Bài 21 vị trí tương đối khoảng cách góc đáp án p1

BÀI TẬP TOÁN 10 Điện thoại 0946798489 Facebook Nguyễn Vương https //www facebook com/phong baovuong Trang 1 A KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG Mỗi đường thẳng trong mặt phẳng[.]

1 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Mỗi đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ là tập hợp những điểm có toạ độ thoả mãn phương trình của đường thẳng đó Vì vậy, bài toán tìm giao điểm của hai đường thẳng được quy về bài toán giải

hệ gồm hai phương trình tương ứng

Trên mặt phẳng toạ độ, xét hai đường thẳng

Dựa vào các véc tơ chỉ phương u u 1, 2

hoặc các véc tơ pháp tuyến n n 1, 2

Nhận xét Giả sử hai đường thẳng   có hai véc tơ chỉ phương 1, 2 u u 1, 2

(hay hai véc tơ pháp tuyến n n 1, 2

) cùng phương Khi đó:

- Nếu  và 1  có điểm chung thì 2  trùng 1  2

- Nếu tồn tại điểm thuộc  nhưng không thuộc 1  thì 2  song song với 1  2

Ví dụ 1 Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng :x 2y4 3 và mỗi đường thẳng sau: 01

Vậy  và  song song với nhau 2

2 GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Hai đường thẳng cắt nhau tạo thành bốn góc, số đo của góc không tù được gọi là số đo góc (hay đơn giản là góc) giữa hai đường thẳng

Góc giữa hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau được quy ước bằng 0

Cho hai đường thẳng

- Nếu   có các véc tơ chỉ phương 1, 2 u u 1, 2

thì góc  giữa  và 1  cũng được xác định thông 2qua công thức cos cosu u 1, 2

Đường thẳng  có phương trình 1 x  3 0 nên có véc tơ pháp tuyến n1(1; 0)

Đường thẳng  có 2véc tơ chỉ phương u 2( 1;1)

nên có véc tơ pháp tuyến n2(1;1) Gọi  là góc giữa hai đường thẳng 1

3 KHOẢNG CÁC TỪ 1 ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG

Cho điểm M x y 0; 0 và đường thẳng :ax by   c 0

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  , kí hiệu là d M  , được tính bởi công thức ( , )

Dạng 1 Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Phương pháp: a) Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai đường thẳng  1, 2 lần lượt có vectơ chỉ phương là  1, 2

u u Khi đó

- 1 cắt 2 khi và chỉ khi  1, 2

u u không cùng phương

- 1 song song với 2 khi và chỉ khi  1, 2

u u cùng phương và có một điểm thuộc một đường thẳng

mà không thuộc đường thẳng còn lại

- 1 trùng với 2 khi và chỉ khi  1, 2

u u cùng phương và có một điểm thuộc cả hai đường thẳng đó Chú ý: 1 vuông góc với 2 khi và chỉ khi  1, 2

u u vuông góc với nhau

b) Cho hai đường thẳng 1 và 2 có phương trình lần lượt là:

- 1 song song với 2 khi và chỉ khi hệ (I) vô nghiệm

- 1 trùng với 2 khi và chỉ khi hệ (I) có vô số nghiệm

BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA, SÁCH BÀI TẬP

Câu 1 Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau

a) Đường thẳng  có vectơ chỉ phương 1 u 1 (1; 2)

, đường thẳng  có vectơ chỉ phương 2

Suy ra u42u3

Chọn

0

t  , ta có điểm M(1;3)  Do 4 1 3 1 0   nên M(1;3)  Vậy 3  song song với 3  4

Ta có thể xét vị trí tương đối của hai đường thẳng dựa vào số giao điểm của chúng

Nhận xét: Cho hai đường thẳng  và 1  có phương trình lần lượt là2

a)  cắt 1  khi và chỉ khi hệ (I) có nghiệm duy nhất 2

b)  song song với 1  khi và chỉ khi hệ (I) vô nghiệm 2

c)  trùng với 1  khi và chỉ khi hệ (I) có vô số nghiệm 2

Câu 2 Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:

M Thay toạ độ điểm M vào phương trình đường thẳng k ta có

Hệ trên có vô số nghiệm

Như vậy,  và 1  có vô số điểm chung, tức là 2  trùng với 1  2

Câu 4 Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau:

a d1: 3x2y 5 0 và d2:x4y 1 0

b d3:x2y 3 0 và d4: 2 x4y100

c d5: 4x2y 3 0 và 6

12:

