Chương 1 Hệ thức lượng trong tam giác vuông Bài 1 Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông Bài 1 trang 102 SBT Toán lớp 9 tập 1 Hãy tính x và y trong các hình sau Lời giải a) Ta kí hiệ[.]
Trang 1Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông
Bài 1 trang 102 SBT Toán lớp 9 tập 1: Hãy tính x và y trong các hình sau:
Lời giải:
a)
Ta kí hiệu như hình vẽ dưới đây:
Xét tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH
Trang 2Ta kí hiệu như hình vẽ dưới đây:
Xét tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH
Áp dụng hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó, ta có:
Trang 3Lời giải:
a)
Ta kí hiệu như hình vẽ dưới đây:
Xét tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH
Trang 4Xét tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH
Áp dụng hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu hai cạnh góc vuông, ta có:
Trang 5Xét tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH
Ta kí hiệu như hình vẽ dưới đây:
Trang 6Xét tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH
Áp dụng hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có:
Trang 7Lời giải:
a)
Ta kí hiệu như hình vẽ dưới đây:
Xét tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH
Áp dụng hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có:
Trang 8Ta kí hiệu như hình vẽ dưới đây:
Xét tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH
Trang 9Bài 5 trang 103 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường
cao AH (h.5)
Giải bài toán trong mỗi tường hợp sau:
a) Cho AH = 16, BH = 25 Tính AB, AC, BC, CH
b) Cho AB = 12, BH = 6 Tính AH, AC, BC, CH
Lời giải:
a)
Xét tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH
Áp dụng hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có:
Trang 10Xét tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH
Áp dụng hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:
Bài 6 trang 103 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho tam giác vuông với các cạnh góc
vuông có độ dài là 5 và 7, kẻ đường cao ứng với cạnh huyền Hãy tính đường cao
này và các đoạn thẳng mà nó chia ra trên cạnh huyền
Trang 11Áp dụng hệ thức liên hệ giữa đường cao và cạnh trong tam giác vuông, ta có:
AB.AC 5.7 35AH.BC AB.AC AH
Bài 7 trang 103 SBT Toán lớp 9 tập 1: Đường cao của một tam giác vuông chia
cạnh huyền thành hai đoạn thẳng có độ dài là 3 và 4 Hãy tính các cạnh góc vuông của tam giác này
Trang 12Bài 8 trang 103 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cạnh huyền của một tam giác vuông lớn
hơn một cạnh góc vuông là 1cm và tổng của hai cạnh góc vuông lớn hơn cạnh huyền 4cm Hãy tính các cạnh của tam giác vuông này
Bài 9 trang 104 SBT Toán lớp 9 tập 1: Một tam giác vuông có cạnh huyền là 5
và đường cao ứng với cạnh huyền là 2 Hãy tính cạnh nhỏ nhất của tam giác vuông
Trang 14Áp dụng hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:
2
AB =BH.BC 1.5= =5
AB 5
Do BH < CH AB < AC nên AB= 5 là cạnh nhỏ nhất của tam giác ABC
Bài 10 trang 104 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho một tam giác vuông Biết tỷ số hai
cạnh góc vuông là 3 : 4 và cạnh huyền là 125 cm Tính độ dài các cạnh góc vuông
