giai sbt toan 9 bai 7 tu giac noi tiep

Bài 7 Tứ giác nội tiếp Bài 39 trang 106 SBT Toán lớp 9 tập 2 Trên đường tâm O có một cung AB và S là điểm chính giữa của cung đó Trên dây AB lấy hai điểm E và H Các đường thẳng SH và SE cắt đường tròn[.]

Bài 7 Tứ giác nội tiếp Bài 39 trang 106 SBT Toán lớp 9 tập 2: Trên đường tâm O có một cung AB và S

là điểm chính giữa của cung đó Trên dây AB lấy hai điểm E và H Các đường thẳng SH và SE cắt đường tròn theo thứ tự tại C và D Chứng minh EHCD là một

tứ giác nội tiếp

Lời giải:

S là điểm chính giữa của cung nhỏ AB (gt)

SA SB

  (1)

Ta lại có:

1

DEB s DCB s AS

  (góc có đỉnh ở bên trong đường tròn) (2)

1

DCS

2

 sđDAS 1s DA s Sđ A

  (góc nội tiếp chắn cung) (3)

Từ (2) và (3) ta suy ra: 1 

DEB DCS s DCB s AS s DA s SA

Từ (1) và (4) ta suy ra:

o

DEB DCS s DCB s BS s DA s SA 180

Hay DEH DCH 180  o

Vậy tứ giác EHCD là tứ giác nội tiếp

Bài 40 trang 106 SBT Toán lớp 9 tập 2: Cho tam giác ABC Các đường phân

giác trong của góc B và góc C cắt nhau tại S, các đường phân giác ngoài của góc B

và góc C cắt nhau tại E Chứng minh BSCE là một tứ giác nội tiếp

Lời giải:

Ta có:

BS vuông góc với BE tại B (do hai tia phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc với nhau)

o

SBE 90

CS vuông góc với CE tại C (do hai tia phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc với nhau)

o

SCE 90

Xét tứ giác BSCE có: SBE SCE 90  o90o 180o

Do đó, BSCE là tứ giác nội tiếp

Bài 41 trang 106 SBT Toán lớp 9 tập 2: Cho tam giác cân ABC có đáy BC và

góc A 20 o Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C lấy điểm D sao cho

DA = DB và DAB 40 o Gọi E là giao điểm của AB và CD

a) Chứng minh ACBD là một tứ giác nội tiếp

b) Tính AED

Lời giải:

a)

Tam giác ABC cân tại A (gt)

ACB ABC

o

180 A 180 20

Tam giác DAB cân tại A (do DA = DB – gt)

o

DBA DAB 40

ADB 180 DAB DBA 180 40 40 100

Xét tứ giác ACBD có: ACB ADB 80  o100o 180o

Do đó, tứ giác ACBD nội tiếp

b)

Vì tứ giác ACBD nội tiếp (chứng minh câu a) nên xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác ACBD có:

1

BAC

2

 sđBC (tính chất góc nội tiếp)

BC 2BAC 2.20  40

1

DBA

2

 sđAD(tính chất góc nội tiếp)

AD 2DBA 2.40  80

Góc AED là góc có đỉnh ở trong đường tròn ngoại tiếp tứ giác ACBD

o

Bài 42 trang 107 SBT Toán lớp 9 tập 2: Cho ba đường tròn cùng đi qua một

điểm P Gọi các giao điểm khác P của hai trong ba đường tròn đó là A, B, C Từ một điểm D (khác điểm P) trên đường tròn (PBC) kẻ các tia DB, DC cắt các đường tròn (PAB), (PAC) lần lượt tại M, N Chứng minh ba điểm M, A, N thẳng hàng

Lời giải:

Gọi ba đường tròn tâm O1, O2, O3

(O1) cắt (O2) tại A; (O1) cắt (O3) tại B

(O2) cắt (O3) tại C

Do đó, D là điểm nằm trên đường tròn (O3)

BD cắt (O1) tại M, DC cắt (O2) tại N

Nối PA, PB, PC, MA, NA

Ta có, tứ giác APBM nội tiếp đường tròn (O1)

Nên MAP MBP 180  o (tính chất tứ giác nội tiếp)

Mà MBP PBD 180  o (hai góc kề bù)

MAP PBD

  (1)

Ta có, tứ giác APCN nội tiếp đường tròn (O2)

Nên NAP NCP 180  o(tính chất tứ giác nội tiếp)