522

Vậy d1 và d2 có 1 điểm chung, hay d1 cắt d2

b Tọa độ giao điểm của d3:x2y 3 0 và d4: 2 x4y100 là nghiệm của hệ phương trình:

 Hệ phương trình vô nghiệm

Vậy d3 và d4 không có điểm chung hay d3/ /d4

c Đường thẳng d5: 4x2y 3 0 và 6

12:

522

522

a) Toạ độ giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2 là nghiệm của hệ phương trình:

9

.7

b) Toạ độ giao điểm của hai đường thẳng d3 và d4 là nghiệm của hệ phương trình:

Hệ trên vô nghiệm Như vậy, d3 song song với d4

c) Toạ độ giao điểm của hai đường thẳng d5 và d6 tương ứng với t thoả mãn phương trình:

Vậy  và 1  cắt nhau tại một điểm M Giải hệ phương trình: 2

là hai vectơ không cùng phương

Vậy  và 1  cắt nhau tại một điểm M Giải hệ phương trình: 2

4 0 3  70, suy ra M không thuộc  Vậy 2 1/ / 2

d)  và 1  có vectơ pháp tuyến lần lượt là 2 n 1 (2;1)

u là vectơ chỉ phương của 11(5; 2)

d n là vectơ pháp tuyến của d 1

2 (5; 2)



n là vectơ pháp tuyến của d 2

u là vectơ chỉ phương của 11(3;1)

d n là vectơ pháp tuyến của d 1

 Phương trình tổng quát của d đi qua điểm (2;5)A và nhận 1(3;1)

n là vectơ pháp tuyến là: 3(x2) 1( y5)03x y 11 0

3

t

A x

t

B y

n là hai vectơ không cùng phương Vậy

d và  cắt nhau tại một điểm M 1

, suy ra N thuộc  Vậy 3 d 3

Câu 13 Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d và 1 d sau đây: 2

a) d và 1 d cắt nhau.b) 2 d và 1 d song song.c) 2 d và 1 d trùng nhau 2

Câu 14 Cho đường thẳng d có phương trình tham số: 1

n không cùng phương, nên d và 1 d cắt nhau 2

Câu 16 Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:

a) m x:  y 2 0 và : 2k x2y 4 0

:4

:2

02

m my x

y mx

y mx

Ta lập các định thức:

 1 1

11

 1 2.2

11

Vậy nếu m1,m 1 thì D 0: hai đường thẳng cắt nhau

Nếu m  thì 1 D0, D x 0: hai đường thẳng song song

Nếu m   thì 1 D D x D y 0: hai đường thẳng trùng nhau

Câu 18 Với giá trị nào của tham số m thì hai đường thẳng sau đây vuông góc 1:mx y80 và

0:

42

y x

y x

26

;9

at x x d

2

2 2

dt y y

ct x x

d (x1, x2, y1, y2 là các hằng số) Tìm điều kiện của a, b, c, d để hai đường thẳng d1 và d2:

a)Cắt nhau

b)Song song với nhau

c)Vuông góc với nhau

c)d 1 d2 u và v cùng phương và M1x1;y1d2 adbc0 và dx1x2cy1y2 d)d1d2 u v adbc0

Câu 21 Cho đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt M1x1; x2 và M2x2; y2 Chắng minh rằng điều kiện cần và đủ để đường thẳng Ax By C  0 song song với d là Ax1By1C  Ax2 By2 C 0

Lời giải

VTCP của đường thẳng d là: M1M2 x2x1;y2 y1

VTPT của đường thẳng AxBy C 0 là nA;B

Vậy để hai đường thẳng song song trước hết cần có M1M2.n0  Ax2 x1By2y10

 Ax1By1 Ax2 By2  Ax1By1CAx2 By2 C

Mặt khác, điểm M1x1; y1 không nằm trên Ax By C  0 nên Ax1By1C 0 (đpcm)

Câu 22 Cho hai đường thẳng:

012

)1(:

a)Tìm tọa độ giao điểm của 1 và 2

b)Tìm điều kiện của m để giao điểm đó nằm trên trục Oy

Lời giải

a)Ta có:

.11

13

2

2 3 2 2

m

m m m D

D y

m

m D

D x

y x

b)IOy 

2

2 2

Câu 24 Cho hai đường thẳng d1:x  y10 và d2:x  y3 30 Hãy lập phương trình của đường thẳng d đối xứng với 3 d1 qua d2