và hình chiếu của các cạnh góc vuông trên cạnh huyền
Trang 15Từ (1) và (2) ta suy ra ABH=HAC (cùng phụ BAH )
Xét tam giác vuông ABH và tam giác vuông ACH ta có:
o
BHA=AHC=90
ABH=CAH (chứng minh trên)
Do đó, tam giác ABH đồng dạng với tam giác CAH (theo trường hợp góc-góc)
Trang 16Bài 12 trang 104 SBT Toán lớp 9 tập 1: Hai vệ tinh đang bay ở vị trí A và B
cùng cách mặt đất 230 km có nhìn thấy nhau hay không nếu khoảng cách giữa chúng theo đường thẳng là 2200km ? Biết rằng bán kính R của Trái Đất gần bằng 6370km và hai vệ tinh nhìn thấy nhau nếu OH > R (h.6)
Lời giải:
Vì hai vệ tinh ở hai vị trí A và B cùng cách mặt đất 230 km nên tam giác AOB cân tại O với OA = OB
Ta có: OA = OB = R + 230 = 6370 + 230 = 6600 (km)
Trang 17Xét tam giác AOB cân tại O có:
OH ⊥ AB tại H nên OH là đường cao và cũng là đường trung tuyến ứng với cạnh
Vì OH > R nên hai vệ tinh nhìn thấy nhau
Bài 13 trang 104 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho hai đoạn thẳng có độ dài là a và b
Dựng các đoạn thẳng có độ dài tương ứng bằng:
Trang 18- Trên tia Ox dựng đoạn OA = a
- Trên tia Oy dựng đoạn OB = b
- Trên tia Oy dựng đoạn OB = b
- Dựng đường tròn tâm B bán kính R = a Đường tròn cắt tia Ox tại A
- Ta có đoạn OA = a2 −b2 (a > b)
Chứng minh:
Xét tam giác AOB vuông tại O
Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:
Trang 19Bài 14 trang 104 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho hai đoạn thẳng có độ dài là a và b
Dựng đoạn thẳng ab như thế nào ?
Lời giải:
Cách dựng:
- Dựng đường thẳng x
- Trên đường thẳng x dựng liên tiếp hai đoạn thẳng AB = a, BC = b
- Dựng nửa đường tròn tâm O đường kính AC
- Từ B dựng đường thẳng vuông góc với AC cắt nửa đường tròn tâm O tại D Ta có đoạn BD= ab cần dựng
Trang 20Do đó, tam giác ACD vuông tại D
Áp dụng hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có:
2
BD =AB.BC=a.bBD= ab
Bài 15 trang 104 SBT Toán lớp 9 tập 1: Giữa hai tòa nhà (kho và phân xưởng)
của một nhà máy, người ta xây dựng một băng chuyền AB để chuyển vật liệu Khoảng cách giữa hai tòa nhà là 10m, còn hai vòng quay của băng chuyền được đặt ở độ cao 8m và 4m so với mặt đất (h.7) Tìm độ dài AB của băng chuyền
Trang 21Vậy băng chuyền dài khoảng 10,8m
Bài 16 trang 104 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho tam giác có độ dài các cạnh là 5,
12, 13 Tìm góc đối diện với cạnh có độ dài 13 của tam giác
Vậy góc đối diện với cạnh 13 (cạnh dài nhất) là góc vuông
Bài 17 trang 104 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho hình chữ nhật ABCD Đường phân
giác của góc B cắt đường chéo AC thành hai đoạn 42
7 và
55
7m Tính các kích thước của hình chữ nhật
Lời giải:
Trang 22Xét tam giác ABC
Gọi giao điểm đường phân giác của góc ABC với cạnh AC là E Theo đề bài ta có:
2 304
Trang 23Vậy AB = CD = 6m và BC = AD = 8m
Bài 18 trang 105 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, vẽ
đường cao AH Chu vi của tam giác ABH là 30cm và chu vi của tam giác AHC là 40cm Tính chu vi của tam giác ABC
Từ (1) và (2) ta suy ra ABH=HAC (cùng phụ BAH )
Xét tam giác vuông AHB và tam giác vuông CHA, ta có:
o
AHB=CHA=90 (do AH là đường cao của tam giác ABC)
ABH=CAH (chứng minh trên)