Mà NCP PCD 180  o(hai góc kề bù)

NAP PCD

  (2)

Ta có, tứ giác BPCD nội tiếp đường tròn (O3)

Nên PBD PCD 180  o (tính chất tứ giác nội tiếp) (3)

Từ (1), (2) và (3) ta suy ra: MAP NAP 180  o

Vậy ba điểm M, A, N thẳng hàng

Bài 43 trang 107 SBT Toán lớp 9 tập 2: Cho đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại

E Biết AE.EC = BE.ED Chứng minh bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn

Lời giải:

Từ AE.EC = BE.ED (gt)

AE BE

ED EC

Xét tam giác AEB và tam giác DEC có:

AEB DEC (hai góc đối đỉnh)

AE BE

ED  EC

Do đó, tam giác AEB và tam giác DEC đồng dạng (cạnh – góc – cạnh)

BAE CDE BAC CDB

Do đó, A và D nhìn đoạn BC cố định dưới một góc bằng nhau nên A, B, C, D nằm trên một đường tròn

Bài tập bổ sung

Bài 7.1 trang 107 SBT Toán lớp 9 tập 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Vẽ

các đường cao AI, BK, CL của tam giác ấy Gọi H là giao điểm của các đường cao vừa vẽ

a) Chỉ ra các tứ giác nội tiếp có đỉnh lấy trong số các điểm A, B, C, H, I, K, L b) Chứng minh LBH,LIH,KIH và KCH là 4 góc bằng nhau

c) Chứng minh KB là tia phân giác của LKI

Lời giải:

Vì tam giác ABC là tam giác nhọn nên ba đường cao cắt nhau tại điểm H nằm trong tam giác ABC

a)

Tứ giác AKHL có: AKH ALH 90  o90o180o

Do đó, tứ giác AKHL là tứ giác nội tiếp

Tứ giác BIHL có: BIH BLH 90  o90o 180o

Do đó, tứ giác BIHL là tứ giác nội tiếp

Tứ giác CIHK có: CIH CKH 90  o90o180o

Do đó, tứ giác CIHK là tứ giác nội tiếp

Tứ giác ABIK có: AKB AIB 90  o

K và I nhìn đoạn AB dưới một góc vuông nên tứ giác ABIK nội tiếp

Tứ giác BCKL có: BKC BLC 90  o

K và L nhìn đoạn BC dưới một góc vuông nên tứ giác BCKL nội tiếp

Tứ giác ACIL có: AIC ALC 90  o

I và L nhìn đoạn AC dưới một góc vuông nên tứ giác ACIL nội tiếp

b)

Tứ giác BIHL nội tiếp

LBH LIH

  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ LH) (1)

Tứ giác CIHK nội tiếp

HIK HCK

  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ HK) (2)

Tứ giác BCKL nội tiếp

LBK LCK

  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ LK) LBHHCK (3)

Từ (1), (2) và (3) ta suy ra: LBH LIH KIH KCH  

c)

Tứ giác CIHK nội tiếp

ICH IKH

  hay LCB IKH (hai góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ IH ) (*)

Tứ giác LKCB nội tiếp

LCB LKB

  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ LB) (**)

Từ (*) và (**) ta suy ra: LKH HKI

Do đó, KB là tia phân giác của góc LKI

Bài 7.2 trang 107 SBT Toán lớp 9 tập 2: Cho đường tròn tâm O bán kính R và

hai dây AB, CD bất kì Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB Gọi E và F

tương ứng là giao điểm của MC, MD với dây AB Gọi I và J tương ứng là giao điểm của DE, CF với đường tròn (O) Chứng minh IJ song song với AB

Lời giải:

Xét đường tròn (O)

Có M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB

MA MB

Lại có: AEC 1s AC s Mđ B

  (góc có đỉnh ở trong đường tròn)

1

CDM

2

 sđMAC (tính chất góc nội tiếp)

CDF s MA s ACđ s AC s MB

2

2

AEC CDF

Ta có: AEC CEF 180  o (hai góc kề bù)

CDF CEF 180

Nên tứ giác CDFE nội tiếp

CDE CFE

  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ CE) CDI CFE

Xét đường tròn (O) có:

CDI CJI (hai góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ CAI)

CJI CFE

Do đó, IJ // AB (vì có cặp góc ở vị trí trị đồng vị bằng nhau)