Bài 3 Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế Bài 16 trang 9 SBT Toán 9 Tập 2 Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế a) 4x 5y 3 x 3y 5 b) 7x 2y 1 3x y 6 c) 1,3x 4,[.]
Trang 1Bài 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế Bài 16 trang 9 SBT Toán 9 Tập 2: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
a) 4x 5y 3
x 3y 5
b) 7x 2y 1
3x y 6
c) 1,3x 4,2y 12
0,5x 2,5y 5,5
d) 5x y 5 3 1
2 3x 3 5y 21
Lời giải:
a) 4x 5y 3
x 3y 5
4x 5y 3
x 3y 5
x 3y 5
x 3y 5
17y 17
x 3 1 5
x 3y 5
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (2; -1)
b) 7x 2y 1
3x y 6
7x 2y 1
Trang 2Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (1; 3)
c) 1,3x 4,2y 12
0,5x 2,5y 5,5
1,3x 4,2y 12
x 5y 11
1,3 5y 11 4,2y 12 1,3x 4,2y 12
6,5y 14,3 4,2y 12
2,3y 2,3
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (6; 1)
d) 5x y 5 3 1
2 3x 3 5y 21
2 3x 15x 15 3 1 21
2 3 15 x 6 15 3
6 15 3
x
2 3 15
Trang 3x 3
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = 3; 5
Bài 17 trang 9 SBT Toán 9 Tập 2: Giải các hệ phương trình:
a) 1,7x 2y 3,8
2,1x 5y 0,4
b) 5 2 x y 3 5
x 2y 6 2 5
Lời giải:
a) 1,7x 2y 3,8
2,1x 5y 0,4
1,7x 3,8 y
2 1,7x 3,8
2
1,7x 3,8
y
2 4,2x 5 1,7x 3,8 0,8
1,7x 3,8 y
2 4,2x 8,5x 19 0,8
1,7x 3,8
y
2 12,7x 19,8
198 198
x x
127 127
73 1,7x 3,8
y y
127 2
Vạy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) = 198; 73
127 127
b) 5 2 x y 3 5
x 2y 6 2 5
x 2y 6 2 5
Trang 4
x 0
x 0
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) =0;3 5
Bài 18 trang 9 SBT Toán 9 Tập 2: Tìm giá trị của a và b:
a) Để hệ phương trình 3ax b 1 y 93
bx 4ay 3
có nghiệm là (x; y) = (1; -5)
b) Để hệ phương trình
a 2 x 5by 25
có nghiệm là (x; y) = (3; -1)
Lời giải:
a) Thay x = 1; y = -5 vào hệ phương trình ta được
3a.1 b 1 5 93
b.1 4a 5 3
3a 5b 5 93
3a 5 20b 3 88 3a 5b 88
Trang 5103a 103
b 20a 3
Vậy khi a = 1; b = 17 thì hệ phương trình 3ax b 1 y 93
bx 4ay 3
có nghiệm là (x; y) = (1;
-5)
b) Thay x = 3; y = -1 vào hệ phương trình ta được:
6a b 2 5 2.a.3 b 2 1 5
Vậy với a = 2, b = -5 thì hệ phương trình
a 2 x 5by 25
có nghiệm là (x;y) = (3;
-1)
Bài 19 trang 9 SBT Toán 9 Tập 2: Tìm giá trị của a và b để hai đường thẳng (d1): (3a – 1)x + 2by = 56 và (d2): 1
ax 3b 2 y 3
2 cắt nhau tại điểm M(2; -5)
Lời giải:
Hai đường thẳng d1 và d2 cắt nhau tại điểm M(2; -5) nên tọa độ M là nghiệm của hệ
phương trình
3a 1 x 2by 56 1
ax 3b 2 y 3 2
Thay x = 2; y = -5 vào hệ ta được:
Trang 6
3a 1 2 2b 5 56
1
a.2 3b 2 5 3
2
6a 2 10b 56
a 15b 10 3
6a 10b 58
6 15b 7 10b 58
a 8
Vậy khi a = 8; b = -1 thì hai đường thẳng (d1): (3a – 1)x + 2by = 56 và (d2):
1
2 cắt nhau tại điểm M(2; -5)
Bài 20 trang 9 SBT Toán 9 Tập 2: Tìm a và b để:
a) Đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(-5; 3), B 3; 1
2
b) Đường thẳng ax – 8y = b đi qua điểm M(9; -6) và đi qua giao điểm của hai đường thẳng (d1): 2x + 5y = 17, (d2): 4x – 10y = 14
Lời giải:
a) Đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(-5; 3), B 3; 1
2
nên tọa độ của A và B
