CHUYÊN đề 1 bài 2 ỨNG DỤNG hệ PHƯƠNG TRÌNH

CHUYÊN ĐỀ TOÁN HỌC 10 Điện thoại 0946798489 Facebook Nguyễn Vương https //www facebook com/phong baovuong Trang 1 BÀI 2 ỨNG DỤNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn là một công cụ để giải[.]

Trang 1

CHUYÊN ĐỀ TOÁN HỌC 10 Điện thoại: 0946798489

BÀI 2 ỨNG DỤNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn là một công cụ để giải quyết nhiều vấn đề trong thực tiễn cũng như trong các môn học khác như: Vật lí, Hoá học, Sinh học, Kinh tế,

I ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÍ

1 Ứng dụng trong bài toán về mạch điện

Bài toán 1 Cho mạch điện như Hình 1 Biết R136 , R2 90 , R3 60 và U60 V Gọi I1

là cường độ dòng điện chạy qua mạch chính, I2 và I3 là cường độ dòng điện chạy qua hai nhánh Tính I I I1, 2, 3

2 Ứng dụng trong viễn thông

Bài toán 2 Cũng như trong mặt phẳng toạ độ, trong không gian ta có thể đưa vào hệ trục tọa độ

Oxyz Khi đó, mỗi điểm M trong không gian có toạ độ là bộ ba số x y z0; 0; 0 và được kí hiệu là

Trang 2

Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/

Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

PQ x x  y y  z z

Ta có thể mô phỏng cơ chế hoạt động của hệ thống GPS (Global Positioning System Hệ thống định vị toàn cầu) trong không gian như sau: Trong cùng một thời điểm, toạ độ của một điểm trong không gian đó sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước

MA MB , Anh: Vệ tinh GPS đang bay trên quỹ MC9,MD10

a) Chứng minh toạ độ của điểm M là nghiệm của hệ phương trình:

Vậy toạ độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình (I)

b) Sau khi trừ theo từng vế của mỗi phương trình (2), (3), (4) cho phương trình (1), ta nhận được

c) Giải hệ phương trình (II), ta được x1,y2,z3 Vậy M(1; 2; 3)

II ỨNG DỤNG TRONG HOÁ HỌC

1 Phương pháp đại số trong cân bằng phản ứng hoá học

Xét phản ứng hoá học có dạng: x A1 1x A2 2x A3 3x A4 4, trong đó mỗi phân tử A i có thể có nhiều hơn một nguyên tố

Để cân bằng phản ứng trên, ta phải tìm các hệ số x x x x1, 2, 3, 4 sao cho các nguyên tố được bảo toàn

Trang 3

Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ TOÁN HỌC 10

Bước 1 Coi x x x x1, 2, 3, 4 là các ẩn, lập hệ phương trình bậc nhất bốn ẩn dựa theo định luật bảo toàn nguyên tố trong phản ứng hoá học

Bước 2 Chọn ra một trong bốn ẩn x x x x1, 2, 3, 4 và cho ẩn đó một giá trị cụ thể Thông thường, ta chọn ra ẩn ứng với phân tử có cấu trúc phức tạp nhất trong bốn phân tử A A A A Giải hệ 1, , , 2 3 4phương trình bậc nhất theo ba ẩn còn lại

Bài toán 3 Tìm các hệ số x y z, , để cân bằng phương trình: 3 4 2 2 3

Vậy ta có phương trình sau cân bằng: 4Fe O3 4O2t06Fe O2 3

Bài toán 4 Hoà tan hoàn toàn 13, 4 g hỗn hợp X gồm Mg Al Fe , vào dung dịch , , H SO2 4 đặc

nóng dư thu được 0, 55 mol khí SO chỉ theo các phương trình phản ứng hoá học (1), (2), (3) Mặt 2

khác, nếu cho 13, 4 g hỗn hợp trên tác dụng với dung dịch HCl dư thì thu được 0,5 mol khí H2

chỉ theo các phương trình phản ứng hoá học (4), (5), (6) :

Ở đó, , , ( , ,a b c a b c lớn hơn 0 ) lần lượt là số mol của Mg Al và , Fe trong hỗn hợp X

