giai sbt toan 9 bai 2 lien he giua cung va day

Bài 2 Liên hệ giữa cung và dây Bài 10 trang 101 SBT Toán lớp 9 tập 2 Cho tam giác ABC có AB > AC Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = AC Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác DBC Từ O lần lượt hạ cá[.]

Bài 2 Liên hệ giữa cung và dây Bài 10 trang 101 SBT Toán lớp 9 tập 2: Cho tam giác ABC có AB > AC Trên cạnh AB

lấy điểm D sao cho AD = AC Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác DBC Từ O lần lượt hạ các đường vuông góc OH, OK xuống BC và BD (H ∈ BC, K∈ BD)

a) Chứng minh rằng OH < OK

b) So sánh hai cung nhỏ BD và BC

Lời giải:

a)

Xét tam giác ABC có:

BC > AB – AC (bất đẳng thức trong tam giác)

Mà AC = AD (gt)

 BC > AB – AD

BC > BD

Xét đường tròn (O) ta có: BC > BD

Mà từ O lần lượt hạ các đường vuông góc OH, OK xuống BC và BD (gt)

Do đó, OH, OK lần lượt là khoảng cách từ tâm đến BC, BD

 OH < OK (dây lớn hơn gần tâm hơn)

b)

Ta có: BC > BD

 BC BD (dây lớn hơn căng cung lớn hơn)

Bài 11 trang 101 SBT Toán lớp 9 tập 2: Trên dây cung AB của một đường tròn O, lấy

hai điểm C và D chia dây này thành ba đoạn thẳng bằng nhau AC = CD = DB Các bán kính qua C và D cắt cung nhỏ AB lần lượt tại E và F Chứng minh rằng :

a) AEFB;

b) AEEF

Lời giải:

a)

Xét tam giác OAB có:

OA = OB (cùng bằng bán kính đường tròn (O))

Do đó, tam giác OAB cân tại O

OAB OBA

Xét tam giác OAC và tam giác OBD có:

OA = OB (cùng bằng bán kính đường tròn (O))

OABOBA (cmt)

AC = BD (gt)

Do đó, tam giác OAC bằng tam giác OBD (cạnh – góc – cạnh)

  (1)

Mặt khác, ta có:

Góc O là góc ở tâm chắn cung nhỏ AE sđ1 AEO1 (2) Góc O là góc ở tâm chắn cung nhỏ BF 2 sđBFO2 (3)

Từ (1), (2), (3) ta suy ra: s AEđ s BFđ nên AEBF

b)

Tam giác OAC bằng tam giác OBD (chứng minh phần a)

⇒ OC = OD

Do đó, tam giác OCD cân tại O

o

OCD ODC 90

Mà ODC CDF 180  o (hai góc kề bù)

o

CDF 90

Xét tam giác CDF có:

o

CDF90

⇒ CF > CD

Mà CD = AC

Nên CF > AC

Xét tam giác OAC và tam giác OCF có:

OA = OF (cùng bằng bán kính đường tròn (O))

OC là cạnh chung

AC < CF (chứng minh trên)

  (hai tam giác có 2 cạnh bằng nhau từng đôi một, cạnh thứ ba không bằng nhau thì đối diện cạnh lớn hơn là góc lớn hơn)

Mà:

Góc O là góc ở tâm chắn cung nhỏ AE sđ1 AEO1

Góc O là góc ở tâm chắn cung nhỏ EF 3 sđEFO3

Do đó: s AE s EFđ  đ AEEF

Bài 12 trang 101 SBT Toán lớp 9 tập 2: Cho đường tròn tâm O Trên nửa đường tròn

đường kính AB lấy hai điểm C, D Từ C kẻ CH vuông góc với AB, nó cắt đường tròn tại điểm thứ hai là E Từ A kẻ AK vuông góc với DC, nó cắt đường tròn tại điểm thứ hai là

F Chứng minh rằng:

a) Hai cung nhỏ CF và BD bằng nhau

b) Hai cung nhỏ BF và DE bằng nhau

c) DE = BF

Lời giải:

a)

Tam giác AFB nội tiếp đường tròn (O) có AB là đường kính nên tam giác AFB vuông tại

F

o

AFB 90

BF AK

  tại F

Mà AK vuông góc với CD (gt)

BF CD

 ∥

BD CF

  (hai cung chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau)

b)