nghiệm đúng phương trình đường thẳng
Thay tọa độ điểm A vào đường thẳng ta được: 3 = -5a + b (1)
Thay tọa độ điiểm B vào đường thẳng ta được: 1 3a b
2
(2)
Trang 7Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
5a b 3 3
2
5a b 3
5a b 3 3
2
b 3 5a
b 3 5a
Vậy khi a 8;b 1
thì đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(-5; 3); B 3; 1
2
Đường thẳng cần tìm là y 8x 1
b) Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng (d1): 2x + 5y = 17, (d2): 4x – 10y = 14 là nghiệm
của hệ phương trình: 2x 5y 17
4x 10y 14
Ta có: 2x 5y 17 2x 5y 17
2x 5y 17 5y 7 x
2
2x 5y 17
5y 7
x
2
5y 7
2 5y 7 x
2
Trang 85y 7 5y 17 10y 10
x 6
y 1
Khi đó hai đường thẳng cắt nhau tại N(6; 1)
Đường thẳng ax - 8y = b đi qua điểm M(9; -6) và N(6; 1) nên có tọa độ của M và N là nghiệm đúng của phương trình đường thẳng:
Điểm M: 9a + 48 = b
Điểm N: 6a – 8 = b
Khi đó ta có hệ phương trình 9a 48 b 9a 48 6a 8 3a 56
56 a
56
3
Vậy khi a = 56
3
; b = -120 thì đường thẳng ax – 8y = b đi qua điểm M(9; -6); N(6; 1) là giao điểm của hai đường thẳng d1; d2
Bài 21 trang 9 SBT Toán 9 Tập 2: Tìm giá trị của m:
a) Để hai đường thẳng (d1): 5x – 2y = 3; (d2): x + y = m cắt nhau tại một điểm trên trục
Oy Vẽ hai đường thẳng này trên cùng một mặt phẳng tọa độ
b) Để hai đường thẳng (d1): mx + 3y = 10; (d2): x – 2y = 4 cắt nhau tại một điểm trên trục
Ox Vẽ hai đường thẳng này trên cùng một mặt phẳng tọa độ
Lời giải:
a) Giả sử hai đường thẳng (d1): 5x – 2y = 3; (d2): x + y = m cắt nhau tại điểm A(x, y)
Trang 9Vì giao điểm A nằm trên trục Oy nên x = 0 Suy ra: A(0; y).Khi đó điểm A(0; y) là nghiệm
của hệ phương trình: 5x 2y 3
Ta có:
3
2
2
Vậy khi m = 3
2
thì d : 5x1 2y3 và d : x2 y m cắt nhau tại một điểm trên trục
Oy
Phương trình đường thẳng 2
3
d : x y
2
Vẽ d : 1
Cho x = 0 thì y = 3 0; 3
Cho y = 0 thì x = 3 3;0
Vẽ d : Cho x = 0 thì 2 y 3 0; 3
Cho y = 0 thì x 3 3;0
Trang 10b) Giả sử hai đường thẳng (d1): mx + 3y = 10; (d2): x – 2y = 4 cắt nhau tại điểm B(x, y)
Vì điểm B nằm trên trục Ox nên y = 0 ⇒ B( x, 0)
Khi đó điểm B(x; 0) là nghiệm của hệ phương trình:
Vậy khi m = 5
2 thì d : mx 3y 10; d : x1 2 2y4 cắt nhau tại một điểm trên trục Ox Phương trình đường thẳng 1
5
Vẽ d 1
Cho x = 0 thì y = 10 0;10
Cho y = 0 thì x = 4 4;0
Vẽ d 2
Cho x = 0 thì y = -2 0; 2
Cho y = 0 thì x = 4 4;0
Trang 11Bài 22 trang 10 SBT Toán 9 Tập 2: Tìm giao điểm của hai đường thẳng:
a) (d1): 5x – 2y = c và (d2): x + by = 2, biết rằng (d1) đi qua điểm A(5; -1) và (d2) đi qua điểm B(-7; 3)
b) (d1): ax + 2y = -3 và (d2): 3x – by = 5, biết rằng (d1) đi qua điểm M(3; 9) và (d2) đi qua điểm N(-1; 2)
Lời giải:
a) Đường thẳng (d1): 5x – 2y = c đi qua điểm A(5; -1) nên tọa độ điểm A nghiệm đúng phương trình đường thẳng
Ta có: 5.5 – 2.(-1) = c ⇔ 25 + 2 = c ⇔ c = 27
Phương trình đường thẳng (d1): 5x – 2y = 27
Đường thẳng (d2): x + by = 2 đi qua điểm B(-7; 3) nên tọa độ điểm B nghiệm đúng phương trình đường thẳng
Ta có: -7 + 3b = 2 ⇔ 3b = 9 ⇔ b = 3
Phương trình đường thẳng (d2): x + 3y = 2
