Bài 6 định lí côsin định lí sin đáp án

BÀI TẬP TOÁN 10 Điện thoại 0946798489 Facebook Nguyễn Vương https //www facebook com/phong baovuong Trang 1 A KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1 Định lí côsin Cho tam giác ABC có , ,  BC a CA b AB c Khi đó   [.]

Trang 1

BÀI TẬP TOÁN 10 Điện thoại: 0946798489

Cho tam giác ABC có BC a CA, b AB, c và bán kính

đường tròn ngoại tiếp là R Khi đó:

3 Các công thức tính diện tích tam giác

Cho tam giác ABC Ta kí hiệu:

- h h h là độ dài các đường cao lần lượt ứng với a b, c

các cạnh BC CA AB, ,

- R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

- r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

- p là nửa chu vi tam giác

- S là diện tích tam giác

Ta có các công thức tính diện tích tam giác bên:

 ; 4) Spr; 5) S p p a p b p c(  )(  )(  ) (công thức Heron)

B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Dạng 1 Tính toán các yếu tố trong một tam giác

Phương pháp

Tùy theo giả thiết của bài toán, để tìm các yếu tố của tam giác ta có thể:

1) Áp dụng trực tiếp các định lí côsin, định lí sin, công thức diện tích… để tính

2) Chọn một hệ thức thích hợp cho phép tìm được một số yếu tố trung gian cần thiết, từ đó ta tìm được yếu tố cần tìm

BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA, SÁCH BÀI TẬP

Câu 1 Cho tam giác ABC có A 120

 và AB 5, AC 8 Tinh độ dài cạnh BC

Lời giải

BÀI 6 ĐỊNH LÍ CÔSIN ĐỊNH LÍ SIN

• |FanPage: Nguyễn Bảo Vương

Trang 2

Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/

Áp dụng Định lí côsin cho tam giác ABC, ta có:

Áp dụng Công thức Heron, ta cũng có thể tính S theo cách thứ hai sau:

Trang 3

Điện thoại: 0946798489 BÀI TẬP TOÁN 10

Câu 5 Cho tam giác ABC có a6,b5,c Tính cos , ,8 A S r

Câu 8 Cho tam giác ABC có ˆ A72 , Bˆ83 , BC18 Tính độ dài các cạnh AC AB, và bán kính R của

đường tròn ngoại tiếp tam giác đó

Trang 4

Câu 9 Cho tam giác ABC có a2 3,b2 và C ˆ 30

a) Tính diện tích tam giác ABC

b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Lời giải

sin2

C

Câu 10 Cho tam giác ABC có các cạnh a30,b26,c28

a) Tính diện tích tam giác ABC

b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Lời giải

(30 26 28) 422

16, 25

4 4.336

abc R S

Câu 11 Tính độ dài cạnh x trong các tam giác sau

Lời giải

a) Áp dụng định lí cosin, ta có

Trang 5

Câu 13 Cho tam giác ABC, biết cạnh a152,Bˆ79 , Cˆ61 Tính các góc, các cạnh còn lại và bán

kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác đó

a) Tính diện tích tam giác ABC

b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tính diện tích tam giác IBC

Lời giải

Trang 6

Câu 15 Cho tam giác ABC có trọng tâm G và độ dài ba cạnh AB BC CA lần lượt là 15,18, 27 , ,

a) Tính diện tích và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC

b) Tính diện tích tam giác GBC

b) Gọi, H K lần lượt là chân đường cao hạ từ A và , G xuống BC M là trung điểm , BC

3



Trang 7

Xét tam giác IBC ta có:

Góc BIC2.BAC120 (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn một cung)

Câu 18 Cho tam giác ABC có ˆA69 , Bˆ80, BC25 cm Tính độ dài các cạnh AC AB và bán kính ,

R của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó

Lời giải

Trang 8

b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC

c) Tính bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác ABC

Câu 21 Cho tam giác ABC có các cạnh a15 cm b, 13 cm c, 14 cm

c) Tính bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác ABC

Lời giải

Trang 9

(15 13 14) 21( )2

Câu 22 Cho tam giác ABC, biết cạnh a75 cm B, ˆ80 , Cˆ40

a) Tính các góc, các cạnh còn lại của tam giác ABC

Câu 24 Cho tam giác ABC có a24 cm b, 26 cm c, 30 cm

b) Tính bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác ABC

Câu 25 Cho tam giác MNP có MN 10,MP20 và ˆM 42

a) Tính diện tích tam giác MNP

b) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP Tính diện tích tam giác ONP

