giai sbt toan 9 bai 8 duong tron ngoai tiep duong tron noi tiep

Bài 8 Đường tròn ngoại tiếp Đường tròn nội tiếp Bài 44 trang 107 SBT Toán lớp 9 tập 2 Vẽ hình vuông ABCD tâm O rồi vẽ tam giác đều có một đỉnh là A và nhận O làm tâm Nêu cách vẽ Lời giải Vẽ hình vuông[.]

Bài 8 Đường tròn ngoại tiếp Đường tròn nội tiếp

Bài 44 trang 107 SBT Toán lớp 9 tập 2: Vẽ hình vuông ABCD tâm O rồi vẽ tam giác

đều có một đỉnh là A và nhận O làm tâm Nêu cách vẽ

Lời giải:

- Vẽ hình vuông

- Vẽ đường tròn (O; R)

- Vẽ hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau

- Nối AB, BC, CD, DA ta được tứ giác ABCD là hình vuông nội tiếp trong đường tròn (O; R)

-Từ A đặt liên tiếp các cung bằng nhau có dây tương ứng bằng R:

1 1 2 2 3 3 4

AA ;A A ;A C;CA ;A A

- Nối AA2, A A2 3, A A3 ta được tam giác AA A2 3 là tam giác đều nhận O làm tâm Chứng minh:

Vì các cung AA ;A A ;A C;CA ;A A bằng nhau nên ta có 1 1 2 2 3 3 4

2 2 3 3

AA A A A A

Suy ra AA2 = A A2 3 = A A3 nên tam giác AA A2 3 là tam giác đều

Theo cách vẽ ta có O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AA A2 3

Bài 45 trang 107 SBT Toán lớp 9 tập 2: Vẽ đường tròn tâm O bán kính R = 2cm rồi vẽ

hình tám cạnh đều nội tiếp đường tròn (O; 2cm) Nêu cách vẽ

Lời giải:

Cách vẽ:

- Vẽ đường tròn (O; 2cm)

- Vẽ hai đường kính AC và BD vuông góc với nhau

- Nối AB, BC, CD, DA ta có hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (0; 2cm)

- Kẻ đường kính EFAD, đường kính GH AB

Nối AE, ED, DG, GC, CF, FB, BH, HA ta có đa giác AEDGCFBH là đa giác đều 8 cạnh nội tiếp trong đường tròn (O; 2cm)

Bài 46 trang 107 SBT Toán lớp 9 tập 2: Cho một đa giác đều n cạnh có độ dài mỗi

cạnh là a Hãy tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp và bán kính r của đường tròn nội tiếp đa giác đều đó

Hướng dẫn: Tính COB rồi tính sin COB và tanCOB, từ đây tính được R và r

Lời giải:

Giả sử một đa giác đều n cạnh có độ dài một cạnh là a

Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp, r bán kính đường tròn nội tiếp

OB R;OC r

Có:

o 360 AOB

n



360 180

COB : 2

Tam giác OAB cân tại O (do OA = OB = R) nên OC vừa là đường cao vừa là đường

trung tuyến Do đó, C là trung điểm của AB nên CB = a

2 Xét tam giác OCB có: OCB 90 o

a

CB 2 a

sin COB

OB R 2R

o

a 2R

180 sin

n

o

a R

180 2.sin

n

 

Xét tam giác OCB vuông tại C, ta có:

a

CB 2 a

tan COB

OC r 2r

o

a

2r

180

tan

n

 

o

a

r

180 2.tan

n

Bài 47 trang 108 SBT Toán lớp 9 tập 2:

a) Vẽ một lục giác đều ABCDEG nội tiếp đường tròn bán kính 2cm rồi vẽ hình 12 cạnh đều AIBJCKDLEMGN nội tiếp đường tròn đó Nêu cách vẽ

b) Tính độ dài cạnh AI

c) Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp hình AIBJCKDLEMGN

Hướng dẫn: Áp dụng các công thức ở bài 46

Lời giải:

a)

Cách vẽ:

- Vẽ đường tròn (O; 2cm)

- Từ điểm A trên đường tròn (O; 2cm) đặt liên tiếp các cung bằng nhau có dây căng cung 2cm

AB BC CD DE   EG

- Nối AB, BC, CD, DE, EG, GA ta có lục giác đều ABCDEG nội tiếp đường tròn (O; 2cm)