Do đó, tam giác ABH đồng dạng với tam giác CAH (theo trường hợp góc-góc) (3)
Trang 24Xét tam giác ABC vuông tại A
Do đó tam giác AHB đồng dạng với tam giác CAB (theo trường hợp góc – góc) (4)
Từ (3) và (4) ta suy ra các tam giác ABH, CAH, CBA đồng dạng với nhau nên:
Vậy chu vi của tam giác ABC là 50cm
Bài 19 trang 105 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có
cạnh AB = 6cm và AC = 8cm Các đường phân giác trong và ngoài của góc B cắt đường thẳng AC lần lượt tại M và N Tính các đoạn thẳng AM và AN
Lời giải:
Trang 25Xét tam giác ABC vuông tại A
Do đó, tam giác BMN vuông tại B
Xét tam giác BMN vuông tại B có đường cao BA (do tam giác ABC vuông tại A)
Áp dụng hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu hai cạnh góc vuông, ta có:
Bài 20 trang 105 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho tam giác ABC Từ một điểm M bất
kì trong tam giác kẻ MD, ME, MF lần lượt vuông góc với các cạnh BC, AC, AB Chứng minh rằng: BD2 +CE2 +AF2 =DC2+EA2 +FB2
Lời giải:
Trang 26Xét tam giác BDM vuông tại D (do MD vuông góc với BC tại D)
Trang 27Bài 1.1 trang 105 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB :
AC = 3 : 4 và đường cao AH bằng 9cm Khi đó độ dài đoạn thẳng HC bằng:
Trang 28Xét tam giác vuông ABH và tam giác vuông ACH ta có:
o
BHA=AHC=90
ABH=CAH (chứng minh trên)
Do đó, tam giác ABH đồng dạng với tam giác CAH (theo trường hợp góc-góc)
Bài 1.2 trang 105 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB :
AC = 4 : 5 và đường cao AH bằng 12cm Khi đó độ dài đoạn thẳng HB bằng (A) 6cm
Trang 29Do đó, tam giác ABH và tam giác CBA đồng dạng theo trường hợp góc – góc
Bài 1.3 trang 105 SBT Toán lớp 9 tập 1: Trong các bài (1.3, 1.4, 1.5) ta sẽ sử
dụng các kí hiệu sau đây đối với tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH:
Trang 30Bài 1.4 trang 105 SBT Toán lớp 9 tập 1: Trong các bài (1.3, 1.4, 1.5) ta sẽ sử
dụng các kí hiệu sau đây đối với tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH:
Trang 31Bài 1.5 trang 105 SBT Toán lớp 9 tập 1: Trong các bài (1.3, 1.4, 1.5) ta sẽ sử
dụng các kí hiệu sau đây đối với tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH:
Trang 32Áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
Bài 1.6 trang 106 SBT Toán lớp 9 tập 1: Đường cao của một tam giác vuông kẻ
từ đỉnh góc vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn, trong đó đoạn lớn bằng 9cm Hãy tính cạnh huyền của tam giác vuông đó nếu hai cạnh góc vuông có tỉ lệ 6 : 5
Trang 33Bài 1.7 trang 106 SBT Toán lớp 9 tập 1: Trong tam giác có các cạnh 5cm, 12cm,
13cm, kẻ đường cao đến cạnh lớn nhất Hãy tính các đoạn thẳng mà đường cao này chia ra trên cạnh lớn nhất đó
Bài 1.8 trang 106 SBT Toán lớp 9 tập 1: Tam giác ABC vuông tại A có đường
cao AH bằng 12cm Hãy tính cạnh huyền BC nếu biết HB : HC = 1 : 3
Trang 34Lời giải:
Xét tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
Bài 1.9 trang 106 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho tam giác ABC vuông cân tại A,
đường trung tuyến BM Gọi D là chân đường vuông góc kẻ từ C đến BM và H là chân đường vuông góc kẻ từ D đến AC Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai ? Tại sao ?