Trang 10

Câu 26 Cho tam giác ABC có AB3,AC và 5 A 120

Câu 28 Cho tam giác ABC có AB3, 5;AC7, 5;Aˆ135 Tính độ dài cạnh BC và bán kính R của

đường tròn ngoại tiếp tam giác (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)

10,3

7,3

BC R

Trang 11

Câu 30 Cho tam giác ABC có AB6,AC7,BC 8 Tính cos , sinA A và bán kính R của đường trong

ngoại tiếp tam giác ABC

24



BC R

Câu 32 Cho tam giác ABC có AB6,AC 8,Aˆ100 Tính độ dài cạnh BC và bán kính R của đường

tròn ngoại tiếp tam giác (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)

Trang 12

Câu 33 Cho tam giác ABC có Bˆ60 , Cˆ 105 và BC15 Tính độ dài cạnh AC và bán kính R của

đường tròn ngoại tiếp tam giác (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)

Câu 34 Cho tam giác ABC có AB5,AC7,BC9 Tính số đo góc A và bán kính R của đường tròn

ngoại tiếp tam giác ABC (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)

a R

A

Câu 37 Cho tam giác ABC , biết

Trang 13

a) a7,b8,c Tính 6 m b) a a5,b4,c Lấy 3 D đối xứng của B qua C Tính m và a AD

Trang 14

Câu 41 Cho tam giác ABC , biết a21,b17,c10

a) Tính diện tích S của tam giác ABC và chiều cao h a

b) Tính bán kính đường tròn nội tiếp r và trung tuyến m a

a

S h a

Câu 42 Cho tam giác ABC , có  A60 ,o b20,c25

a) Tính diện tích S và chiều cao h a

b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp R và bán kính đường tròn nội tiếp r

Lời giải

Trang 15

Trang 16

Câu 45 Cho tam giác ABC , có  B60 ,o C45 ,o BC a

Câu 46 Cho tam giác ABC , có độ dài ba trung tuyến bằng 15,18, 27

a) Tính diện tích tam giác b) Tính độ dài các cạnh của tam giác

Trang 17

4

22

Trang 18

Dạng 2 Chứng minh các hệ thức liên quan đến các yếu tố của một tam giác

Câu 49 Cho h là đường cao vẽ từ đỉnh , a A R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng

minh hệ thức: h a 2 sinR BsinC

Lời giải

Đặt aBC b,  AC c,  AB

Trang 19

a

h AH

1

sin2

1cos

Trang 20

Câu 51 Cho tứ giác lồi ABCD có các đường chéo AC x BD, y và góc giữa AC và BD bằng  Gọi

S là diện tích của tứ giác ABCD

b) Nêu kết quả trong trường hợp ACBD

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Câu 52 Cho tam giác ABC có ba cạnh là , ,a b c và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp Chứng minh

rằng: S 2R2sinAsinBsinC

Trang 21

Suy ra: S 2R2sinAsinBsinC

Câu 53 Tính độ dài các cạnh chưa biết trong các tam giác sau:

1

sin2

Trang 22

Câu 58 Tam giác ABC có b2c2a Chứng minh rằng

Cách khác: a2 sin ,R A b2 sin ,R B c2 sinR C

Nên b c 2a2 sinR B2 sinR C2.2 sinR AsinBsinC2 sinA

Câu 59 Tam giác ABC có bca2 Chứng minh rằng

h h h

Lời giải

a) Theo giả thiết ta có a2 bc

Thay a2 sin ,R A b2 sin ,R B c2 sinR C vào hệ thức trên ta được

Trang 23

Trang 24

Câu 65 Chứng minh rằng trong một tam giác ABC , ta có

a) abcosCccosB b) sinAsinBcosCsinCcosB

Lời giải

a) Theo định lí cô-sin Suy ra và

Do đó abcosCccosB

b) Ta có sinAsinBcosCsinCcosB

Câu 66 Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC , ta có

Trang 25

2 sin 2 sin 2 sin

2 sin sin sin

Câu 69 Tam giác ABC có b2c2a Chứng minh rằng

a) 2 sinAsinBsinC

Cách khác: a2 sin ,R A b2 sin ,R B c2 sinR C

Nên bc2a2 sinR B2 sinR C 2.2 sinR AsinBsinC2 sinA

Câu 70 Cho tứ giác ABCD nội tiếp được và có các cạnh , , , a b c d Chứng minh rằng diện tích tứ giác đó

được tính theo công thức sau S p p a  p b p c p d , trong đó p là nửa chu vi tứ giác

