giải tích 2,lê hoàng tuấn,dhcntt

giải tích 2,lê hoàng tuấn,dhcntt TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 1 VÀ 2 CuuDuongThanCong com https //fb com/tailieudientucntt http //cuuduongthancong com?src=pdf https //fb com/tailieudientucntt TÍCH PHÂN MẶT TÍCH[.]

TÍCH PHÂN MẶT

LOẠI 1 VÀ 2

TÍCH PHÂN MẶTTÍCH PHÂN MẶT LOẠI 1

: theo nguyên tắc : dựa vào ptcủa

mặt cong lấy tích phân

),( x y z

, và diện tích của Dxy là khác 0

Khi đó,

xy D

y

z y

x z y x f

),( y z x

y z y x f

xz D

z

x y dxdz y

z z x y x f

I [ , ( , ), ] 1 ( ' )2 ( ' )2

TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 1

),( x z y

S prj

D xy Oxy

2 2

2 2

2

2'

y x

x y

2 2

2

2'

y x

y y

2

2 2

2 2

2

2 2

1

y x

dxdy y

x

y y

x

x y

x I

4

2 2

2 2

)2(

y x

dxdy y

x

2

0

2 2

0

228

dS y

x

x I

2 2

TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 1

4

2 2

2

z y

Pt của S lúc này là z 4 x 2 y 2

2 2

4

'

y x

4

'

y x

2 2

2

4

y x

dxdy y

x y

x

x I

2

0

2 2

2 / 3

4

4

cos

rdr r

r

r d

2 2

/

3

12

2 /

cos

2 dt

đặt r 2 sin t

xdS I

và không chứa2 mặt đáy

Khi chiếu S xuống mp Oxy ta nhậnđược đường tròn x 2 y 2 1

Nên diện tích của hình chiếu trên mp Oxy = 0

1 y x

z

x y

yz D

z

x

y 2 1 ( ' ) 2 ( ' ) 21

0

y y

Diện tíchcủa hình lúc này là

2 2

44

1

z x

dxdz z

x

1

2 2

4

1 r rdr d

Cho mặt S có khối lượng riêng theo diện tích là δ(x,y,z) tại điểm (x,y,z) khi đó:

Moment tĩnh đối với các mặt tọa độ của mặt S là:

KL của S là:

Tâm KL của mặt S là điểm có

tọa độ:

Moment quán tính đối với trục Ox,Oy, Oz với góc O là đường thẳng ∆ là:

Thí dụ: tìm trọng tâm của nữa mặt cầu tâm

O(0,0,0) bán kính a với khối lượng riêng là 1 hàng số

Gọi M(x,y,z) là trọng tâm của nữa mặt cầu tâm O(0,0,0) bán kính a khi đó có phương trình mặt cầu là S: x2+y2+z2=a2,z>=0 Do

tính đối xứng nên x=0, y=0, ta chỉ cần tính

z theo công thức:

S là diện tích nữa mặt cầu bán kính a: S=2πa2 , và D là hình tròn bán kính a, hình chiếu của mặt cầu trên mặt fẳng xy

 Trọng tâm có tọa

độ: (0,0, )a

Cho mặt cong S trong không gian S

, với hệ trục tọa độ OxyzGọi M là điểm bất kỳtrên S

 M

Tại M, ta có pháp vector

M n

M n

Lúc này,

Xét góc (n , Oz )

M

điều kiện 0

TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 2

, thì ta quy ước: hướng chứa pháp vector

M n

là hướng dương của S

2

, thì ta quy ước: hướng chứa pháp vector

M n

là hướng âm của SNhư vậy, ta đã định hướng cho S

2 2

2 2

a z

y x

TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 2

Ví dụ Xét mặt cầu

, với a 0

Xét các điểm M thuộc phía ngoài của mặt cầu

- Đối với nửa mặt cầu trên: hướng chứa

M n

là hướng dương

- Ngược lại là hướng âm

M thuộc mặt cong S đã định hướng

S S

Gọi hình chiếu của

TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 2

Giới hạn của tổng tích phân khi n

đgl tích phân mặt loại 2 của biểu thức f ( x, y, z )dxdy

lấy trên mặt cong S, và ký hiệu là

S

dxdy z

y x

f ( , , )

Tương tự, nếu xét hình chiếu của S xuống các mp Oxz hay Oyz, thì

ta cũng xây dựng đượccác tích phân mặt loại 2 tương ứng

S

dxdz z

y x

f ( , , )

S

dydz z

y x

f ( , , )