Tọa độ giao điểm của (d1) và (d2) là nghiệm của hệ phương trình: 5x 2y 27
x 3y 2
5x 2y 27
Trang 1215y 10 2y 27 17y 17 y 1
Vậy tọa độ giao điểm của (d1) và (d2) là (5; -1)
b) Đường thẳng (d1): ax + 2y = -3 đi qua điểm M(3; 9) nên tọa độ điểm M nghiệm đúng phương trình đường thẳng
Ta có: a.3 + 2.9 = -3 ⇔ 3a + 18 = -3 ⇔ 3a = -21 ⇔ a = -7
Phương trình đường thẳng (d1): -7x + 2y = -3
Đường thẳng (d2): 3x – by = 5 đi qua điểm N(-1; 2) nên tọa độ điểm N nghiệm đúng phương trình đường thẳng
Ta có: 3.(-1) – b.2 = 5 ⇔ -3 – 2b = 5 ⇔ 2b = -8 ⇔ b = -4
Phương trình đường thẳng (d2): 3x + 4y = 5
Tọa độ giao điểm của (d1) và (d2) là nghiệm của hệ phương trình: 7x 2y 3
3x 4y 5
Ta có:
7x 3 y
11 3x 4y 5
x 17
11
11
x 17
2
13
17
Vậy tọa độ giao điểm của d ; d là 1 2 11 13;
17 17
Bài 23 trang 10 SBT Toán 9 Tập 2: Giải các hệ phương trình:
Trang 13b)
Lời giải:
2xy 5x 6y 15 2xy 2x 7y 7
12xy 24x 3y 6 12xy 18x 2y 3
7x 13y 8 7x 13y 8
42x 3
5
42x 3
35x 546x 39 40
5
42x 3
5
79
511 42x 3
42x 3 y
y 5
5
79
x 511
511 79
51
y 511
5
Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x; y) = 79; 51
511 73
Trang 14x y x y 2x 0 x 0
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) = (0; 0)
Bài 24 trang 10 SBT Toán 9 Tập 2: Giải các hệ phương trình sau bằng cách đặt ẩn số
phụ:
a)
b)
15 7
9
35
c)
d)
2 2x 3y 3x y
21 3x y 2x 3y
e)
4,5
4
Lời giải:
a)
Đặt
1 a x 1 b y
(điều kiện x 0;y 0) khi đó phương trình trở thành
Trang 154 4 1 4
3
b
10
Khi đó ta được:
x 2
10
3
y 10
(thỏa mãn điều kiện)
Vậy nghiệm của hệ phương trình (x; y) = 2;10
3
b)
15 7
9
35
Đặt
1 a x 1 b y
(điều kiện x 0;y 0) khi đó phương trình trở thành
15a 9
7
7
15a 9
a 2 b
a 2 7
15.2 9
Trang 16Khi đó ta được:
(thỏa mãn điều kiện)
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là 1 1
x; y ;
2 3
c)
Đặt
1 a
x y 1 b
x y
( điều kiện x y) khi đó phương trình trở thành
1 3
a
a b
8 8
Khi đó ta được
Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x; y) = (5; 3)
d)
2 2x 3y 3x y
21 3x y 2x 3y
Đặt
1
a 2x 3y 1
b 3x y
(điều kiện 2x 3y 0;3x y 0) Khi đó phương trình trở thành:
Trang 174a 5b 2
3b 5a 21
5a 21
3 5a 21
5a 21 b
b 3
3
5a 21 b
3
5 3 21
b 2 b
3
Khi đó ta được:
1
2x 3y
3
(thỏa mãn điều kiện)
Vậy nghiệm của hệ phương trình 7 2
66 11
Trang 18e)
4,5
4
Đặt
1
a
1
b
(điều kiện x y 2 0;x y 1 0)
Khi đó hệ phương trình trở thành:
4 3a
2
4 3a
4 3a b
b 2
2
khi đó ta được
1
1
Vậy nghiệm của hệ phương trình (x; y) = (1; 2)
Bài tập bổ sung
Bài 1 trang 10 SBT Toán 9 Tập 2: Tìm a và b để hệ ax by 17
y) = (1; 4)
Trang 19Lời giải:
Gọi cặp (x; y) = (1; -4) là nghiệm của hệ phương trình Thay x = 1; y = -4 vào hệ phương trình ta có:
a 4b 17
a 4b 17
3b 4 4b 17 29 3b 4a 29
Vậy a = 5 và b = -3 thì hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (1; -4)
Bài 2 trang 10 SBT Toán 9 Tập 2: Giải hệ phương trình:
2x y 5
Lời giải:
2x y 5
Ta đưa về giải hai hệ phương trình: 2x y 5
2x y 5
x 2y 5 0
Giải hệ 2x y 5
Giải hệ 2x y 5
x 2y 5 0
y 2x 5
Trang 20x 3 x 3
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm x ; y1 1 1; 3 và x ; y2 2 3;1