Đường kính AB vuông góc với CE tại H nên H là trung điểm của CE

Do đó, C đối xứng với E qua trục AB

BC BE

BC BE

  (hai dây cung bằng nhau căng hai cung bằng nhau)

Mà BDCF (cmt)

BC CF BE BD

BF DE

c)

Có: BFDE (cmt)

Do đó, BF = DE (hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau)

Bài 13 trang 101 SBT Toán lớp 9 tập 2: Cho đường tròn (O) Gọi I là điểm chính giữa

của cung AB (không phải là cung nửa đường tròn) và H là trung điểm của dây AB Chứng

minh rằng đường thẳng IH đi qua tâm O của đường tròn

Lời giải:

Theo đề bài ta có: IA IB

 IA = IB (hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau)

Do đó, I nằm trên đường trung trực của AB (1)

Mặt khác, OA = OB (cùng bằng bán kính đường tròn (O))

Do đó, O nằm trên đường trung trực của AB (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra OI là đường trung trực của AB

Mà H là trung điểm của AB, do đó H thuộc OI

Do đó, ba điểm I, H, O thẳng hàng

Vậy đường thẳng IH đi qua tâm O của đường tròn

Bài 14 trang 101 SBT Toán lớp 9 tập 2: Cho đường tròn (O; R) Hãy vẽ hai cung (không

phải là cung lớn) biết rằng cung này có số đo gấp ba lần số đo cung kia và có dây căng cung dài gấp đôi dây căng cung kia

Lời giải:

Vì không phải là cung lớn nên hai cung đó có thể là cung nhỏ hoặc cung nửa đường tròn

Ta có cung nửa đường tròn có số đo bằng 180° và dây cung bằng 2R, cung nửa đường tròn này gấp ba lần cung tròn 60° (có góc ở tâm bằng 60°)

Tam giác tạo bởi dây căng cung và hai bán kính đi qua hai đầu mút của cung 60° là một tam giác đều nên dây căng cung bằng bán kính R Vậy nửa đường tròn và cung 60° thỏa mãn bài toán

Bài tập bổ sung

Bài 2.1 trang 101 SBT Toán lớp 9 tập 2: Cho đường tròn O bán kính R Vẽ góc ở tâm

o

AOB 80 , vẽ góc ở tâm BOC 120 o kề với AOB So sánh và sắp xếp độ dài AB, BC,

CA theo thứ tự tăng dần

Lời giải:

Ta có: AOB 80 o, BOC 120 o

AOC 360 80 120 160

Góc AOB là góc nội tiếp chắn cung nhỏ AB sđ o

ABAOB 80 Góc BOC là góc nội tiếp chắn cung nhỏ BC sđ o

BCBOC 120 Góc AOC là góc nội tiếp chắn cung nhỏ AC sđ o

ACAOC 160

AB BC AC

AB BC AC

  

Bài 2.2 trang 101 SBT Toán lớp 9 tập 2: Cho hình thoi ABCD Vẽ đường tròn tâm A,

bán kính AD Vẽ đường tròn tâm C, bán kính CB Lấy điểm E bất kỳ trên đường tròn tâm

A (không trùng với B và D), điểm F trên đường tròn tâm C sao cho BF song song với DE

So sánh hai cung nhỏ DE và BF

Lời giải:

Ta có (A; AD) và (C; CB) có bán kính AD = CB là cạnh của hình thoi ABCD nên hai đường tròn đó bằng nhau

Ta có: AD = AB = CD = CB

Do đó, (A; AD) và (C; CB) cắt nhau tại B và D

Mặt khác: DE // BF (gt)

EDB FBD

  (so le trong)

EDA ADB FBC CBD

Do ABCD là hình thoi nên ta có:

ADCABC

DB là phân giác của ADC và ABC

ADB CBD

  (2)

Từ (1) và (2) EDAFBC (3)

Xét tam giác ADE có:

AD = AE (cùng bằng bán kính đường tròn (A))

Do đó, tam giác ADE cân tại A

o

EAD 180 2EDA

Xét tam giác CBF có:

CB = CF (cùng bằng bán kính đường tròn (C))

Do đó, tam giác CBF cân tại C

o

BCF 180 FBC

   (5)

Từ (3), (4) và (5) ta suy ra: EADBCF

Mà ta có:

sđ DE EAD (góc ở tâm chắn cung)

sđ BF BCF (góc ở tâm chắn cung)

Và (A; AD) và (C; CB) bằng nhau

DE BF

 