- Kẻ đường kính vuông góc với AB và DE cắt đường tròn tại I và L

Ta có: AIIB, LD LE

Tương tự,

- Kẻ đường kính vuông góc với BC và EG cắt đường tròn tại J và M

Ta có: JB JC, MG ME

- Kẻ đường kính vuông góc với CD và AG cắt đường tròn tại K và N

Ta có: KCKD, NANG

- Nối AI, IB, BJ, JC, CK, KD, DL, LE, EM, MG, GN, NA

Ta có đa giác đều 12 cạnh AIBJCKDLEMGN

b)

AI là cạnh của đa giác đều 12 cạnh

Kẻ OH vuông góc với AI tại H

Có:

o o 360

24

Ta có: H là trung điểm của AI (đường kính vuông góc với dây cung tại trung điểm)

AI

IH

2

Xét tam giác IOH vuông tại H có:

OI

sin IOH 2sin IOH

o

AI OI.2sin IOH 2.2sin15 1,04

c)

Có: OH = r (bán kính đường tròn nội tiếp đa giác đều 12 cạnh)

Trong tam giác vuông OHI có:

OH OI.cosIOH 2.cos15  1,93 (cm)

Bài 48 trang 108 SBT Toán lớp 9 tập 2:

a) Tính cạnh của một ngũ giác đều nội tiếp đường tròn bán kính 3cm

b) Tính cạnh của một ngũ giác đều ngoại tiếp đường tròn bán kính 3cm

Lời giải:

a)

Kẻ OH vuông góc với AB tại H

Có: HA = HB = 1

AB

2 (đường kính vuông góc với dây cung tại trung điểm)

OA = R = 3cm

Vì ABCDE là ngũ giác đều nên:

o

o 360

5

o

o BOA 72

Xét tam giác OHA vuông tại H có:

o

AB 2AH 2OA.sin HOA 2.3.sin36 3,53

b)

Từ giả thiết ta có OH = r = 3cm (là bán kính đường tròn nội tiếp ngũ giác đều)

Xét tam giác vuông OHA vuông tại H có:

o

AH OH.tan HOA AB 2AH 2OH.tan HOA2.3.tan36 4,359 (cm)

Bài 49 trang 108 SBT Toán lớp 9 tập 2: Tính cạnh của hình tám cạnh đều theo bán

kính R của đường tròn ngoại tiếp

Hướng dẫn

Cách 1 Áp dụng công thức

o 180

a 2Rsin

n

 Cách 2 Tính trực tiếp

Vẽ dây AB là cạnh của một hình vuông nội tiếp đường tròn (O), gọi C là điểm chính giữa của cung nhỏ AB Khi đó CA là cạnh của hình tám cạnh đều nội tiếp Hãy tính CA trong tam giác vuông CAC’ (h.5)

Lời giải:

Cách 1: Áp dụng công thức:

o

o 180

a 2Rsin 2Rsin 22 30' 0,765R

n

Cách 2:

AC là cạnh của đa giác đều tám cạnh

Nên sđAC 1.360o 45o

8

Do đó, ta có: s AC o

AC'C đ 22 30'

2

  (tính chất góc nội tiếp) Xét tam giác CAC’ vuông tại A

Có: sin AC'C AC

CC'

AC CC'.sin AC'C 2R.sin 22 30' 0,765R

Bài 50 trang 108 SBT Toán lớp 9 tập 2: Trong đường tròn (O; R) cho một dây AB

bằng cạnh hình vuông nội tiếp và dây BC bằng cạnh tam giác đều nội tiếp (điểm C và

điểm A ở cùng một phía đối với BO) Tính các cạnh của tam giác ABC và đường cao

AH của nó theo R

Lời giải:

Dây AB bằng cạnh hình vuông nội tiếp đường tròn (O; R) nên AB R 2

Cung AB nhỏ có số đo: sđAB 360 : 4 90 o  o

Dây BC bằng cạnh hình tam giác đều nội tiếp đường tròn (O; R) nên BC R 3 và cung nhỏ BC có sđBC 360 :3 120 o  o

sđAC= sđBC- sđAB = 120o 90o 30o

1

ABC

2

  sđAC = 15 (tính chất góc nội tiếp) o

Xét tam giác AHB có AHB 90 o

Do đó, tam giác AHB vuông tại H

Có: AH AB.sin ABH R 2.sin15  o0,366R

Xét tam giác AHC có AHC 90 o

Do đó, tam giác AHC vuông tại H

Có:

o 1

ACH ACB s AB 45

2 đ

   (tính chất góc nội tiếp)