Lời giải

Giao điểm M x y( ; ) của d1 và d2 có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình:

;0(1

00

33

01

M y

x y

x

y x

Lấy A(1;0) thuộc d1, phương trình đường thẳng AH vuông góc với d2 là 3(x1) 1( y0)0

15

6

;535

6530

33

033

B H

y

x y

x

y x

5

111

Xét điểm Mx M;y M tùy ý thuộc 

a)Gọi Nx N;y N là điểm đối xứng với M qua Ox

N M M

N

M N

y y

x x y

y

x x

Do đó M    ax M by M c0  ax N by N c0 N  1  ax by c  0

Vậy phương trình đường thẳng đối xứng với  qua Ox là ax by c  0

b)Gọi Px P;y P là điểm đối xứng với M qua Oy

P M

M P

M P

y y

x x y

y

x x

Vậy phương trình đường thẳng đối xứng vơi  qua Oy là ax by c  0

c)Gọi Qx Q;y Q là điểm đối xứng với M qua O

Q M M

Q

M Q

y y

x x y

y

x x

Vậy phương trình đường thẳng đối xứng với  qua O là ax by c  0

Câu 26 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M ( 1; 2) và hai đường thẳng d : 1 x2y 1 0, 2

d : 2x  y 2 0 Viết phương trình đường thẳng  đi qua M và cắt d tại A, cắt 1 d tại B sao cho 2

MB MA

22

)1(22

b a

b a

2

;3

4

;3

Khi đó đường thẳng  qua M ( 1; 2) và nhận AB  ( 6; 6)

làm véc tơ pháp tuyến nên :

1 0

x  y

Vậy có hai đường thẳng cần tìm : x  y 3 0 hoặc : x  y 1 0

Cách 2 Gọi n  ( b a; ) với a2  b2 0 là véc tơ pháp tuyến của đường thẳng 

02

y x

b a by ax

b a b

b a A

2

2

;2

52

02

y x

b a b ax

b b a

a b B

2

4

;2

a a b

b MA

2

4

;2

b MB

2

2

;22

Theo giả thiết

2 2

2

42

a a

b

b MB

2 2

2

22

a b



2 2 2

2 2

2

42

4

b a

a b a

b

a b

22

b a a b

b a a b

0

b a

b a

Với a b  , ta chọn 0 a  suy ra 1 b  Khi đó : 1 x  y 1 0

Với ab0, ta chọn a 1 suy ra b  1 Khi đó : x  y 3 0

Vậy có hai đường thẳng cần tìm : x  y 1 0 hoặc : x  y 3 0

Câu 27 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm M(2;1) và tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4

x

Theo giả thiết, ta có:

ab b

82

ab

a b

82

ab

a b

82

ab

a b

2448

82

b

a ab

042221:

y x

y x

Câu 28 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, viết phuong trình đường  thẳng song song với đường thẳng d:2x y 2015 0 và cắt hai trục tọa độ tại M và N sao cho MN 3 5

Với m  3 suy ra n 6 Ta được : 6x3y180

Câu 29 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, viết phương trình đường thẳng  đi qua M(3; 2) và cắt tia

Ox tại A, cắt tia Oy tại B sao cho OA OB 12

b a

B 0;3 2 Theo giả thiết, ta có:

122323

b a OB

b a b

ba a

b

b a a

b a

3

20

27312232

Với a = 2b, ta chọn b = 1 suy ra a = 2 Ta được : 2x + y – 8 = 0

Với 3a = b, ta chọn a = 1 suy ra b = 3 Ta được : x + 3y – 9 = 0

Cách 2 Do  đi qua A(a; 0)  Ox và B(0; b)  Oy (với a, b > 0)

nên :  1

b

y a

Với a = 4, suy ra b = 12 – a = 8 Ta được : 2x + y – 8 = 0

Với a = 9, suy ra b = 12 – a = 3 Ta được : x + 3y – 9 = 0

Dạng 2 Góc giữa hai đường thẳng

Phương pháp: Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai đường thẳng 1 và 2 có vectơ chỉ phương lần

Câu 30 Tính số đo góc giữa hai đường thẳng  và 1  trong mỗi trường hợp sau: 2

Lời giải

a)  có vectơ chỉ phương 1 u 1 ( 3;1)