Lời giải

Giả sử ABCD là tứ giác nội tiếp với độ dài cạnh , , , a b c d

Khi đó A C 180  nên sinCsin ; cosA C cosA

Trang 26

Trang 27

Câu 72 Tam giác ABC vuông tại A , đồng dạng với tam giác A B C   Gọi aB C , bA C a  ,  A B 

và h  là đường cao hạ từ a A của tam giác A B C   Chứng minh rằng:

b m  Chứng minh rằng 2 cotAcotBcotC

Trang 28

Câu 75 Cho tam giác nhọn ABC có các cạnh , , a b c và diện tích S Trên ba cạnh về phía ngoài của tam

giác đó dựng các tam giác vuông cân A BC B AC C AB A B C ,  ,   , ,  lần lượt là đỉnh) Chứng minh rằng A B 2B C 2C A 2 a2b2c26S

Câu 76 Cho điểm D nằm trong tam giác ABC sao cho  DABDBCDCA Chứng minh rằng

a) sin3sin(A) sin( B) sin( C);

b) cotcotAcotBcotC

Suy ra điều phải chứng minh

b) Áp dụng định lý cosin vào tam giác DAB, ta có BD2 AB2AD22AB AD cos

sin

2AB AD  S ABD Từ đó suy raBD2 AB2AD24S DABcot

Trang 29

Tương tự CD2 BC2BD24S DBCcot và AD2AC2CD24S DCAcot

Cộng vế theo vế, chú ý rằng tổng diện tích ba tam giác nhỏ bằng diện tích S của tam giác ABC ,

Câu 77 Trong mọi tam giác ABC chứng minh rằng

Câu 78 Cho hai tam giác ABC Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hai trung tuyến kẻ từ B và C

vuông góc với nhau là b2c2 5a2

Lời giải

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

Khi đó hai trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau khi và chỉ khi GBC vuông tại G

Trang 30

Dạng 3 Ứng dụng – Bài toán thực tế

Câu 79 Một công viên có dạng hình tam giác với các kích thước như Hình Tính số đo các góc của tam

Trang 31

Câu 81 Hai tàu kéo cách nhau 51 m, cùng kéo một chiếc xà lan như Hình 3 Biết chiều dài của hai sợi cáp

lần lượt là 76 m và 88 m, tính góc được tạo bởi hai sợi cáp

Câu 83 Tính khoảng cách giữa hai điểm P và Q của một hồ nước (Hình 7) Cho biết từ một điểm O

cách 2 điểm P và Q lần lượt là 1400 m và 600 m người quan sát nhìn thấy một góc 76

Lời giải

PQ OP OQ OP OQ O  140026002 2 1400 600 cos 76   1383,32( ).m

Trang 32

Câu 84 Tính diện tích bề mặt của một miếng bánh mì kebab hình tam giác có hai cạnh lần lượt là

10 cm,12 cm và góc tạo bởi hai cạnh đó là 35

Lời giải

10 12 sin 35 34, 4 2



Câu 85 Hai máy bay cùng xuất phát từ một sân bay A và bay theo hai hướng khác nhau, tạo với nhau góc

60 Máy bay thứ nhất bay với vận tốc 650 km h/ , máy bay thứ hai bay với vận tốc 900 km h/ Sau 2 giờ, hai máy bay cách nhau bao nhiêu ki-lô-mét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)? Biết rằng cả hai máy bay bay theo đường thẳng và sau 2 giờ bay đều chưa hạ cánh

Vậy sau 2 giờ hai máy bay cách nhau khoảng 1609,35 km

Câu 86 Các nhà khảo cổ học tìm được một mảnh chiếc đĩa cổ hình tròn bị vỡ Để xác định đường kính

của chiếc đĩa, các nhà khảo cổ lấy ba điểm trên vành đĩa và tiến hành đo đạc thu được kết quả như sau: BC 28,5 cm BAC; 120

Vậy đường kính của chiếc đĩa khoảng 33 cm

Câu 87 Để đo khoảng cách từ vị trí A đến vị trí B ở hai bên bờ một cái ao, bạn An đi dọc bờ ao từ vị trí

Trang 33

Câu 88 Hai tàu đánh cá cùng xuất phát từ bến A và đi thẳng đều về hai vùng biển khác nhau, theo hai

hướng tạo với nhau góc 75 Tàu thứ nhất chạy với tốc độ 8 hải lí một giờ và tàu thứ hai chạy với tốc độ 12 hải lí một giờ Sau 2,5 giờ thì khoảng cách giữa hai tàu là bao nhiêu hải lí (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Lời giải

Gọi B, C lần lượt là vị trí của tàu thứ nhất và tàu thứ hai sau 2,5 giờ

Sau 2,5 giờ:

Quãng đường tàu thứ nhất đi được là: AB8.2, 520 (hải lí)

