiếp 36 phút nữa đến đảo Cát Bà Hỏi khi đó tàu du lịch cách

vị trí xuất phát bao nhiêu kilômet?

Lời giải:

Giả sử tàu du lịch xuất phát từ điểm A, chuyển động theo hướng N80°E tới B sau đó chuyển hướng E20°S tới điểm C như hình vẽ dưới đây

Ta có: ABC 180      10 20 150

Tàu chạy từ A đến B với vận tốc 20 km/h trong 30 phút (= 0,5 giờ) nên:

AB = 20.0,5 = 10 (km)

Tàu chạy từ B đến C với vận tốc 20 km/h trong 36 phút (= 0,6 giờ) nên:

BC = 20.0,6 = 12 (km)

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta được:

AC2 = AB2 + BC2 – 2.AB.BC.cos ABC

= 102 + 122 – 2.10.12.cos150°

= 100 + 144 – 240 3

2



  = 452 (km)

Suy ra AC 45221,26 km  

Vậy khi tới đảo Cát Bà thì tàu du lịch cách vị trí xuất phát (bãi biển Đồ Sơn) khoảng 21,26 km

Bài 3.12 trang 39 SBT Toán 10 Tập 1:

Một cây cổ thụ mọc thẳng đứng bên lề một con dốc có độ dốc 10° so với phương nằm ngang Từ một điểm dưới chân dốc, cách gốc cây 31 m người ta nhìn đỉnh ngọn cây dưới một góc 40° so với phương nằm ngang Hãy tính chiều cao của cây

Lời giải:

Cây cổ thụ và con dốc được mô tả như hình vẽ dưới đây:

Vì con dốc có độ dốc 10° so với phương nằm ngang, người nhìn nhìn đỉnh ngọn cây dưới một góc 40° so với phương nằm ngang nên ta có BAC 40     10 30

Và ACB     90 40 50

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:

sin ACBsin BAC

BC sin BAC

sin ACB

 

31

BC sin 30 20, 23 m

sin 50



Vậy chiều cao của cây khoảng 20,23 m

Bài 3.13 trang 39 SBT Toán 10 Tập 1:

Cho tam giác ABC Chứng minh rằng:

a)

a b c cot A cot B cot C ;

4S

b) 2 2 2  2 2 2

3

m m m a b c

4

Lời giải:

a) Áp dụng định lí côsin ta có:

cosA =

b c a

2bc

(1)

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ta có:

1

S bc.sin A

2



2S

sin A

bc

Từ (1) và (2) ta có:

cotA =

cos A b c a 2S

: sin A 2bc bc



2 2 2

b c a bc

2bc 2S

b c a

4S

Chứng minh tương tự ta cũng có:

a c b

cot B

4S

a b c cot C

4S



Do đó cotA + cotB + cotC

a b c

4S



Vậy

a b c cot A cot B cot C

4S

b) Áp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến ta có:

2

a

b c a



b

a c b m



2 c

a b c



Do đó:

m m m

b c a a c b a b c

 2 2 2 2 2 2

2 a b c a b c

 2 2 2 1 2 2 2

4

 2 2 2

3

a b c

4

Vậy 2 2 2  2 2 2

3

m m m a b c

4

Bài 3.14 trang 39 SBT Toán 10 Tập 1:

Cho tam giác ABC có hai trung tuyến kẻ từ A và B vuông góc

Chứng minh rằng:

a) a2 + b2 = 5c2;

b) cotC= 2 (cot A + cot B)

Lời giải:

a)

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AC

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC

Khi đó AG 2AM

3

3



Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABG vuông tại G (do AM ⊥ BN) có:

c2 = AB2 = AG2 + BG2

.AM BN

Mà AM, BN là hai đường trung tuyến kẻ từ A và B của tam giác ABC

Do đó theo công thức tính độ dài đường trung tuyến của tam giác ta có:

a

b c a

AM m



b

a c b



Suy ra c2 =

4 b c a 4 a c b

4 b c a a c b

2

4 a b

9 4

 c2

2

4 a b

9 4

 9c2 = a2 + b2 + 4c2

 5c2 = a2 + b2

b) Theo chứng minh phần a), Bài 3.13 ta có:

2 2 2

a b c

cot C

4S



Mà 5c2 = a2 + b2 (chứng minh phần a))

Do đó

5c c 4c c cot C



Mặt khác:

cot A cot B

 cotA + cotB

2c c 4S 2S

 2(cotA + cotB)

2

c S

 (2)

Từ (1) và (2) ta có: cotC = 2(cotA + cotB) =

2

c S Vậy cotC = 2(cotA + cotB)

Bài 3.15 trang 39 SBT Toán 10 Tập 1:

Cho tam giác ABC có các góc thoả mãn sin A sin B sin C

1  2  3 Tính số đo các góc của tam giác

Lời giải:

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:

2R sin A sin Bsin C 

a b c sin A ;sin B ;sin C

Theo bài ta có: sin A sin B sin C

1  2  3

2R 2R 2R

1 2 3

  

Đặt a b c t

1  2 3 

Suy ra a = t; b = 2t; c = t 3

Suy ra a2 = t2; b = 4t2; c = 3t2

Ta thấy: a2 + c2 = b2 = 4t2

Theo định lí Pythagore đảo ta có tam giác ABC vuông tại B

 sinB = 1

sin A 1 sin C

1

sin A

2

  và sin C 3

2



 A 30 và C 60

Vậy A   30 ;B 90 và C 60

Bài 3.16 trang 39 SBT Toán 10 Tập 1:

Cho tam giác ABC có S = 2R2.sin A.sinB Chứng minh rằng tam giác ABC là một tam giác vuông

Lời giải:

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:

2R sin A sin Bsin C 

 a = 2R.sinA; b = 2R.sinB và c = 2R.sinC

Theo công thức tính diện tích tam giác ta có:

2R sin A 2R sin B 2R sin C    

abc

S

3

8R sin A.sin B.sin C

S

4R

 

 S = 2R2.sin A.sinB.sinC

Mà theo bài S = 2R2.sin A.sinB

Do đó sinC = 1

C 90

  

Vậy tam giác ABC vuông tại C