AH AH 0,366R

sin 45 sin 45 sin ACH

Bài 51 trang 108 SBT Toán lớp 9 tập 2: Cho ngũ giác đều ABCDE Gọi I là giao điểm

của AD và BE Chứng minh: DI2 = AI.AD

Hướng dẫn Vẽ đường tròn ngoại tiếp ngũ giác đều ABCDE rồi xét hai tam giác đồng dạng AIE và AED

Lời giải:

Vẽ đường tròn ngoại tiếp ngũ giác đều ABCDE

sđAB = sđBC = sđCD = sđDE = sđAE =

o 360

5 =

o

72 (1)

Ta có:

1

1

E

2

 sđAB (tính chất góc nội tiếp) (2)

1

D

2

 sđAE (tính chất góc nội tiếp) (3)

Từ (1), (2), (3) ta suy ra E1D1

Xét tam giác AIE và tam giác AED có:

1 1

E D

Góc A chung

Do đó, tam giác AIE và tam giác AED đồng dạng (góc – góc)

AI AE

AE AD

2

AE AI.AD

  (*)

Lại có:

2

1

E

2

 sđBCD (tính chất góc nội tiếp)

2

1

E

2

  (sđBC + sđCD) (4)

1

1

I

2

 ( sđDE + sđAB) (tính chất góc có đỉnh ở bên trong đường tròn) (5)

Từ (1), (4), (5) ta suy ra: E2 I1

Do đó, tam giác DEI cân tại D

DE DI

Mà DE = AE (gt)

DI AE

  (**)

Từ (*) và (**) ta suy ra: DI2 AI.AD

Bài tập bổ sung:

Bài 8.1 trang 109 SBT Toán lớp 9 tập 2: Mỗi câu sau đây đúng hay sai?

a) Mỗi tam giác luôn có một đường tròn ngoại tiếp và một đường tròn nội tiếp

b) Mỗi tứ giác luôn có một đường tròn ngoại tiếp và một đường tròn nội tiếp

c) Giao điểm ba đường trung tuyến của một tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ấy

d) Giao điểm ba đường trung trực của một tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ấy

e) Giao điểm ba đường phân giác trong của một tam giác là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ấy

f) Giao điểm ba đường cao của một tam giác là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ấy g) Tứ giác có tổng độ dài các cặp cạnh đối nhau bằng nhau thì ngoại tiếp được đường tròn

h) Tứ giác có tổng số đo các cặp góc (trong) đối nhau bằng nhau thì nội tiếp được đường tròn

i) Đường tròn tiếp xúc với các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác là đường tròn nội tiếp tam giác đó

Lời giải:

Câu a: Đúng

Câu b: Sai vì nếu tứ giác không phải tứ giác nội tiếp ta không có đường tròn ngoại tiếp

tứ giác đó

Câu c: Sai vì giao ba đường trung trực là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Câu d: Đúng

Câu e: Đúng

Câu f: Sai vì giao ba đường phân giác là tâm đường tròn nội tiếp tam giác

Câu g: Đúng

Câu h: Đúng

Câu i: Sai vì nó còn có thể là đường tròn bàng tiếp tam giác

Bài 8.2 trang 109 SBT Toán lớp 9 tập 2: Cho đường tròn tâm O bán kính R và điểm M

ở ngoài đường tròn đó Qua điểm M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (O) Qua điểm M kẻ cát tuyến MCD với đường tròn (O) (tức là đường thẳng đi qua điểm M và cắt đường tròn tại hai điểm C, D) Gọi I là trung điểm của dây CD Khi đó MAOIB có là ngũ giác nội tiếp hay không ?

Lời giải:

Để MAOIB là ngũ giác thì cát tuyến MCD không đi qua O

Xét đường tròn (O) có:

IC = ID (gt)

Do đó, OI vuông góc với CD tại I (đường kính đi qua điểm chính giữa của dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó)

o

MIO 90

Mặt khác, MA vuông góc với OA tại A (tính chất tiếp tuyến)

o

MAO 90

Lại có: MB vuông góc với OB tại B (tính chất tiếp tuyến)

o

MBO 90

A, I, B nhìn MO dưới một góc bằng o

90 nên A, I, B nằm trên đường tròn đường kính

MO

Do đó, ngũ giác MAOIB nội tiếp