Tính khối lượng Mg Al Fe trong hỗn hợp , , X

Khối lượng Mg trong hỗn hợp X là: 24.0,12, 4( )g

Khối lượng Al trong hỗn hợp X là: 27.0, 25, 4( )g

Khối lượng Fe trong hỗn hợp X là: 56 0,1 5, 6( )  g

Trang 4

2 Tìm cấu tạo của nguyên tử và xác định công thức phân tử của hợp chất

Ta đã biết một nguyên tố có ba loại hạt cơ bản là: p (proton), n (neutron), e (electron)

Ta gọi Z là số lượng hạt p Khi đó, theo nguyên lí cân bằng điện tích, ta có Z cũng là số lượng hạt e

Ta gọi N là số lượng hạt n

Đặt AZN A được gọi là số khối ,

Bài toán 5 Tổng số hạt cơ bản ( p n e của một nguyên tử , , ) X là 26 Số hạt mang điện nhiều hơn số hạt không mang điện là 6 Xác định số hạt p n e, , của nguyên tử X

Bài toán 6 Trong phân tử M X2 có tổng số hạt ( , , )p n e là 140 hạt, trong đó số hạt mang điện

nhiều hơn số hạt không mang điện là 44 hạt Số khối của nguyên tử M lớn hơn số khối của nguyên tử X là 23 Tổng số hạt ( , , )p n e trong nguyên tử M nhiều hơn trong nguyên tử X là 34 hạt Xác định công thức phân tử của hợp chất M X2

Giải

Gọi Z M,N M lần lượt là số lượng hạt p n, của nguyên tử M ;

,

Z N lần lượt là số lượng hạt p n, của nguyên tử X

- Theo giả thiết, tổng số hạt ( , , )p n e trong phân tử M X2 là 140 hạt nên ta có:

Giải hệ phương trình, ta được Z M 19, N M 20,Z X 8 Do đó, N X 8

Vì Z M 19 nên M là K (kalium); Z X 8 nên X là O (oxygen)

Vậy phân tử đó là K O2

Trang 5

III ỨNG DỤNG TRONG SINH HỌC

Bài toán 7 Một phân tử DNA có tổng số nucleotide (nu) loại G với một loại nucleotide khác bằng 60% tổng số nucleotide của phân tử DNA Tổng số liên kết hydrogen của phân tử DNA là 3

120 Trong mạch 1 có số nu loại A bằng 1

2 số nu loại G và bằng

1

4 số nu loại T Xác định số nucleotide mỗi loại trên từng mạch của phân tử DNA đó

IV ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ

1 Mô hình cân bằng thị trường hàng hoá có liên quan

Giả sử trên thị trường có n loại hàng hoá được mua và bán, đánh số lần lượt là hàng hoá

1, 2, n Ta nói n loại hàng hoá đó có liên quan nếu giá của một mặt hàng nào đó thay đổi thì ,

nó không những ảnh hưởng tới lượng cung (kí hiệu là Q S) và lượng cầu (kí hiệu là

Q (hoặc lượng cầu Q D) của mối

loại hàng hoá là một đại lượng phụ thuộc vào n biến P P1, 2,,P n, trong đó P P1, 2,,P n lần lượt

là giá của hàng hoá 1, 2, n Người ta thường biểu diễn sự phụ thuộc của lượng cung và lượng ,cầu vào giá của các hàng hoá bởi hàm cung và hàm cầu như sau:

Bài toán 8 Xét thị trường gồm ba loại hàng hoá gồm chè, cà phê, ca cao có hàm cung và hàm cầu

tương ứng như sau:

Trang 6

a) Hãy thiết lập mô hình cân bằng thị trường của ba loại hàng hoá trên

b) Xác định giá và lượng cung cà phê ở trạng thái cân bằng thị trường

2 Mô hình cân bằng thu nhập quốc dân

Tổng thu nhập quốc dân, kí hiệu là Y, thường được tính trên hai nguồn chủ yếu: Chi tiêu cố định của chính phủ, kí hiệu là G0, và tiền của người dân (bao gồm đầu tư của các hộ gia đình, kí hiệu là

Bài toán 9 Cho mô hình cân bằng thu nhập quốc dân:

150 0,8( )0,2

hộ gia đình, C là tiêu dùng của các hộ gia đình, T là thuế và các đại lượng Y G, 0, I T C0, , được tính theo cùng đơn vị đo

a) Tìm trạng thái cân bằng khi I0 300,G0 900

Trang 7

b) Khi suy thoái kinh tế, ta chọn C1500, 7(YT Giả sử ) I0300 Hỏi G0 bằng bao nhiêu thì ổn định được tổng thu nhập quốc dân?