a) Tam giác HCD đồng dạng với tam giác ABM
b) AH = 2HD
Lời giải:
Trang 35Xét tam giác CDM và tam giác ABM
CMD=AMB (hai góc đối đỉnh)
Trang 36Bài 1.10 trang 106 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho hình thang ABCD vuông tại A có
cạnh đáy AB bằng 6cm, cạnh bên AD bằng 4cm và hai đường chéo vuông góc với nhau Tính độ dài các cạnh DC, CB và đường chéo DB
Lời giải:
AC vuông góc với BD tại H
Xét tam giác ABD vuông tại A (do hình thang ABCD có góc A vuông)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có:
Trang 37DHC=AHB=90 (do AC vuông góc với BD tại H)
ACD=CAB (hai góc so le trong do AB // CD do ABCD là hình thang)
Do đó, tam giác HDC đồng dạng HBA theo trường hợp góc góc
Trang 38Bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn Bài 21 trang 106 SBT Toán lớp 9 tập 1: Vẽ một tam giác vuông có một góc nhọn
bằng 40o rồi viết các tỉ số lượng giác của góc 40o
Lời giải:
Vẽ tam giác ABC vuông tại A, có: B=40o, AB = c, AC = b, BC = a
Ta có các tỉ số lượng giác của góc B=40o là:
Trang 39Xét tam giác ABC vuông tại A
= = (điều cần phải chứng minh)
Bài 23 trang 106 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, B=30o, BC = 8cm Hãy tính cạnh AB (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba), biết rằng
Trang 41Bài 25 trang 107 SBT Toán lớp 9 tập 1: Tìm giá trị x (làm tròn đến chữ số thập
phân thứ ba) trong mỗi tam giác vuông với kích thước được chỉ ra trên hình 10, biết rằng: tan 47o 1,072; cos38o 0,788
Lời giải:
a)
Kí hiệu hình vẽ như sau:
Xét tam giác ABC vuông tại A
Trang 42b)
Kí hiệu hình vẽ như sau:
Xét tam giác ABC vuông tại A
Bài 26 trang 107 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, trong
đó AB = 6cm, AC = 8cm Tính các tỉ số lượng giác của góc B, từ đó suy ra các tỉ
số lượng giác của góc C
Lời giải:
Xét tam giác ABC vuông tại A
AB = 6cm, AC = 8cm
Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:
Trang 433sin C cos B
5
4cot C tan B
3
3tan C cot B
4
Bài 27 trang 107 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A Kẻ
đường cao AH Tính sinB, sinC trong mỗi trường hợp sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư), biết rằng:
a) AB = 13; BH = 5
b) BH = 3; CH = 4
Lời giải:
Trang 44Xét tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có:
2
AB =BH.BC=3.7=21AB= 21
2
AC =CH.BC=4.7=28AC= 28=2 7
Trang 45Bài 28 trang 107 SBT Toán lớp 9 tập 1: Hãy biến đổi các tỉ số lượng giác sau
đây thành tỉ số lượng giác của các góc nhỏ hơn o
45 : sin 75o, cos53o, sin 47 20'o ,
Trang 46Bài 30 trang 107 SBT Toán lớp 9 tập 1: Đường cao MQ của tam giác vuông
MNP chia cạnh huyền NP thành hai đoạn NQ = 3, PQ = 6 Hãy so sánh cotN và cotP Tỉ số nào lớn hơn và lớn hơn bao nhiêu lần ?
2
= =
Trang 47Vậy cotP = 2cotN
Bài 31 trang 108 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cạnh góc vuông kề với góc 60o của một tam giác vuông bằng 3 Sử dụng bảng lượng giác của các góc đặc biệt, hãy tìm cạnh huyền và cạnh góc vuông còn lại (làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư)
a) Tính diện tích tam giác ABD
b) Tính AC, dùng các thông tin dưới đây nếu cần:
Trang 48Xét tam giác ABD vuông tại D do BD là đường cao của tam giác ABC
Ta có diện tích của tam giác ABD là: S 1.BD.AD 1.6.5 15
Trang 49Vì là góc nhọn nên sin > 0 sin = 0,36 =0,6
Bài 34 trang 108 SBT Toán lớp 9 tập 1: Hãy tìm sin , cos (làm tròn đến chữ
số thập phân thứ tư) nếu biết
Trang 50AB 1sin sin C 0,3162