giai toan 9 luyen tap trang 75 76

Luyện tập trang 75, 76 Bài tập 19 trang 75 SGK Toán lớp 9 tập 2 Cho đường tròn tâm O, đường kính AB và S là một điểm nằm bên ngoài đường tròn SA và SB lần lượt cắt đường tròn tại M, N Gọi H là giao đi[.]

Luyện tập trang 75, 76 Bài tập 19 trang 75 SGK Toán lớp 9 tập 2: Cho đường tròn tâm O, đường kính

AB và S là một điểm nằm bên ngoài đường tròn SA và SB lần lượt cắt đường tròn tại M, N Gọi H là giao điểm của BM và AN Chứng minh rằng SH vuông góc với

AB

Lời giải:

Trong đường tròn (O), AMB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) nên ta có:

o

AMB90

  tại M

  tại M

Trong đường tròn (O), ANB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) nên ta có:

o

ANB90

  tại N

  tại N

Xét tam giác SAB có:

BMSA tại M

HABN tại N

Do đó, BM và AN là hai đường cao của tam giác SAB

Mà BM cắt AN tại H

Do đó, H là trực tâm của tam giác SAB

  (đcpcm)

Bài tập 20 trang 76 SGK Toán lớp 9 tập 2: Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt

nhau tại A và B Vẽ các đường kính AC và AD của hai đường tròn Chứng minh

rằng ba điểm C, B, D thẳng hàng

Lời giải:

Xét đường tròn (O)

Có AC là đường kính nên ABC là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

o ABC 90

 

  (1)

Xét đường tròn (O’) vì AD là đường kính nên ABD là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

o ABD 90

 

  (2)

Từ (1), (2) ta suy ra: B, C, D thẳng hàng

Bài tập 21 trang 76 SGK Toán lớp 9 tập 2: Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và

(O') cắt nhau tại A và B Vẽ đường thẳng qua A cắt (O) tại M và cắt (O') tại N (A

nằm giữa M và N) Hỏi MBN là tam giác gì ? Tại sao ?

Lời giải:

Hai đường tròn (O) và (O') bằng nhau cắt nhau tại hai điểm A và B nên cung nhỏ

AB thuộc đường tròn (O) bằng cung nhỏ AB thuộc đường tròn (O’)

Mà ta có:

Trong đường tròn (O), góc AMB là góc nội tiếp chắn cung nhỏ AB

Trong đường tròn (O’), góc ANB là góc nội tiếp chắn cung nhỏ AB

AMB ANB

Xét tam giác BMN có:

AMBANB

Do đó, tam giác BMN cân tại B

Bài tập 22 trang 76 SGK Toán lớp 9 tập 2: Trên đường tròn (O) đường kính AB,

lấy điểm M (khác A và B) Vẽ tiếp tuyến của (O) tại A Đường thẳng BM cắt tiếp

tuyến đó tại C Chứng minh rằng ta luôn có: MA2 MB.MC

Lời giải

Xét đường tròn (O)

Góc AMB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn AMB90o

CA là tiếp tuyến của (O) tại A (gt) CAB90o

o MAC MAB 90

   (1)

Xét tam giác AMB vuông tại M có:

o MABMBA90 (2)

Xét tam giác CAB vuông tại A có:

o MCAMBA90 (3)

Từ (1) và (2) ta suy ra MBAMAC (cùng phụ MAB)

Từ (2) và (3) ta suy ra MABMCA (cùng phụ MBA )

Xét tam giác MAB và tam giác MCA có:

MBAMAC (chứng minh trên)

MABMCA (chứng minh trên)

Do đó, tam giác MAB đồng dạng với tam giác MCA (góc – góc)

MA MC

2

  (đcpcm)

Bài tập 23 trang 76 SGK Toán lớp 9 tập 2: Cho đường tròn (O) và một điểm M

cố định không nằm trên đường tròn Qua M kẻ hai đường thẳng Đường thẳng thứ nhất cắt (O) tại A và B Đường thẳng thứ hai cắt (O) tại C và D Chứng minh: MA.MB = MC.MD

Hướng dẫn Xét cả hai trường hợp điểm M nằm bên trong và bên ngoài đường tròn Trong mỗi trường hợp, xét hai tam giác đồng dạng

Lời giải:

TH1: Điểm M nằm bên trong đường tròn

Xét đường tròn (O)

Góc AB’M là góc nội tiếp chắn cung nhỏ AA’

Góc A’BM là góc nội tiếp chắn cung nhỏ AA’

AB'M A 'BM

Xét tam giác MAB’ và tam giác MA’B có:

A'MB AMB' (hai góc đối đỉnh)

AB'MA'BM (chứng minh trên)

Do đó, tam giác MAB’ đồng dạng với tam giác MA’B (góc – góc)

MA ' MB

MA.MB MB'.MA '

TH2: Điểm M nằm bên ngoài đường tròn

Góc AB’M là góc nội tiếp chắn cung nhỏ AA’

Góc A’BM là góc nội tiếp chắn cung nhỏ AA’

AB'M A 'BM

Xét tam giác MAB’ và tam giác MA’B có:

AB'MA'BM (chứng minh trên)

M chung

Do đó, tam giác MAB’ đồng dạng với tam giác MA’B (góc – góc)

MA ' MB

MA.MB MB'.MA '

Bài tập 24 trang 76 SGK Toán lớp 9 tập 2: Một chiếc cầu được thiết kế như hình

21 có độ dài AB = 40m, chiều cao MK = 3m Hãy tính bán kính của đường tròn

chứa cung AMB

Lời giải:

Chiếc cầu là cung của đường tròn tâm O bán kính R

Kẻ đường kính MN vuông góc với AB tại K

Theo định lý về đường kính và dây cung ta có: K là trung điểm của AB nên ta có:

KA = KB = 20m

Do MN vuông góc với AB tại K nên ta có:

o AKMBKN90

Trong đường tròn (O), góc MAK và góc BNK là các góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ BM

MAK BNK

Xét tam giác KAM và tam giác KNB có:

o AKMBKN90 (chứng minh trên)

MAKBNK (chứng minh trên)

Do đó, tam giác KAM đồng dạng với tam giác KNB (góc – góc)

Mà:

KA = KB = 20m

KM = 3m

KN = MN – KM = 2R – 3 (do MN là đường kính của đường tròn (O;R))

2R 3 20



400 2R 3

3

400

3 3

2



Vậy bán kính đường tròn chứa cung AMB dài 68,2 m

Bài tập 25 trang 76 SGK Toán lớp 9 tập 2: Dựng một tam giác vuông, biết cạnh huyền dài 4cm và một cạnh góc vuông dài 2,5cm

Lời giải:

Cách dựng:

- Dựng đường tròn (O) có đường kính BC bằng 4cm

- Vẽ đường tròn tâm B bán kính 2,5 cm

- Hai đường tròn cắt nhau tại điểm A

- Ta được tam giác ABC là tam giác cần dựng

Chứng minh:

Trong đường tròn (O), góc BAC là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

o BAC 90

Xét tam giác ABC có BAC90o

Do đó, ABC là tam giác vuông tại A có:

BC = 4cm

BA = 2,5cm (do A nằm trên đường tròn (B; 2,5cm))

Bài tập 26 trang 76 SGK Toán lớp 9 tập 2: Cho AB, BC, CA là ba dây của

đường tròn (O) Từ điểm chính giữa M của cung AB vẽ dây MN song song với dây

BC Gọi giao điểm của MN và AC là S Chứng minh SM = SC và SN = SA

Lời giải:

Xét đường tròn (O)

Theo giả thiết, ta có: M là điểm chính giữa cung AB

MA MB

  (1)

Mặt khác, ta có: MN // BC

MB NC

  (2) (hai dây song song chắn hai cung bằng nhau)

Từ (1) và (2) ta suy ra:

MANC (3)

Mà ta có:

Góc MCA là góc nội tiếp chắn cung MA

Góc NMC là góc nội tiếp chắn cung NC

ACM CMN

SMC SCM

Xét tam giác SMC có:

SMCSCM

Do đó, tam giác SMC cân tại S

 SM = SC

Mặt khác, ta lại có:

Góc ANM là góc nội tiếp chắn cung MA (4) Góc NAC là góc nội tiếp chắn cung NC (5)

Từ (3), (4), (5) ta suy ra: ANMNAC SAN SNA

Xét tam giác SAN có:

SANSNA

Do đó, tam giác SAN cân tại S

 SA = SN