0

300300

300

45011

Trang 8

Câu 2 Cho mạch điện như Hình 4 Biết U 24 ,V Đ1:12 V 6 W, Đ2:12 V12 ,W R 3

a) Tính điện trở của mỗi bóng đèn

b) Tính cường độ dòng điện chạy qua mỗi bóng đèn và điện trở R

Lời giải:

a) Điện trở của Đ1 là:

2 1

1224( )6

Điện trở của Đ2 là:

2 2

1212( )12

Trang 9

b) Theo định luật bảo toàn nguyên tố với Fe và Cl, ta có: xz hay x z 0 và 2x2y3z hay

Giải hệ phương trình này ta được x5,y6,z8

Vậy ta có phương trình sau cân bằng:

Câu 4 Một giáo viên dạy Hoá tạo 1000 g dung dịch HCl25% từ ba loại dung dịch HCl có nồng độ lần

lượt là 10%, 20% và 30% Tính khối lượng dung dịch mỗi loại Biết rằng lượng HCl có trong dung dịch 10% bằng 1

4 lượng HCl có trong dung dịch 20%

Trang 10

Giải hệ này ta được x125,y250,z625

Vậy khối lượng dung dịch HCl có nồng độ 10%, 20% và 30% lần lượt là 125 g, 250 g, 625 g

Câu 5 Tổng số hạt p n e, , trong hai nguyên tử kim loại A và B là 177 Trong đó số hạt mang điện nhiều

hơn số hạt không mang điện là 47 Số hạt mang điện của nguyên tử B nhiều hơn của nguyên tử A

là 8 Xác định số hạt proton trong một nguyên tử A

Giải hệ này ta được Z A 26,Z B 30

Vậy số hạt proton trong một nguyên tử A là 26

Câu 6 Một phân tử DNA có khối lượng là 72 10 4 đvC và có 2826 liên kết hydrogen Mạch 2 có số nu

loại A bằng 2 lần số nu loại T và bằng 3 lần số nu loại X Xác định số nucleotide mỗi loại trên từng mạch của phân tử DNA đó Biết rằng một nu có khối lượng trung bình là 300 đvC

Lời giải:

Kí hiệu , , ,A G T X lần lượt là tổng số nu loại , , A G T , X của phân tử DNA

N là tổng số nu của phân tử DNA

1, 1, ,1 1

A G T X lần lượt là tổng số nu loại , , ,A G T X trong mạch 1

2, 2, ,2 2

A G T X lần lượt là tổng số nu loại , , ,A G T X trong mạch 2

+) Vi phân tử DNA có khối lượng là 72 10 4 đvC mà một nu có khối lượng trung bình là 300 đvC nên tổng số nu của phân tử DNA là N

4

72.10

2400

300 2400

Trang 11

Giải hệ này ta được A2516, T2 258,X2172

Suy ra số nu loại G của mạch 2 là: G21200 (516 258 172)   254

Câu 8 Ba lớp 10 ,10 ,10A B C trồng được 164 cây bạch đàn và 316 cây thông Mỗi học sinh lớp 10 A

trồng được 3 cây bạch đàn và 2 cây thông; mỗi học sinh lớp 10 B trồng được 2 cây bạch đàn và 3 cây thông; mỗi học sinh lớp 10C trồng được 5 cây thông Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh? Biết số học sinh lớp 10A bằng trung bình cộng số học sinh lớp 10B và 10C

Giải hệ này ta được x32,y34,z30 (thoả mãn điều kiện)

Vậy số học sinh của ba lớp 10A, 10B, 10C lần lượt là 32,34, 30 học sinh

Câu 9 Độ cao h của một vật trong chuyển động được tính bởi công thức 1 2 0 0

2

h at v t h , với độ cao

h và độ cao ban đầu h0 được tính bằng mét, t là thời gian của chuyển động tính bằng giây, a là

gia tốc của chuyển động tính bằng m s v là vận tốc ban đầu tính bằng / 2, 0 m s/ Tìm a v h, ,0 0 Biết rằng sau 1 s và 3 s vật cùng đạt được độ cao 50, 225 m ; sau 2 s vật đạt độ cao 55,125 m

