ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM MÔN GIẢI TÍCH II 1 ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM MÔN GIẢI TÍCH II Học kỳ I, năm học 2014 2015 ĐỀ 02 Câu Các bước giải Điểm Câu 1 (1,0 điểm) Hàm số liên tục tại mọi điểm khác 0 , 0 trên 2 R[.]
Trang 1ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM MÔN GIẢI TÍCH II
Học kỳ I, năm học 2014-2015
ĐỀ 02
Câu 1
(1,0
điểm)
- Hàm số liên tục tại mọi điểm khác 0 , 0 trên 2
R
0.25
- Xét tính liên tục của f x y, tại điểm 0 , 0
Ta có đánh giá sau:
2
s i n s i n
1 2
0.25
- Từ đó dẫn đến
2
x y x y
0.25
- Nhận xét rằng 2 2
0 0
x y
x y , theo nguyên lý kép của giới hạn ta thu được
0 0
x y
x y x y
f
Tức là hàm số f x y, liên tục tại (0,0)
Kết luận: Hàm số liên tục tại mọi điểm trên 2
R
0.25
Câu 2
(1,0
điểm)
- Nhận xét: Điểm M(1,3,1/2) thuộc mặt cong đã cho
0.25
- Pháp tuyến của mặt tại M là
1 3
y
0.25
- Mặt phẳng tiếp diện đi qua điểm M(1,3,1/2) và nhận n
làm véc tơ pháp tuyến nên có phương trình là
0.25
- Rút gọn ta được
Câu 3
(1,0
điểm)
- Vẽ hình đúng
Viết tích phân dưới dạng
2
2
1 0 2
x
x
2
1 0
2
2
y x
y
Trang 22 3 4
0
6
5
0.25 Câu 4a
(1,0
điểm)
Ta sử dụng công thức Green để tính tích phân này Đường cong C+
bao quanh miền D là hình tròn tâm O bán kính R=2
Đặt
0.25
Tính hiệu:
Viết tích phân đường dưới dạng
C
0.25
Nhận xét: Tích phân
D
d x d y chính là diện tích miền D và giá trị của
nó bằng 2
2 4 Như vậy I 8
0.25
Câu 4b
(1,0
điểm)
-Hình chiếu của phần mặt nón xuống mặt phẳng Oxy là
Tính vi phân diện tích mặt
2 2
0.25
- Viết tích phân đã cho thành tích phân bội hai trên miền D
1
D
0.25
- Đặt x rc o s ,y rs i n với 0 , 2 , r 0 , 2
- Tính tích phân
D
Câu 5a
(1,0
điểm)
- Đặt z l n y z' y '/ y
Phương trình đã cho trở thành
0.25
- Phương trình thuần nhất z' z 0 có nghiệm là
x
Trang 3- Giả sử nghiệm của phương trình không thuần nhất đối với z có dạng
x
trong đó C x là hàm phụ thuộc vào x Thay z' C ' x e x C x e x
và z vào phương trình không thuần nhất, rút gọn ta được C ' x 1
- Tìm ra C x x C1
0.25
- Từ đó:
1
x
Trở lại hàm y
1
Từ điều kiện y 0 e, suy ra C1 1
Kết luận: x 1e x
0.25
Câu 5b
(1,5
điểm)
- Phương trình thuần nhất: y'' 4y' 4y 0
- Phương trình đặc trưng: 2
4 4 0 2 (bội hai) Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất
2
x
0.25
- Phương trình: y'' 4y ' 4 y 8 s i n 2x
Tìm nghiệm riêng của phương trình này dưới dạng
*
0.25
Tìm ra A 1,B 0 , và *
1 c o s 2
Tìm nghiệm riêng *
2
y dưới dạng
2
x
0.25
- Tìm ra C 1,D 0 và * 3 2
2
x
Kết luận: Nghiệm tổng quát
Câu 6
(1,5
điểm)
- Gọi D là khoảng cách từ gốc tọa độ tới đường cong (C) Ta đặt
,
f x y D x y Ta tìm f lớn nhất và nhỏ nhất với điều kiện
9
x x y y Hàm Lagrange:
0.25
- Điểm dừng của x y, , là nghiệm của hệ
0
0
0
x
y
hay
0.25
- Giải ra 2 , 2
Trang 4- Với 2 , y x Tìm được hai điểm M1 3, 3 và M 2 3, 3
3
, y x Tìm được hai điểm M 3 3 , 3 và
Biểu thức vi phân bậc hai
2
0.25
- Các điểm M1,M 2 là điểm cực đại, f C D 1 8
0.25
0 3
- Các điểm M 3,M 4 là điểm cực tiểu, f C T 6
- Kết luận: Khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất là:
0.25
Câu 7
(1,0
điểm)
- Đặt y' y z y'' y z2 z'
0.25
- Ta đưa phương trình về biến z
2
'
0.25
2
z
x x
0.25
- Phương trình sau khi tìm được z:
1 2
1
Giải ra ta được nghiệm tổng quát
1
2
C x
0.25