ly thuyet on tap chuong 3 chi tiet toan lop 9 f

Ôn tập chương 3 A Lý thuyết 1 Góc ở tâm Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn • Hai cạnh của góc ở tâm cắt đường tròn tại hai điểm, do đó chia đường tròn thành hai cung + Cung nhỏ cung[.]

Ôn tập chương 3

A Lý thuyết

1 Góc ở tâm

Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn

• Hai cạnh của góc ở tâm cắt đường tròn tại hai điểm, do đó chia đường tròn thành hai cung

+ Cung nhỏ: cung nằm bên trong góc (với góc α (0 < α < 180°))

+ Cung lớn: Cung nằm bên ngoài góc

• Cung AB được kí hiệu là AB Để phân biệt hai cung có chung các mút là A và B như hình vẽ (0 < α < 180°), ta kí hiệu: AmB, AnB

Trong đó: AnB là cung nhỏ, AmB là cung lớn

Với α = 180° thì mỗi cung là một nửa đường tròn

• Cung nằm bên trong góc gọi là cung bị chắn

Khi đó, AnB là cung bị chắn bởi góc AOB hay góc AOB chắn cung nhỏ AnB

2 Số đo cung

• Số đo của cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó

• Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 360° và số đo cung nhỏ (có chung hai mút với

cung lớn)

• Số đo của nửa đường tròn bằng 180°

Số đo của cung AB được kí hiệu là sđ AB

3 Liện hệ giữa cung và dây

a) Định lí 1

Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:

- Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau

- Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau

b) Định lí 2

Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:

- Cung lớn hơn căng dây lớn hơn

- Dây lớn hơn căng cung lớn hơn

c) Mở rộng

Trong một đường tròn:

- Hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau

- Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy

- Đường kính đi qua trung điểm của một dây (không đi qua tâm) thì đi qua điểm chính giữa của cung bị căng bởi dây ấy

- Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung

ấy và ngược lại

4 Góc nội tiếp

- Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau

- Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau

- Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 90°) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung

- Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông

5 Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung

a) Định nghĩa

- Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung là góc có đỉnh nằm trên đường tròn, một

cạnh là một tia tiếp tuyến còn cạnh kia chứa dây cung của đường tròn

- Cung nằm bên trong là cung bị chắn

b) Định lí

Số đo của góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn

6 Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn

- Góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn được gọi là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn

- Định lí: Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai

cung bị chắn

Trong hình vẽ trên, BEC là góc có đỉnh nằm ở bên trong đường tròn chắn hai cung

2 Góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn

- Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn là góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn và các

cạnh đều có điểm chung với đường tròn

- Định lí: Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai

cung bị chắn

Ví dụ 2 Cho đường tròn (O) có hai dây AB và CD cắt nhau tại E (điểm E nằm bên

ngoài đường tròn) như hình vẽ

Trong hình vẽ trên, BEC là góc có đỉnh nằm ở bên ngoài đường tròn chắn hai cung

là BnC, AmD

b) Định lí về tứ giác nội tiếp

- Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180°

- Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180° thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn

c) Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp

- Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180°

- Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện

- Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định được) Điểm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó

- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc α

- Chú ý: Để chứng minh một tứ giác là tứ giác nội tiếp ta có thể chứng minh tứ giác

đó là một trong các hình sau: Hình chữ nhật, hình vuông, hình thang cân

d) Định lí về đa giác nội tiếp

- Bất kì đa giác đều nào cũng có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp, có một và chỉ một đường tròn nội tiếp

- Trong tam giác đều, tâm của đường tròn ngoại tiếp trùng với tâm của đường tròn

nội tiếp và được gọi là tâm của đa giác đều

- Tâm này là giao điểm hai đường trung trực của hai cạnh hoặc là hai đường phân giác của hai góc

e) Công thức mở rộng

- Bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác là khoảng cách từ tâm đến đỉnh

- Bán kính đường tròn nội tiếp đa giác là khoảng cách từ tâm O đến một cạnh Cho n-giác đều cạnh a Khi đó:

- Chu vi của đa giác: 2p = na (p là nửa chu vi)

- Mỗi góc ở đỉnh của đa giác có số đo bằng

o

(n 2) 180 n

Công thức: C = 2πR hoặc C = πd Trong đó: C là độ dài đường tròn;

R là bán kính đường tròn;

n là số đo độ của góc ở tâm

12 Diện tích hình tròn

13 Diện tích của hình quạt tròn

Công thức diện tích hình quạt tròn là:

B Bài tập tự luyện

Bài 1 Cho đường tròn (O; R) Trên đường tròn đó lấy hai điểm A và B sao cho

AB  R 2 Tính số đo của hai cung AB

Lời giải:

Đặt cung nhỏ AB là AmB và cung lớn AB là AnB

Hai điểm A và B nằm trên đường tròn (O; R) nên OA = OB = R

Ta có: OA2 + OB2 = R2 + R2 = 2R2; 2  2 2

AB  R 2  2R

Ta thấy: OA2 + OB2 = AB2 = 2R2

Nên ΔABC vuông tại A (theo định lý Py – ta – go đảo)

Do đó sđ AmB = AOB  90o; sđ AnB  360o  AOB = 360o – 90o = 270o

Vậy số đo cung nhỏ và cung lớn AB lần lượt là 90o và 270o

Bài 2 Cho hai đường tròn đồng tâm (O; R) và O; R 3

Lời giải:

Tiếp tuyến tại M của đường tròn nhỏ cắt đường tròn lớn tại A và B hay AM là tiếp tuyến của đường tròn O; R 3

2

  nên OM AB

Do đó OM là đường cao của ΔOAB

Mặt khác, ΔOAB có OA = OB = R nên ΔOAB cân tại O

Xét ΔOAB cân tại O có OM là đường cao nên OM cũng là đường phân giác hayAOM  BOM

Ta có: A    B C 180ovà B  C (vì ΔABC cân tại A)

Bài 4 Cho đường tròn tâm O đường kính AB Từ A và B vẽ hai dây cung AC và

BD song song vs nhau Qua O vẽ đường thẳng vuông góc AC tại M và BD tại N

So sánh hai cung AC và BD

Lời giải:

Vì AC // BD nên từ O kẻ OH vuông góc với AC thì OH vuông góc với BD tại K Xét ∆OHA và ∆OKB có:

OHA  OKB  90 (vì OH  AC, OK  BD)

OA = OB = R

AOH  BOK (đối đỉnh)

Do đó ∆OHA = ∆OKB (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra HA = KB (hai cạnh tương ứng)

Tương tự ta cũng chứng minh được CH = DK

Bài 5 Cho ∆ABC nhọn có BAC  60o Vẽ đường tròn đường kính BC tâm O cắt

AB, AC lần lượt tại D và E Tính số đo ODE

Lời giải:

Ta có BDC  90o(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Do đó ∆ADC vuông tại D

Suy ra ACD  90o CAD  90o  60o  30o

a) So sánh các góc tam giác ABC

b) Gọi M, N lần lượt là điểm chính giữa của các cung AC và BC Hai dây AN và

BM cắt nhau tại I Chứng minh rằng CI là phân giác góc ACB

Lời giải:

mà ΔAOC cân tại O (vì OA = OC)

Do đó ΔOAC đều

ABC = 90o – 60o = 30o

Vậy ACB > BAC > ABC (90o > 60o > 30o)

Ta thấy ΔABC có AN và BM là hai tia phân giác cắt nhau tại I nên CI là tia phân

Bài 7 Hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) cắt nhau tại P.Biết APB = 55o Tính số đo cung lớn AB

Vậy số đo cung nhỏ AB là 360o – 125o = 235o

Bài 8 Cho đường tròn (O) đường kính AB Trên tia đối của tia AB lấy điểm M Kẻ

tiếp tuyến MN với đường tròn (O) tại N Vẽ NH vuông góc với AB

Chứng minh MNA  ANH

Lời giải:

Ta có ANB  90o(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Nên ∆ANB vuông tại N

Khi đó, NBA  NAB  90 o

Ta có NH  AB nên ANH  NAH  90o

Suy ra ANH  NBA (cùng phụ với NAH)

Mặt khác MNA  NBA (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)

Vậy MNA  ANH

Bài 9 Cho hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) cắt nhau tại M, biết

a) Do MA và MB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M

Nên MO là tia phân giác của AMB hay AMO 1AMB 20o

2

 

∆AMO vuông tại A nên AMO  AOM  90 o

Suy ra AMO  90o  AOM  90o  20o  70o

Vậy số đo cung AB nhỏ và số đo cung AB lớn lần lượt là 140o và 220o

Bài 10 Cho đường tròn đường tròn (O) có hai dây AB và CD cắt nhau tại M như

hình vẽ Tính số đo của cung BD, biết o

AMB 120 

Lời giải:

sđ BD 120   30  90

Vậy số đo của cung BD là 90o

Bài 11 Cho đường tròn đường tròn (O) đường kính BC Lấy điểm A nằm trên

đường tròn, vẽ tiếp tuyến AM (A là tiếp điểm) Tính AMC, biết số đo cung AC là



Vậy AMC  30 o

Bài 12 Từ điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O) kẻ tiếp tuyến AB và cát tuyến

ACD Vẽ dây BM vuông góc với tia phân giác góc BAC tại H cắt CD tại E Chứng minh BM là đường phân giác góc CBD

Lời giải:

∆ABE có AH là đường phân giác đồng thời là đường cao nên ∆ABE cân tại đỉnh A

Do đóCBM  MBD

Vậy BM là đường phân giác góc CBD

Bài 13 Cho một góc vuông xOy, trên tia Ox lấy điểm A cố định, B là điểm chuyển

động trên tia Oy Tìm tập hợp các điểm C sao cho ABC vuông cân tại C

Lời giải:

- Phần thuận: Vẽ CH  Ox (H  Ox) và CK  Oy (K  Oy)

Xét ∆CAH vuông tại H và ∆CBK vuông tại K có:

CA = CB (vì ABC vuông cân tại C) và CAH  CBK

Do đó CAH = CBK (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra CH = CK (hai cạnh tương ứng)

Mà xOy cố định

Do đó C thuộc tia phân giác Oz của góc vuông xOy

- Phần đảo: Lấy điểm C bất kỳ thuộc tia C’z

Vẽ đường thẳng vuông góc CA tại C cắt tia Oy tại B

Vẽ CH  Ox (H  Ox) và CK  Oy (K  Oy)

Ta có CH = CK và KHC  90o

Xét ∆CAH vuông tại H và ∆CBK vuông tại K có:

CH = CK và CAH  CBK

Nên CAH = CBK (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

Suy ra CA = CB (hai cạnh tương ứng)

Do đó ABC vuông cân tại C

- Kết luận: Tập hợp các điểm C là tia C’z của tia phân giác Oz của góc xOy

Bài 14 Cho hình bình hành ABCD có cạnh AB cố định và cạnh CD chuyển động

trên đường thẳng d song song với AB Gọi I là trung điểm của CD Tia AI cắt BC tại N Tìm quỹ tích điểm N khi CD thay đổi trên đường thẳng d

Lời giải:

- Phần thuận:

Gọi khoảng cánh giữa đường thẳng AB và đường thẳng d là h không đổi

Vì ABCD là hình bình hành nên BC // AD hay CN // AD

Suy ra IDA  ICN (hai góc so le trong)

Xét ∆IAD và ∆INC có:

AID  CIN (đối đỉnh)

ID = IC (vì I là trung điểm của CD)

Từ đó ta được HN = 2KH = 2h không đổi

Khi CD chuyển động trên đường thẳng d thì với mọi vị trí của CD, điểm N luôn cách đường thẳng AB một khoảng 2h không đổi

Vậy điểm N thuộc đường thẳng d’ song song với đường thẳng AB và cách đường thẳng AB một khoảng 2h không đổi

- Phần đảo: Lấy điểm N bất kì trên đường thẳng d’

Đường thẳng AN cắt đường thẳng d tại I, đường thẳng NB cắt đường thẳng d tại C Lấy điểm D đối xứng với C qua điểm I

Ta cần chứng minh tứ giác ABCD là hình bình hành và I là trung điểm của CD Thật vậy, Kẻ NH  AB, NH cắt đường thẳng d tại K

Ta có K là trung điểm của HN

Do đó trong ∆HNB thì C là trung điểm của NB 9

Trong ∆NAB có C là trung điểm của BN và IC // AB

Nên IC là đường trung bình

Mà AB // CD nên tứ giác ABCD là hình bình hành và I là trung điểm của CD

- Kết luận: Vậy quỹ tích điểm N là đường thẳng d’ song song với đường thẳng AB

và cách đường thẳng AB một khoảng 2h không đổi

Bài 15 Cho đường tròn O; R cố định Lấy B, C là hai điểm cố định trên đường tròn và A là một điểm tuỳ ý trên đường tròn Gọi M là điểm đối xứng của điểm C qua trung điểm I của AB Tìm quỹ tích các điểm M

Lời giải:

- Phần thuận:

Kẻ OO’// BC và OO’ = BC (O’ và B trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AC)

Do đó ta được O’ cố định (vì O, B, C cố định và BC không đổi)

Xét tứ giác AMBC có:

IA = IB (vì I là trung điểm của AB)

IC = IM (vì điểm M đối xứng với B qua I)

Do đó tứ giác AMBC là hình bình hành

Suy ra MA // BC và MA = BC

Mà OO’// BC và OO’ = BC

Do đó MA // OO’ và MA = OO’

Từ đó ta được tứ giác AMO’O là hình bình hành

Nên suy ra O’M = OA = R không đổi và O’ cố định

Do đó khi A di động thì M di động theo nhưng M luôn cách O’ cố định một

khoảng không đổi là O’M = OA = R

Vậy M thuộc đường tròn tâm O’ bán kính OA = R

- Phần đảo: Trên đường tròn O’; R lấy điểm M bất kỳ Nối MB

Qua C kẻ đường thẳng song song với BM cắt đường tròn (O) ở điểm thứ hai A Ta

dễ dàng chứng minh được M đối xứng với C qua trung điểm I của AB

- Kết luận: Do đó khi A di động thì M di động theo nhưng M luôn cách O’ cố định một khoảng không đổi là O’M = OA= R