Quãng đường tàu thứ hai đi được là: AC12 2, 5 30 (hải lí)

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

BC  AC AB  AC AB  ABC      BC  BCVậy hai tàu cách nhau 31,5 hải lí

Câu 89 Bạn A đứng ở đỉnh của tòa nhà và quan sát chiếc diều, nhận thấy góc nâng (góc nghiêng giữa

phương từ mắt của bạn A tới chiếc diều và phương nằm ngang) là 35; khoảng cách từ đỉnh

tòa nhà tới mắt bạn A là 1,5 m Cùng lúc đó ở dưới chân tòa nhà, bạn B cũng quan sát chiếc diều

và thấy góc nâng là  75

 ; khoảng cách từ mặt đất đến mắt bạn B cũng là 1, 5 m Biết chiều cao

của tòa nhà là h20 m (Hình) Chiếc diều bay cao bao nhiêu mét so mặt đất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Trang 34

Lời giải

Gọi các điểm:

O là vị trí của chiếc diều

H là hình chiếu vuông góc của chiếc diều trên mặt đất

C, D lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên OH

Vậy chiếc diều bay cao 26,1 m so với mặt đất

Câu 90 Từ một tấm bìa hình tròn, bạn An cắt ra được một hình tam giác có các cạnh

AB cm BC cm và góc B60 (Hình 4) Tính độ dài cạnh AC và bán kính R của miếng

bìa

Trang 35

Câu 91 Từ một tấm tôn hình tròn có bán kính R1 m, bạn Trí muốn cắt ra một hình tam giác ABC có

các góc A45 , B75 Hỏi bạn Trí phải cắt miếng tôn theo hai dây cung AB BC có độ dài lần ,lượt bằng bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Suy ra: AB2 sinC2 sin 601, 73( )m BC2 sinA2 sin 451, 41( ).m

Vậy bạn Trí phải cắt miếng tôn theo hai dây cung AB BC có độ dài lần lượt là xấp xỉ 1, 73 m và ,

1, 41 m

Câu 92 Một cây cao bị nghiêng so với mặt đất góc 78 Từ vị trí C cách gốc cây 20 m, người ta tiến

hành đo đạc và thu được kết quả: ACB50 với B là vị trí ngọn cây (Hình 10)

Tính khoảng cách từ gốc cây (điểm A ) đến ngọn cây (điểm B ) (làm tròn kêt quả đến hàng phần

mười theo đơn vị mét)

Lời giải

Xét tam giác ABC (Hình 59), ta có:

Trang 36

Vậy chiều dài của cây là xấp xỉ 19,4 m

Câu 93 Tàu A cách cảng C một khoảng 3 km và lệch hướng bắc một góc 47, 45 Tàu B cách cảng C

một khoảng 5 km và lệch hướng bắc một góc 112,90 (Hình 11) Hỏi khoảng cách giữa hai tàu là bao nhiêu ki-lô-mét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Câu 94 Trên biển Đông, đảo A cách đảo 30B km về hướng Đông, tại cùng một thời điểm, tàu thứ nhất

xuất phát từ A với vận tốc không đổi, có độ lớn bằng 30 km h và có hướng / N30E, tàu thứ hai xuất phát từ B với vận tốc không đổi, có độ lớn 25 km h và có hướng N60° W Hỏi hai tàu có /gặp nhau không?

Lời giải

Trang 37

Giả sử sau t (giờ) hai tàu gặp nhau tại điểm C Khi đó, BC30 ( t km AC), 25 ( t km)

sin 60k  sin 30k sin 90 (vô lí)

Do đó, hai tàu không gặp nhau

Theo định lý cosin trong tam giác ABC, ta có a2b2c22bccosA

Câu 2 Cho tam giác ABC , có độ dài ba cạnh là BCa AC, b AB, c Gọi m là độ dài đường trung a

tuyến kẻ từ đỉnh A, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác và S là diện tích tam giác đó

Mệnh đề nào sau đây sai?

Theo định lý hàm số cosin trong tam giác ta có a2b2c22bccosA

Câu 3 Cho tam giác ABC có a8,b10, góc C bằng 0

Ta có: a2b2c22bccosA3664 2.6.8.cos 60 052a2 13

Câu 5 Cho ABC có B60 ,0 a8,c5 Độ dài cạnh b bằng:

Tiêu đề	Định lí cosin, định lí sin và bài tập áp dụng
Tác giả	Nguyễn Bảo Vương
Trường học	Trường Trung học phổ thông Nguyễn Bảo Vương
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Bài tập
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	53
Dung lượng	2,1 MB