Lời giải:

Theo đề bài ta có:

Trang 12

Giải hệ này ta được a 9,8;v019, 6;h035,525

Câu 10 Một ngân hàng muốn đầu tư số tiền tín dụng là 100 tỉ đồng thu được vào ba nguồn: mua trái phiếu

với mức sinh lời 8% / năm, cho vay thu lãi suất 10% / năm và đầu tư bất động sản với mức sinh lời 12% / năm Theo điều kiện của quỹ tín dụng đề ra là tổng số tiền đầu tư vào trái phiếu và cho vay phải gấp ba lần số tiền đầu tư vào bất động sản Nếu ngân hàng muốn thu được mức thu nhập 9,6 tỉ đồng hằng năm thì nên đầu tư như thế nào vào ba nguồn đó?

Gọi số tiền đầu tư trái phiếu, cho vay, bất động sản lần lượt là 45 tỉ đồng, 30 tỉ đồng và 25 tỉ đồng

Câu 11 Một khu rừng ngập mặn có diện tích là 1 ha Bằng kĩ thuật viễn thám, người ta ước lượng sinh

khối trên mặt đất của rừng này là 87,2 tấn/ha Người ta đếm được trong các ô tiêu chuẩn 100 m2

có tổng số 161 cây, trong đó số cây bần bằng 15% tổng số cây mắm và cây đước Khối lượng trung bình của một cây bần là 10 kg, cây đước là 5 kg và cây mắm là 1 kg Hãy tính sinh khối của từng loài trên 1 ha rừng

Trang 13

Dùng máy tính cầm tay giải hệ ta được x2100,y13050,z950

Vậy sinh khối bần là 10x21000 kg ha/ 21 tấn/ha; sinh khối đước là 5y65250 kg ha/

65, 25

 tấn/ha và sinh khối mắm là z950 kg ha/ 0, 95 tấn / ha

Câu 12 Cân bằng phương trình phản ứng hoá học 2 2 2

Trang 14

Câu 13 Cân bằng phương trình phản ứng quang hợp (dưới điều kiện ánh sáng và chất diệp lục):

Câu 14 (Bài toán tính cương độ đòng điện) Cho đoạn mạch như Hình 1.1

Biết R125 , R236 , R3 45 và hiệu điện thế giữa hai đầu đoạn mạch U60 V Gọi I1 là cường độ dòng điện của mạch chính, I2 và I3 là cường độ dòng điện mạch rẽ Tinh I I1, 2 và I3

Trang 15

xC H yO zCO tH O

Vì số nguyên tử C, H, O ở hai vế bằng nhau nên ta có hệ:

88

Dùng máy tính cầm tay giải hệ, ta được x90,y240,z100

Vậy giá thịt lợn 90 nghìn đồng/kg, thịt bò 240 nghìn đồng/kg và thịt gà 100 nghìn đồng/kg là giá bán hợp lí nhất

Chú ý Trong thực tế, thị trường hàng hoá rất phức tạp vì có nhiều mạ̀t hàng Khi đó, hệ phương

trình cân bằng cung - cầu là một hệ phương trình nhiều ẩn, nhiều phương trình và do đó rất khó giải Ngoài ra, giá cả của hàng hoá còn phụ thuộc vào nhiều yếu tố khác nữa, chứ không phải chỉ

là quan hệ cung - cầu

Câu 17 Xét thị trường hải sản gồm ba mặt hàng là cua, tôm và cá Kí hiệu , ,x y z lần lượt là giá 1 kg cua,

1 kg tôm và 1 kg cá (đơn vị nghìn đồng) Kí hiệu

Q là lượng cua, tôm và cá mà

người bán bằng lòng bán với giá ,x y và z Kí hiệu

Q tương ứng là lượng cua, tôm

và cá mà người mua bằng lòng mua với giá ,x y và z Cụ thể các hàm này được cho bởi

Trang 16

Hệ phương trình cân bằng cung - cầu là:

Vậy mức giá cua, tôm và cá mà người bán và người mua cùng hài lòng lần lượt là 600 nghìn đồng

Câu 19 Em Hà so sánh tuổi của mình với chị Mai và anh Nam Tuổi của anh Nam gấp ba lần tuổi của em

Hà Cách đây bảy năm tuổi của chị Mai bằng nửa số tuổi của anh Nam Ba năm nữa tuổi của anh Nam bằng tổng số tuổi của chị Mai và em Hà Hỏi tuổi của mỗi người là bao nhiêu?