Vậy quỹ tích điểm M là đường tròn tâm O’ bán kính OA = R

Bài 16 Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BM và CN cắt nhau tại H Chứng

minh các tứ giác AMHN và BNMC là những tứ giác nội tiếp

Lời giải:

Xét tứ giác AMHN có:

o

AMH  90 (vì BM là đường cao của ∆ABC)

o

ANH  90 (vì CN là đường cao của ∆ABC)

Ta thấy AMH  ANH  90 o  90 o  180 o

Do đó tứ giác AMHN là tứ giác nội tiếp

Do đó tứ giác BNMC là tứ giác nội tiếp

Vậy các tứ giác AMHN và BNMC là những tứ giác nội tiếp

Bài 17 Cho đường tròn (O) đường kính AB Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng OA,

điểm N thuộc đường tròn (O) Từ A và B vẽ các tiếp tuyến Ax và By Đường thẳng qua C và vuông góc với NM cắt Ax, By theo thứ tự tại C và D

a) Chứng minh ACNM và BDNM là các tứ giác nội tiếp đường tròn

b) Chứng minh ∆ANB đồng dạng với ∆CMD

Lời giải:

a) Xét tứ giác ACNM có:

o

MNC  90 (vì NM  CD);

o

MAC  90 (vì Ax là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O))

Do đó tứ giác ACNM nội tiếp đường tròn đường kính MC

Xét tứ giác BDNM có:

o

MND  90 (vì NM  CD);

o

MBD  90 (vì By là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O))

Do đó tứ giác BDNM nội tiếp đường tròn đường kính MD

Vậy các tứ giác ACNM và BDNM là các tứ giác nội tiếp đường tròn

b) Xét ∆ANB và ∆CMD có:

BAN  DCM (tứ giác ACNM nội tiếp)

ABN  CDM (tứ giác BDNM nội tiếp)

Do đó ∆ANB ∆CMD (g.g)

Bài 18 Cho đường tròn (O) bán kính OA Từ trung điểm M của OA vẽ dây BC

vuông góc OA Biết độ dài đường tròn (O) là 4π (cm) Tính:

a) Bán kính đường tròn (O)

b) Độ dài hai cung BC của đường tròn

Lời giải:

a) Độ dài bán kính đường tròn (O) là:

Bài 19 Tam giác ABC có AB = AC = 3 cm, A 120 o Tính độ dài đường tròn ngoại tiếp ∆ABC

Lời giải:

Ta có AB = AC nên A là điểm nằm chính giữa cung BC

Suy ra AO  BCBAHHAC60o

Do đó ∆ABH là nửa tam giác đều

Nên AB = BO = 3 (cm)

Vậy độ dài đường tròn ngoại tiếp ∆ABC là: C = 2πR = 6π (cm)

Bài 20 Một tam giác đều và một hình vuông có cùng chu vi là 72 cm Hỏi độ dài

đường tròn ngoại tiếp hình nào lớn hơn? Lớn hơn bao nhiêu?

Lời giải:

* Xét tam giác ABC đều ngoại tiếp đường tròn (O) có chu vi 72 cm

Kẻ AH là đường trung trực của ∆ABC tại H

Độ dài cạnh của tam giác đều: 72 : 3 = 24 (cm)

Áp dụng định lý Py – ta – go vào ∆ABH vuông tại H, ta có:

AH2 + BH2 = AB2

Đường tròn (O) ngoại tiếp ∆ABC nên AH là đường trung trực của ∆ABC

Mà ∆ABC đều nên AH cũng là đường trung tuyến

Suy ra O cũng là trọng tâm của ∆ABC

Do đó OA = 2

3AH =

2 12 3 8 3

Độ dài các cạnh của hình vuông là: 72 : 4 = 18 (cm)

Áp dụng định lý Py – ta – go vào ∆NPQ vuông tại P, ta có:

Do đó độ dài đường tròn ngoại tiếp hình vuông là:

Do đó số đo cung nhỏ AM bằng no = 180o – 120o = 60o

Vậy diện tích hình quạt AOM là:

R n 8 60 32S

a) Độ dài đường tròn (O) và diện tích hình tròn

b) Độ dài cung CAD và diện tích hình quạt tròn giới hạn bởi hai bán kính OC, OD

và cung nhỏ CD

Lời giải:

a) ∆OCD cân tại O (vì OC = OD) có OM là đường cao (vì CDAB) nên OM cũng

là đường trung tuyến hay CM = DM

Độ dài cung CAD là:

CAD

4 120 8 l

180 3



   (cm) Diện tích hình quạt tròn giới hạn bởi hai bán kính OC, OD và cung nhỏ CD là: 8