Bài 2 Căn bậc hai và hằng đẳng thức 2A A= Bài tập Bài 12 trang 7 Sách bài tập Toán 9 Tập 1 Tìm x để căn thức sau có nghĩa a) 2x 3− + b) 2 2 x c) 4 x 3+ d) 2 5 x 6 − + Lời giải a) Ta có 2x 3− + có nghĩ[.]
Trang 1Bài 2: Căn bậc hai và hằng đẳng thức A2 = A
Bài tập
Bài 12 trang 7 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Tìm x để căn thức sau có nghĩa:
a) −2x+ 3
b) 22
x
x +3
−
+
Lời giải:
a) Ta có: −2x+ có nghĩa khi: 3
-2x + 3 0
− −
( ) ( )
3
x
2
2
thì căn đã cho có nghĩa
b) Ta có: 22
x có nghĩa khi 2
2 0
Vì 2 > 0 và x2 0 với mọi x nên 22 0
x 0 x 0
Vậy x 0 thì căn đã cho có nghĩa
x+3có nghĩa khi
4 0
+
Trang 2Vì 4 > 0 nên để 4 0
Vậy x −3 thì căn đã cho có nghĩa
d) Ta có: x2 ≥ 0 với mọi x nên x2 + 6 > 0 với mọi x
Mà -5 < 0
2
5
−
+ < 0 với mọi x
Do đó không tồn tại giá trị nào của x để 2 5 0
−
+ Vậy không có giá trị nào của x để căn thức đã cho có nghĩa
Bài 13 trang 7 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Rút gọn rồi tính:
5 −2
5
−
2 −5 +3 −2
Lời giải:
Trang 3( )3 ( )4
2 5 3 2 2.125 3.16 298
Bài 14 trang 7 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Rút gọn các biểu thức sau:
Lời giải:
c) (4− 17) = −4 17 = 17 −4 (vì 4− 17 nên 0
(vì 2− 3 nên 20 − 3 = −2 3)
Bài 15 trang 7 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Chứng minh:
9+4 5= 5+2
4− 7 =23 8 7−
Trang 4d) 23 8 7+ − 7 =4
Lời giải:
a) Ta có:
5 +2 =( )2
2
5 +2 5.2+2 = +5 4 5+ = +4 9 4 5= VT
b) VT = 9−4 5 − =5 5−2.2 5+ −4 5
2
Điều phải chứng minh
2
4− 7 =4 −2.4 7 + 7 =16 8 7− + =7 23 8 7− = VP
2
Bài 16 trang 7 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Biểu thức sau đây xác định với giá trị
nào của x?
a) (x 1 x− )( − 3)
b) x2 −4
x 3
−
+
Trang 5d) 2 x
5 x
+
−
Lời giải:
a) Để (x 1 x− )( −3)có nghĩa thì (x 1 x 3− )( − ) 0
* Trường hợp 1:
x 3
* Trường hợp 2:
x 1
Vậy để căn có nghĩa thì x 3 hoặc x1
x − =4 x−2 x+2
Để (x−2 x)( +2)có nghĩa thì (x−2 x)( + 2) 0
* Trường hợp 1:
x 2
* Trường hợp 2:
Vậy để căn có nghĩa thìx hoặc x2 − 2
x 3
−
+ có nghĩa thì
0
+
* Trường hợp 1:
Trang 6x 2 0 x 2
x 2
* Trường hợp 2:
Vậy để căn có nghĩa thì x < -3 hoặc x 2
5 x
+
− có nghĩa thì
0
+
−
* Trường hợp 1:
2 x 5
* Trường hợp 2:
Vậy để căn có nghĩa thì − 2 x 5
Bài 17 trang 8 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Tìm x, biết:
a) 9x2 =2x 1+
b) x2 +6x+ =9 3x 1−
c) 1 4x− +4x2=5
d) x4 =7
Lời giải:
a) Ta có:
( )2
2
Trang 7* Trường hợp 1: 3x ≥ 0 ⇔ x ≥ 0 ⇒ |3x| = 3x
3x = 2x + 1 ⇔ 3x - 2x = 1 ⇔ x = 1 (thỏa mãn)
* Trường hợp 2: 3x < 0 ⇔ x < 0 ⇒ |3x| = -3x
-3x = 2x + 1 ⇔ -3x - 2x = 1 ⇔ -5x = 1 ⇔ x = 1
5
− (thỏa mãn)
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = 1;1
5
−
b) x2 +6x+ =9 3x 1−
( )2
⇔ |x + 3| = 3x - 1
* Trường hợp 1: x + 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ -3 ⇒ |x + 3| = x + 3
x + 3 = 3x - 1 ⇔ x - 3x = -1 - 3 ⇔ -2x = -4 ⇔ x = 2 (thỏa mãn)
* Trường hợp 2: x + 3 < 0 ⇔ x < -3 ⇒ |x + 3| = -x - 3
-x - 3 = 3x - 1 ⇔ -x - 3x = -1 + 3 ⇔ -4x = 2 ⇔ x = 1
2
− (không thỏa mãn) Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {2}
1 4x− +4x = 5 1 2x− =5
|1 - 2x| = 5 (3)
* Trường hơp 1: 1 - 2x ≥ 0 ⇔ 2x ≤ 1 ⇔ x ≤ 1
2 ⇒ |1 - 2x| = 1 - 2x
1 - 2x = 5 ⇔ -2x = 5 - 1 ⇔ x = -2 (thỏa mãn)
* Trường hợp 2: 1 - 2x < 0 ⇔ 2x > 1 ⇔ x > 1
2 ⇒ |1 - 2x| = 2x - 1
Trang 82x - 1 = 5 ⇔ 2x = 5 + 1 ⇔ x = 3 (thỏa mãn)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm S = −2;3