Lời giải:

Gọi tuổi hiện nay của em Hà, chị Mai, anh Nam lần lượt là x y z, ,

- Tuổi của anh Nam gấp ba lần tuổi của em Hà, suy ra z3xhay 3x z 0 (1)

- Cách đây bảy năm tuổi của chị Mai bằng nửa số tuổi của anh Nam, suy ra (y7) 1( 7)

2 zhay 2y z 7(2)

- Ba năm nữa tuổi của anh Nam bằng tổng số tuổi của chị Mai và em Hà, suy ra (z + 3)

Vậy tuổi hiện nay của em Hà, chị Mai, anh Nam lần lượt là 13,23, 39

Câu 20 Bác Việt có 330740 nghìn đồng, bác chia số tiền này thành ba phần và đem đầu tư vào ba hình

thức: Phần thứ nhất bác đầu tư vào chứng khoán với lãi thu được 4% một năm; phần thứ hai bác

Trang 17

mua vàng thu lãi 5% một năm và phần thứ ba bác gửi tiết kiệm với lãi suất 6% một năm Sau một năm, kể cả gốc và lãi bác thu được ba món tiền bằng nhau Hỏi tổng số tiền cả gốc và lãi bác thu được sau một năm là bao nhiêu?

- Số tiền kể cả gốc lẫn lãi bác Việt thu được từ ba khoản là x4% ,x y5% ,y z6%z

Vì bác thu được ba món tiền bằng nhau nên x4%x y5%y z 6%z

Vậy số tiền bác Việt đầu tư vào chứng khoán, mua vàng, gửi tiết kiệm lần lượt là 111300 nghìn đồng, 110240 nghìn đồng, 109200 nghìn đồng

Câu 21 Một tuyến cáp treo có ba loại vé sau đây: vé đi lên giá 250 nghìn đồng; vé đi xuống giá 200 nghìn

đồng và vé hai chiều giá 400 nghìn đồng Một ngày nhà ga cáp treo thu được tổng số tiền là 251 triệu đồng Tìm số vé bán ra mỗi loại, biết rằng nhân viên quản lí cáp treo đếm được 680 lượt người đi lên và 520 lượt người đi xuống

- Có 680 lượt người đi lên, suy ra x z 680 (2)

- Có 520 lượt người đi xuống, suy ra y  z 520 (3)

Từ' (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình:

250 200 400 251000

680520

Vậy số vé bán ra loại đi lên, đi xuống và hai chiều lần lượt là 220,60, 460

Câu 22 Ba lớp 10 ,10 ,10A B C của một trường trung học phổ thông gồm 128 em cùng tham gia lao động

trồng cây Tính trung bình, mỗi em lớp 10A trồng được 3 cây xoan và 4 cây bạch đàn; mỗi em lớp 10B trồng được 2 cây xoan và 5 cây bạch đàn; mỗi em lớp 10C trồng được 6 cây xoan Cả ba lớp trồng được tổng cộng 476 cây xoan và 375 cây bạch đàn Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu em?

Lời giải:

Gọi số học sinh ba lớp 10 ,10 ,10A B C lần lượt là x y, , z

- Ba Iớp có 128 học sinh, suy ra x  y z 128(1)

- Cả ba lớp trồng được tổng cộng 476 cây xoan, suy ra 3x2y6z476 (2)

Cả ba lớp trồng được tổng cộng 375 cây bạch đàn, suy ra 4x + 5y = 375 (3)

Tữ' (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình:

Tiêu đề	Ứng Dụng Hệ Phương Trình
Tác giả	Nguyễn Bảo Vương
Trường học	Trường Đại học Sư phạm Hà Nội
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Chuyên đề
Năm xuất bản	2023
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	31
Dung lượng	1,09 MB