Slide 1

Slide 1 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Phần 3 (khai triển Taylor) KHAI TRIỂN TAYLOR 0 0 0 0 1 ( , ) ( , ) ( , ) ! kn n k d f x y f x y f x y R k 0 0 0 0 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) ! kn n k f x y f x y x y f x y R k x[.]

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN

Phần 3 (khai triển Taylor)

KHAI TRIỂN TAYLOR

1

( , ) ( , ) ( , )

!

k n

n k

k

1

1

!

k n

n k

Cho f(x, y) khả vi đến cấp (n+1) trong lân cận

(x0, y0), khi đó trong lân cận này ta có:

Cụ thể:

1

1

( 1) !

n n

Có thể thay Rn bởi o( n) (Peano) (là VCB bậc cao hơn n khi 0),

, ( n )

Khai triển trong lân cận (0, 0) gọi là kt Maclaurin

1.Thông thường chỉ sử dụng pd Peano

2.Sử dụng khai triển Maclaurin cơ bản của hàm

1 biến trong kt Taylor hàm nhiều biến

3.Viết kt trong lân cận của (x0, y0) là viết kt theo

lũy thừa của x = (x – x0), y = (y – y0)

1/ Khai triển Taylor đến cấp 2 trong lân cận (1, 1), cho z = f(x, y) = xy

2

( 1) y ,

x x

1

ln ,

x y

2

l n

y

y y

Ví dụ

2

(1,1

1!

(1,1)

2 !

2

2

1 ! 2 !

2

1 ( x 1) ( x 1) ( y 1) o ( )

2/ Viết kt Maclaurin đến cấp 2 cho

1 ( , )

1

Đặt u = x + y – xy, kt z theo u đến u2

1

1

u

1 ( x y x y ) ( x y x y ) o u( )

1 x y x 3 x y y o ( )

Ví dụ

3/ Viết kt Taylor đến cấp 3 với (x0, y0) = (0,1) cho

2

( , ) x x y

Đặt X = x, Y = y – 1,

2

X X X Y

2

3

1

( )

o

Ví dụ

2 3 2 3

2

3

1

( )

o

Đặt X = x – 1, Y = y – 2, z trở thành

( 1) s i n

3

3

6

Y

3

3

( ) 6

Y

4/ Viết kt Taylor đến cấp 3 với (x0, y0) = (1,2) cho

( , ) s i n ( 2 )

3

3

( 2 ) ( 2 ) ( 1) ( 2 ) ( )

6

y

Ví dụ

(1, 2 )

( 1) ( 2 )

2 !

d f

(1, 2 ) 2 (1, 2 ) (1, 2 )

2

f”xy(1, 2) = 1

3

3

( 2 ) ( , ) ( 2 ) ( 1) ( 2 ) ( )

6

y