2
2
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là S = − 7; 7
Bài 18 trang 8 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Phân tích thành nhân tử:
a) x2 - 7 b) x2 - 2 2 x + 2 c) x2 + 2 13 x + 13
Lời giải:
a) Ta có: x2 - 7 = x2 - ( )2
7 = (x+ 7)(x− 7)
b) Ta có: x2 - 2 2 x + 2 = x2 - 2.x 2 + ( )2
2 = ( )2
x− 2
c) Ta có: x2 + 2 13 x + 13 = x2 + 2.x 13 + ( )2
13 = ( )2
x+ 13
Bài 19 trang 8 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Rút gọn các phân thức:
a)
2
−
+ (với x − 5)
b)
2
2
Lời giải:
Trang 9a)
2
−
2 2
b)
2
2
( )
2
2 2
−
x 2)
Bài 20 trang 8 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: So sánh (không dùng bảng số hay máy
tính bỏ túi):
a) 6 + 2 2 và 9
b) 2 + 3 và 3
c) 9 + 4 5 và 16
d) 11 - 3 và 2
Lời giải:
a) Ta có: 9 = 6 + 3
Để so sánh 6 + 2 2 và 9 ta đi so sánh 3 và 2 2
2 2 =8 và 32 = 9
Vì 8 < 9 nên 2 2 < 3
6 + 2 2 < 6 + 3 hay 6 + 2 2 < 9
Vậy 6 + 2 2 < 9
b) Ta có:
2+ 3 = +2 2 2 3+ = +3 5 2 6
Trang 103 =9
Để so sánh 2 + 3 và 3 ta đi so sánh 5 2 6+ và 9
Ta lại có: 9 = 5 + 4 nên để so sánh 5 2 6+ và 9 ta đi so sánh 4 và 2 6
Ta có: ( )2
2 6 =4.6=24
2
4 =16
Vì 16 < 24 nên 4 < 2 6
5 + 4 < 5 + 2 6
9 < 5 2 6+
3 < 2+ 3
Vậy 3 < 2+ 3
c) Ta có: 16 = 9 + 7
Để so sánh 9 + 4 5 và 16 ta so sánh 7 và 4 5
Ta có: 72 = 49
4 5 =16.5=80
Vì 49 < 80 nên 7 < 4 5
4 5 7
Vậy 4 5 9 16+
d) Ta có:
Trang 11( ) ( )2 2 ( )2
11− 3 = 11 −2 11 3+ 3
Ta lại có: 2
2 =4
Ta có 4 = 14 – 10
Để so sánh 11 - 3 và 2 ta so sánh 14 2 33− và 4 hay so sánh 10 và 2 33
Ta có: 102 =100
2 33 =4.33 132=
Vì 100 < 132 nên 10 < 2 33
Vậy 2 > 11− 3
Bài 21 trang 8 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Rút gọn các biểu thức:
b) 11 6 2+ − +3 2
c) 9x2 −2x với x < 0
d) x – 4 + 16 8x− +x2 với x > 4
Lời giải:
a) 4−2 3 − 3= 3−2 3 1+ − 3
Trang 123 1 3 3 1 3 1
(Vì 3 1 0− nên 3 1− = 3 1− )
b) 11 6 2+ − +3 2= 9+2.3 2+ − +2 3 2
2
(vì 3+ 2 nên 30 + 2 = +3 2)
c) 9x2 −2x= ( )2
3x −2x= 3x −2x= − −3x 2x= −5x
(vì x < 0 nên 3x < 0 3x = − ) 3x
d) x – 4 + 16 8x− +x2 =x− +4 42 −2.4.x+x2
x− +4 x−4 = − + − = − + − =x 4 x 4 x 4 x 4 2x−8
(Vì x > 4 nên x – 4 > 0 − = − ) x 4 x 4
Bài 22 trang 8 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Với n là số tự nhiên, chứng minh
n 1+ + n = n 1+ −n
Viết đẳng thức trên khi n là 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7
Lời giải:
n 1+ + n = + +n 1 n
Vì n là số tự nhiên nên n 0 do đó: n 1+ = + ; n nn 1 =
Khi đó VT = n + 1 + n = 2n + 1 (*)
Trang 13Xét VP = ( )2 2 2 2
n 1+ −n =n +2n 1 n+ − =2n 1+ (**)
Từ (*) và (**) ta có: VT = VP (điều phải chứng minh)
*) Với n = 1 ta có đẳng thức trên là:
( )2 2 ( )2 2
1 1+ + 1 = +1 1 −1
*) Với n = 2 ta có đẳng thức trên là:
( )2 2 ( )2 2
2 1+ + 2 = 2 1+ −2
*) Với n = 3 ta có đẳng thức trên là:
( )2 2 ( )2 2
3 1+ + 3 = +3 1 −3
*) Với n = 4 ta có đẳng thức trên là:
( )2 2 ( )2 2
4 1+ + 4 = 4 1+ −4
*) Với n = 5 ta có đẳng thức trên là:
( )2 2 ( )2 2
5 1+ + 5 = +5 1 −5
*) Với n = 6 ta có đẳng thức trên là:
( )2 2 ( )2 2
6 1+ + 6 = 6 1+ −6
*) Với n = 7 ta có đẳng thức trên là:
( )2 2 ( )2 2
7 1+ + 7 = 7 1+ −7
II Bài tập bổ sung
Bài 2.1 trang 8 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Đẳng thức nào đúng nếu x là số âm:
A) 9x2 = 9x;
Trang 14B) 9x2 = 3x;
C) 9x2 = -9x;
D) 9x2 = -3x
Hãy chọn đáp án đúng
Lời giải:
9x = 3x = 3x mà x < 0 nên 3x = − 3x