2

Suy ra d d1, 245 b) d có phương trình tổng quát là 2 2x y 990 Ta có: a a1 2b b1 2     1 2 2 ( 1) , suy ra 0

n là hai vectơ cùng phương

Vậy d và 1 d song song hoặc trùng nhau Do đó 2 d d1, 20

Câu 38 Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng d và 1 d trong các trường hợp sau: 2

Vậy góc giữa hai đường thẳng a và b là  45

c) Gọi  là góc giữa hai đường thẳng p và q Từ giả thiết ta có  ( 5; 4) (4;5)

Câu 41 Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:

a) d y:  1 0 và :k xy40;

:2

Vậy góc giữa hai đường thẳng là 45

b) Gọi  là góc giữa hai đường thẳng a và b Từ giả thiết ta có (1; 2)

Câu 42 Cho hai đường thẳng : 2d xy 1 0 và : 2k x5y 3 0

a) Chứng minh rằng hai đường thẳng cắt nhau Tìm giao điểm của hai đường thẳng đó

b) Tính tang của góc giữa hai đường thẳng

Lời giải

a) Do 2 1

25 nên hai đường thẳng này cắt nhau Gọi I là toạ độ giao điểm của hai đường thẳng

Khi đó toạ độ I là nghiệm của hệ

Theo giải thiết, góc hợp bởi hai đường thẳng  1, 2 bằng 300 nên:

Nếu 5a b, chọn a1;b 5 ta được : x 5 y 9  0

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn x5y 9 0;5x  y 7 0

Câu 46 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 2x  y 2 0 và điểm I 1;1 Viết phương trình đường thẳng  cách điểm I một khoảng bằng 10 và tạo với đường thẳng d một góc bằng

0

45

Lời giải

Giả sử đường thẳng  có phương trình: ax by c  0,a2b20

Đường thẳng  có véctơ pháp tuyến n a b; 

14

10

c c

Đường thẳng  cần tìm đi qua M0;1 và song song với 1 hoặc 2

-Trường hợp  đi qua M0;1 và song song với 1 thì  có phương trình : x3y 3 0 -Trường hợp  đi qua M0;1 và song song với 2 thì  có phương trình : 3x  y 1 0 Vậy có hai đường thẳng càn tìm : x3y 3 0;3x  y 1 0

Dạng 3 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Phương pháp: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho đường thẳng  có phương trình axby c 0

a2b20 và điểm M x y 0; 0 Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng , kí hiệu là ( , )

d M , được tính bởi công thức sau: 0 0

BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA, SÁCH BÀI TẬP

Câu 48 Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  trong mỗi trường hợp sau:

1313

2 ( 3)

 b) Đường thẳng  đi qua điểm N ( 2; 2), có vectơ pháp tuyến n  (4;3)

Phương trình tổng quát của đường thẳng  là

Chọn a    2 b 3 (d): 2x3y 8 0

Câu 51 Cho đường thẳng :x3y 3 0

a) Tính khoảng cách từ điểm (4; 1)A  đến đường thẳng ;

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song  và 1:x3y 3 0

Câu 53 Cho hai đường thẳng song song 1:ax by c  0 và 2:ax by d  0

Chứng minh rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng 1 và 2 bằng

2 2

| 4 4 | 8 2( ; )

394( ; )

BÀI TẬP BỔ SUNG

Câu 64 Cho đường thẳng : 5x3y 5 0

a)Tính khoảng cách từ điểm A ( 1;3) đến đường thẳng 

b)Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song  và ’: 5x3y 8 0

5

53.3)1.(

5,

5

80.31.5','

2

32

;

;

b a

b a b

a

b a B

d A

b a b a

32

32

b a

23

4 Nếu a = –4b, chọn a = 4, b = –1 suy ra : 4x – y – 3 = 0

Nếu 3a = –2b, chọn a = 2, b = –3 suy ra : 2x – 3y + 1 = 0

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn bài toán là 1:4xy30 và 2 :2x3y10

Câu 66 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, viết phương trình đường thẳng  cách điểm A(1;1) một hoảng bằng 2 vá cách điểm B(2;3) một khoảng bằng 4

Lời giải

Gọi  là đường thẳng cần tìm có dạng : ax by c  0 với a2 b2 0

Vì  cách điểm A(1;1) một khoảng bằng 2 nên

c b a

c b a

b c

543

Trường hợp cb Thay vào (1), ta được:

2 2

0

b a

a

+ Với a 0, ta chọn b  suy ra 1 cb Khi đó : 1 y  1 0

+ Với 3a4b0, ta chọn a 4 suy ra b 3 và cb3 Khi đó : 4x3y 3 0

Trường hợp 3c 4a5b Thay vào (1), ta được a2b 6 a2b2 

0324

35a2  ba b2  Ta coi đây như là phương trình bậc hai theo a và có ’ =

 2b 235.32b2 0 nên phương trình vô nghiệm

Vậy có hai đường thẳng cần tìm là : y  1 0 hoặc : 4x3y 3 0

Câu 67 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A2; 4 , B3; 5 Viết phương trình tổng quát của đường thẳng  đi qua điểm I0;1 sao cho khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng 

Với 3a11b0, ta chọn a 11 suy ra b  3 Khi đó :11x3y 3 0

Vậy có hai đường thẳng cần tìm : 5x8y 8 0 hoặc :11x3y 3 0

Câu 68 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ với hệ tọa độ Oxy, viết phương trình đường thẳng  song song với đường thẳng d: 3x4y 1 0 và cách d một khoảng bằng 1

Câu 69 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d x:  3y 2 0 và hai điểm phân biệt A1; 3, B không thuộc d Viết phương trình đường thẳng AB, biết rằng khoảng cách từ

B đến giao điểm của đường thẳng AB với d bằng hai lần khoảng cách từ điểm B đến d

Gọi C là giao điểm của đường thẳng AB với  d; H là hình chiếu vuông góc của B trên d

Theo giả thiết bài toán:

2

2

BH BC

cos

d d

Với a 3b0, ta chọn a  3 suy ra b  1 Khi đó AB có phương trình 3xy0 Vậy có hai đường thẳng cần tìm: y 30; 3xy0

Dạng 4 Lập phương trình đường thẳng, tìm điểm…

BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA, SÁCH BÀI TẬP

Câu 70 Lập phương trình tham số của đường thẳng  trong mỗi trường hợp sau:

a)  đi qua M(2; 2) và song song với đường thẳng 1: 2x  y 5 0;

b)  đi qua M(2;3) vuông góc với đường thẳng 2:x4y 3 0

Lời giải

a) Đường thẳng 1 có vectơ chỉ phương là 1 ( 1; 2)

u  song song với đường thẳng 1 nên có vectơ chỉ phương   1 ( 1; 2)

u u Đường thẳng  đi qua M(2; 2) nên phương trình tham số của

b) Đường thẳng 2 có vectơ pháp tuyến là 2 (1; 4)

n  vuông góc với đường thẳng 2 nên có vectơ chỉ phương   2(1; 4)

u n Đường thẳng  đi qua M(2;3) nên phương trình tham số của

a Viết phương trình các đường thẳng AB AC BC , ,

b Tính góc hợp bởi hai đường thẳng AB và AC

c Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC

Phương trình đường thẳng AC đi qua điểm ( 1;1)A  và nhận 2 (4;6)

n là vectơ pháp tuyến là: 4(x1) 6( y1)04x6y202x3y  1 0

Phương trình đường thẳng BC đi qua điểm (9; 6)B và nhận 3(9; 4)

n là vectơ pháp tuyến là: 9(x9) 4( y6)09x4y570

Câu 72 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm ( 2; 0) A  và đường thẳng  x:  y 40

a Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng 

b Viết phương trình đường thẳng a đi qua điểm M( 1; 0) và song song với 

c Viết phương trình đường thẳng b đi qua điểm N(3; 0) và vuông góc với 

b đường thẳng a song song với  nên đường thẳng a có dạng: xy c 0

Do a đi qua M nên:    1 0 c 0, suy ra c1

Vậy phương trình đường thẳng :a xy 1 0

c Đường thẳng b vuông góc với  nên đường thẳng b có vecto chỉ phương là vecto pháp tuyến của đường thẳng b: (1;1)

Câu 73 Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC có (1; 0), (3; 2)A B và ( 2;1)C 

a Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC

b Tính diện tích tam giác ABC

Phương trình đường thẳng BC là: 3(x3) 5( y2)0, Hay 3x5y 1 0

- Độ dài đường cao kẻ từ A của tam giác ABC chính là khoảng cách từ A đến đường thẳng BC