sach bai tap toan 10 bai 5 gia tri luong giac cua mot goc tu 0 den 180

Bài 5 Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180° Bài 3 1 trang 32 SBT Toán 10 Tập 1 Tính giá trị của biểu thức a) A = sin45° + 2sin60° + tan120° + cos135°; b) B = tan45° cot135°  sin30° cos120° [.]

Bài 5 Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°

Bài 3.1 trang 32 SBT Toán 10 Tập 1:

Tính giá trị của biểu thức:

a) A = sin45° + 2sin60° + tan120° + cos135°;

b) B = tan45° cot135°  sin30° cos120°  sin60° cos150°;

c) C = cos25° + cos225° + cos245° + cos265° + cos285°;

d) D = 122

1 tan 73   4tan75° cot105° + 12sin2107°  2tan40° cos60° tan50°;

e) E = 4tan32° cos60° cot148° +

2 2

5cot 108

1 tan 18



  + 5sin272°

Lời giải:

a) A = sin45° + 2sin60° + tan120° + cos135°

Ta có sin 45° = 1

2; sin 60° =

3

2 ;

tan 120° =  3; cos 135° = 1

2



2

     

= 0

Vậy A = 0

b) B = tan45° cot135°  sin30° cos120°  sin60° cos150°

Ta có tan45° = 1; cot135° = 1;

sin30° = 1

2; cos120° =

1 2

 ;

sin60° = 3

2 ; cos150° =

3 2



Khi đó B = 1 (1)  1 1

 

 

  



= 1 + 1

4 +

3

4 = 0

Vậy B = 0

c) C = cos25° + cos225° + cos245° + cos265° + cos285°

Ta có cos45° = 1

2;

cos5° = cos(90°  85°) = sin85°;

cos25° = cos(90°  65°) = sin65°

Do đó: cos25° = sin285°; cos225° = sin265°

Khi đó C = sin285° + sin265° + 1

2 + cos

265° + cos285°

C = (sin285° + cos285°) + (sin265° + cos265°) + 1

2

= 1 + 1 + 1

2 =

5

2

Vậy C = 5

2

d) D = 122

1 tan 73   4tan75° cot105° + 12sin2107°  2tan40° cos60° tan50°

Ta có 1 + tan273° = 1 +

2 2

sin 73 cos 73





=

cos 73 sin 73

cos 73 cos 73

=

2

cos 73 sin 73

cos 73

 = 2

1 cos 73

 12

1 tan 73  = cos273°

 122

1 tan 73  = 12cos

273°

Khi đó:

D = 12cos273°  4 tan(180°  105°) cot105° + 12sin2107°  2tan(90°  50°) cos60° tan50°

= 12cos273° – 4(–tan105°) cot105° + 12sin2 107°  2cot50° cos60° tan50°

= 12cos2 73° + 12sin2 73° + 4tan105° cot105°  2cot 50° tan 50° cos 60°

= 12(cos2 73° + sin2 73°) + 4.1 – 2.1.cos60°

= 12 + 4  2 1

2 = 15

Vậy D = 15

e) E = 4tan32° cos60° cot148° +

2 2

5cot 108

1 tan 18



  + 5sin272°

Ta có 1 + tan2 18° = 1 +

2 2

sin 18 cos 18





=

cos 18 sin 18

cos 18 cos 18

=

2

cos 18 sin 18

cos 18



= 12

cos 18

 5cot 10822

1 tan 108



  = 5cot2108° cos218°

= 5[cot(180°  72°)]2 cos218°

= 5.(cot72°)2 cos218°

= 5.cot272° cos218°

Khi đó:

E = 4tan32° cos60° cot(180°  32°) + 5cot2 72° cos218° + 5[sin(90°  18°)]2

= 4tan32° cos60° (cot32°) + 5 cot272° cos218° + 5cos218°

= 4cos60° + 5cos218° (cot272° + 1)

= 4 1

2 + 5cos

218° 21

sin 72

= 2 + 5cos218°

1 sin 90  18

= 2 + 5cos2 18° 12

cos 18

= 2 + 5 = 3

Vậy E = 3

Bài 3.2 trang 32 SBT Toán 10 Tập 1:

Cho góc α, 90° < α < 180° thỏa mãn sin α = 3

4 Tính giá trị của biểu thức: t

tan F

n

2co cot ta

 



Lời giải:

Do 90° < α < 180° nên sinα > 0, cosα < 0

Ta có sin2 α + cos2 α = 1

 cos2 α = 1  sin2 α

 cos2 α = 1 

2 3 4

 

 

  = 1  9

16 =

7

16

Mà cos α < 0 nên cos α = 7

16

4

 Khi đó:

• tan α = sin 3: 7 3 4 3



• cot α = 1 : tan α = 7

3



Khi đó F =

2

3 7

3 7

  

=

3

3 7 3

7

  

= 23 : 16

3 7 3 7

= 23

16

Vậy F = 23

16

Bài 3.3 trang 33 SBT Toán 10 Tập 1:

Cho góc α thỏa mãn 0° < α < 180°, tanα = 2 Tính giá trị của các biểu thức sau: a) G = 2sin α + cos α;

c

2sin

  

Lời giải:

Do 0° < α < 180° nên sinα > 0

Mà tanα = sin

cos



 = 2 > 0 nên sin α và cos α cùng dấu, do đó cosα > 0

Do tanα = sin

cos



 = 2 nên sinα = 2cosα

 sin2α = 4cos2α

Ta có sin2α + cos2α = 1

 4cos α + cos2α = 1

 5cos2α = 1

 cos2α = 1

5

Do cosα > 0 nên cosα = 1

5

Do đó sinα = 2

5 a) G = 2sinα + cosα

= 2 2

5 +

1 5

= 4 1

5  5

= 5

5 = 5

Vậy G = 5

c

2sin

=

2





=

1 5



= 5 5

5 = 5

Vậy H = 5

Bài 3.4 trang 33 SBT Toán 10 Tập 1:

Cho góc α thỏa mãn 0° < α < 180°, tanα = 2 Tính giá trị của biểu thức

K =

3

si

n

n cos 2si

cos si

Lời giải:

Do 0° < α < 180° nên sinα > 0

Mà tanα = sin

cos



 = 2 > 0 nên sinα và cosα cùng dấu, do đó cosα > 0 Chia cả tử và mẫu của K cho cos3α ta được:

K =

2

cos

o

c s









=

2

3

4 t

n

tan

s

an

ta

2 tan

=

2 3

2

t

s

an

1

co



 



=

2

1

n

an

2 2

3

tan

tan

     

     

= 2 2 2 4 4

= 3 2

3 23 = 33 22 1

= 2

2 1 =

 2 12 2 21 1



= 2 2 1

2 1



 



Vậy K = 2 + 2

Bài 3.5 trang 33 SBT Toán 10 Tập 1: Chứng minh rằng:

a) sin4α + cos4α = 1  2sin2α cos2α;

b) sin6α + cos6α = 1  3sin2α cos2α;

c*) sin4 6cos2  3 cos4 4sin2 4

Lời giải:

a) Ta có (sin2α + cos2α)2 = sin4α + 2sin2α cos2α + cos4α

 12 = sin4α + cos4α + 2sin2α cos2α

 sin4α + cos4α = 1  2sin2α cos2α

Vậy sin4α + cos4α = 1  2sin2α cos2α

b) Ta có (sin2α + cos2α)3 = sin6α + cos6α + 3sin2α cos2α(sin2α + cos2α)

 13 = sin6α + cos6α + 3sin2α cos2α 1

 sin6α + cos6α = 1  3sin2α cos2α

Vậy sin6α + cos6α = 1  3sin2α cos2α

c) Xét sin4α + 6cos2α + 3

= sin4α + 6(1  sin2α) + 3

= sin4α  6sin2α + 9

= (sin2α  3)2

sin  6cos   3 sin  3

= |sin2α – 3| = 3  sin2α

(do 0 ≤ sin2α < 1 nên sin2α – 3 < 0)

Xét cos4α + 4sin2α

= cos4α + 4(1  cos2α)

= cos4α  4 cos2α + 4

= (cos2α  2)2

cos  4sin   cos  2

= |cos2α – 2| = 2  cos2α

(do 0 ≤ cos2α < 1 nên cos2α – 2 < 0)

sin  6cos   3 cos  4sin 

= 3  sin2 α + 2  cos2 α

= 5  (sin2 α + cos2 α)

= 5  1

= 4

Vậy sin4 6cos2  3 cos4 4sin2 4

Bài 3.6 trang 33 SBT Toán 10 Tập 1: Góc nghiêng của Mặt Trời tại một vị trí trên

Trái Đất là góc nghiêng giữa tia nắng lúc giữa trưa với mặt đất Trong thực tế, để đo trực tiếp góc này, vào giữa trưa (khoảng 12 giờ), em có thể dựng một thước thẳng vuông góc với mặt đất, đo độ dài của bóng thước trên mặt đất Khi đó, tang của góc nghiêng Mặt Trời tại vị trí đặt thước bằng tỉ số giữa độ dài của thước và độ dài của bóng thước Góc nghiêng của Mặt Trời phụ thuộc vào vĩ độ của vị trí đo và phụ thuộc vào thời gian đo trong năm (ngày thứ mấy trong năm) Tại vị trí có vĩ độ  và ngày thứ N trong năm, góc nghiêng của Mặt Trời α còn được tính theo công thức sau:

α = 90°    2 N 10 

365

trong đó m = 0 nếu 1 ≤ N ≤ 172, m = 1 nếu 173 ≤ N ≤ 355, m = 2 nếu 356 ≤ N ≤

365

a) Hãy áp dụng công thức trên để tính góc nghiêng của Mặt Trời vào ngày 10/10 trong năm không nhuận (năm mà tháng 2 có 28 ngày) tại vị trí có vĩ độ  = 20° b) Hãy xác định vĩ độ tại nơi em sinh sống và tính góc nghiêng của Mặt Trời tại đó theo hai cách đã được đề cập trong bài toán (đo trực tiếp và tính theo công thức) và

so sánh hai kết quả thu được

Lời giải:

Tháng 10 và tháng 12 có 31 ngày; tháng 11 có 30 ngày

Nên từ 10/10 đến hết tháng 10 còn 21 ngày

Do đó ngày 10/10 trong năm không nhuận là ngày thứ: 365  21  30  31 = 283 trong năm đó

Vì 173 ≤ N = 283 ≤ 355 nên m = 1

Góc nghiêng của Mặt Trời vào ngày 10/10 tại vị trí có vĩ độ  = 20° là:

90°  20°  2 283 10 

365

≈ 70°  |cos109°| 23,5°

≈ 70°  7,65°

≈ 62,35°

Vậy góc nghiêng của Mặt Trời vào ngày 10/10 tại vị trí có vĩ độ  = 20° khoảng 62,35°

b) Học sinh tự thực hiện việc đo và tính theo công thức để so sánh

Lưu ý tại vị trí có vĩ độ  và ngày thứ N trong năm, góc nghiêng của Mặt Trời α còn được tính theo công thức sau:

α = 90°    2 N 10 

365

trong đó m = 0 nếu 1 ≤ N ≤ 172, m = 1 nếu 173 ≤ N ≤ 355, m = 2 nếu 356 ≤ N ≤

365