),,(x y z P

TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 2

Nếu có 3 hàm số

),,( x y z Q

),,(x y z

R cùng x/đ tại mọi điểm

S z

y x

y x R dxdz

z y x Q dydz

z y x

S S

Rdxdy Qdxdz

Pdydz Rdxdy

Qdxdz Pdydz

TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 2

Tính chất : tích phân mặt loại 2 đổi dấu khi ta đổi hướng của mặt Oxy

Cách tính : việc tính tích phân mặt loại 2 được đưa về tích phân 2 lớp

theo biến sốphụ thuộc vào pt mặt cong lấy tích phânvà

hướng mặt cong

a/ Trường hợp S có pt z z(x, y )

+ hình chiếu xuống mp Oxy là

xy D

+ hướng của S là “+”

D S

dxdy y

x z y x R dxdy

z y x

zdxdy I

TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 2

c/ Trường hợp S có pt y y ( x, z)

+ hình chiếu xuống mp Oxz là

xz D

+ hướng của S là “+”

xz

D S

dxdz z

z x y x Q dxdz

z y x

2 2

z

a z

y x

, hướng “+”

2 2

2

y x

a z

TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 2

Ta có pt của S là

Do vậy, hình chiếu của S xuống mp Oxy là

0:

2 2

2

z

a y

x

D xy

xy D

dxdy y

x a

a

rdr r

a d

0

2 2

2

0

TH2: S là mặt cầu x 2 y 2 z 2 a 2 , a 0

z

a y

x

D xy

x a

dxdy y

x

xy D

dxdy y

a d

0

2 2

dxdz y

2 2

a z

y x

2 2

2 2

x z

a z

y x

2 2

z

a z

y x

 S2 mang dấu âm

D

dydz z y a dydz

z y a

dydz y

a d

0

2 2

, và

dxdy z

chú ý hàm

là z2

 chỉ có 1 hướng “+”

KL:

3 2

1 I I I

I

) , , (x y z P

TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 2

Mối liên hệ giữa tích phân mặt và tích phân 3 lớp

Công thức Gauss - Ostrogradski

Cho Q ( x, y, z)

),,(x y z R

Pdydz I

dxdydz R

Q

P 'x 'y 'z )(

lấy dấu “+” , nếu xét S phía ngoài, ngược lại, lấy dấu “-”

xydxdy xzdxdz

yzdydz I

TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 2

Ví dụ 1 Tính

, với S là phía ngoài của tứ diện OABC, có các đỉnh

)0,0,0(

O

)0,0,1(

A

)0,1,0(

B

)1,0,0(

C O

A

B

C

0)

00

y x

xzdxdz dydz

z y

dxdydz R

Q P

OABC V

3

12

3

1 1

1 1 2

1 3

1 2

Ví dụ 3 Tính

zdxdy ydxdz

xdydz I

2 2

2

, với S là phía ngoài của xác định bởi 1 x 2 y 2 z 2 4

2 2

2)

,,(

z y

x

x z

y x P

TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 2

Lúc này, ta đặt

2 2

2)

,,(

z y

x

y z

y x Q

2 2

2

),,(

z y

x

z z

y x R

các hàm số này liên tục

và có ĐHR liên tục trên

)}

0,0,0{(

2

2 2

2

2 2

2

x z

y x

z y

x I

dxdydz z

y x

y x

z x

z

y I

3 2 2

2

2 2

2 2

2 2

TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 2

2 2

2

2

z y

x dxdydz

Đổi sang tọa độ cầu

cos

sinsin

cossin

r z

r y

r x

, với

0

20

2

2 22

sin

I

12 ) 1 1 ( 6 ) cos ( 6

0

TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 2

0

sin2

),,( x y z Q

),,(x y z R

Pdx

y x

x z

z

(

) (

)3

()

2()

(

C

dz z x

dy y z

dx x y

2 2

z

a z

y x

ngược chiều kim đồng hồ, nhìn từ hướng dương Oz

Cách 1: đưa về pt tham số

Ta có pt của (C) lúc này là

0

2 2

2

z

a y

x

, nên

0

;20

;sin

cos

z t

t a

y

t a

x

cos

sin

tdt a

dy

tdt a

dx

0

2 2

cos)sin(

sin)cos

a I

TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 2

2 2

22

1

a a

Cách 2: sử dụng công thức Stokes

Gọi S làhình tròn

0

2 2

2

z

a y

x

thì S có biên là (C)

Đặt

z x

R

y z

Q

x y

P

3

dxdz dydz

3 2

1 I I I

D D

3

2 I I

2

a I

I I

I

Thân chào các ban!

Cảm ơn các bạn đã theo dõi phần trình bày của nhóm

Những người thực hiện:

Huỳnh Thanh HuyPhạm Huỳnh Thanh TúNguyễn Thị Tình

Huỳnh Hồ Thị Mộng TrinhTrần Quốc Thái

Vũ Văn ThuậnTrần Phúc HiềnHuỳnh Văn Hoa Xuân

Trong slide có sử dụng một số tài liệu của trường ĐH Công Nghệ Thông Tin