ĐỀ TÀI MÔ HÌNH HÓA HỆ BÓNG VÀ THANH ( MODELING THE BALL AND BEAM )

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHỆ CẦN THƠ KHOA KỸ THUẬT CƠ KHÍ  ĐỀ TÀI MÔ HÌNH HÓA HỆ BÓNG VÀ THANH ( MODELING THE BALL AND BEAM ) GVHD SVTH Đường Khánh Sơn Lê Đức Tín 2000767 Lê Thanh Liêm 2001006[.]

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT - CÔNG NGHỆ CẦN THƠ

KHOA KỸ THUẬT CƠ KHÍ



ĐỀ TÀI: MÔ HÌNH HÓA HỆ BÓNG VÀ THANH

( MODELING THE BALL AND BEAM )

Lê Thanh Liêm 2001006 Nguyễn Hiền Nhân 2000237 Trần Văn Lil 2001015

Cần Thơ, 10/2022

MỤC LỤC

I Giới Thiệu Chung 1

II Phân tích và xây dựng mô hình toán 2

1 Các ký hiệu sử dụng trong bài 2

2 Mô hình toán hệ bóng và thanh 2

III Thiết kế matlab simuulink cho hệ thống 5

1 Thông số thiết kế 5

2 Thiết kế sơ đồ 6

IV KẾT QUẢ 7

1 Matlab 7

2 Simulink 7

3 Đồ thị 8

NHẬN XÉT CỦA GIẢNG VIÊN

I Giới Thiệu Chung

Hệ thống cân bằng bóng trên thanh là một mô hình thực nghiệm quen thuộc, với cấu tạo vật lý khá đơn giản nhưng tương đối phức tạp về mặt động lực học Hệ thống cân bằng bóng trên thanh là mô hình gồm thanh nằm ngang, quả bóng, một động cơ điện

1 chiều (DC), một cảm biến dùng để xác định vị trí bóng, một cảm biến dùng để xác định góc nghiêng của thanh và mạch điều khiển Quả bóng di chuyển trên thanh nhờ tác dụng của trọng lực khi thanh bị nghiêng so với mặt phẳng ngang.Vị trí bóng được xác định nhờ cảm biến, bộ điều khiển nhận được sai lệch giữa vị trí bóng trên thanh

và vị trí bóng mong muốn, từ đó đưa ra tín hiệu điều khiển động cơ thay đổi góc nghiêng của thanh đưa bóng về vị trí mong muốn.

II Phân tích và xây dựng mô hình toán

1 Các ký hiệu sử dụng trong bài

2 Mô hình toán hệ bóng và thanh

Quả bóng lăn trên thanh trượt dưới tác động của lực hấp dẫn Thanh được nghiêng

từ một mô-men xoắn bên ngoài để kiểm soát vị trí của quả bóng trên thanh Tập hợp các tọa độ tổng quát mô tả đầy đủ hệ thống

𝝉 Moment xoắn tác động vào thanh Kg*𝑚2/s2

Biến trạng thái : q(t)=[𝑟(𝑡)

𝜃(𝑡)] Với r(t) là vị trí của quả bóng trên thanh và 𝜃(𝑡) là góc nghiêng của thanh so với phương ngang

Phương trình Lagrangian có dạng:

L=T-U

- Động năng của hệ thống:

T= T1+ T2

+ Động năng của thanh:

T1 = 1

+ Động năng của bóng:

T2 = 1

2Jb𝜃̇b2 + 1

2mvb

⟹T= ( 1

2J𝜃̇2 ) + ( 1

2Jb𝜃̇b2 + 1

2mvb )

- Thế năng của hệ thống:

U=mgr.sin(𝜃)

⟺ L== ⌈(1

2J𝜃̇2 ) + (1

2𝐽𝑏𝜃̇𝑏2+ 1

2m𝑣𝑏2)⌉- mgr.sin(𝜃) (1)

Quan hệ của bóng khi quay quanh chính nó với vận tốc dài của bóng trên thanh: 𝜃̇b=𝑟̇/R (2)

Tính vb theo tọa độ tổng quát:

𝑣𝑏2= 𝑥̇2 + 𝑦̇2

x = rcos(𝜃)

𝑥̇= 𝑟̇cos(𝜃) - r𝜃̇sin(𝜃)

𝑥̇2= 𝑟̇2cos2(𝜃) – 2r𝑟̇𝜃̇cos(𝜃)sin(𝜃) + r2𝜃̇2sin2(𝜃)

y=rsin(𝜃)

𝑦̇= 𝑟̇sin(𝜃) + r𝜃̇cos(𝜃)

𝑦̇2= 𝑟̇2sin2(𝜃) + 2r𝑟̇𝜃̇cos(𝜃)sin(𝜃) + r2𝜃̇2cos2(𝜃)

⇔ 𝑣𝑏2= 𝑟̇2 + r2𝜃̇2 (3)

Thế (2), (3) vào (1) ta được :

L= ⌈(1

2J𝜃̇2 ) + (1

2𝐽𝑏 𝑟2̇

𝑅2 + 1

2m( 𝑟̇2 + 𝑟2𝜃̇2))⌉- mgr.sin(𝜃)

⟺ L=1

2𝑟2̇ (𝐽𝑏

𝑅 2+ 𝑚) +1

2𝜃2̇ (𝑚𝑟2+ 𝐽) - mgrsin(θ)

Phương trình vi phân thứ nhất là:

𝑑

𝑑𝑡(𝜕𝐿

𝜕𝑟̇) −𝜕𝐿

𝜕𝑟 = 0

⇔ (𝐽𝑏

𝑅 2+ 𝑚) 𝑟̈ - mrθ̇2 + mgsin(θ) =0 (4)

Phương trình vi phân thứ hai là:

𝑑

𝑑𝑡(𝜕𝐿

𝜕𝜃̇) −𝜕𝐿

𝜕𝜃 = 𝜏

⇔ (𝑚𝑟2+ 𝐽)𝜃̈ + 2mr𝑟̇𝜃̇ + mgrcos(θ)=𝜏 (5)

Từ (4) và (5) suy ra:

{

𝑟̈ = 𝑚𝑟𝜃̇2−𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛(𝜃)

( 𝐽𝑏 𝑅2 +𝑚)

𝜃̈ =𝜏−2mr𝑟̇𝜃̇ + mgrcos(θ)

(𝑚𝑟2+𝐽)

Với:

Jb= 2

5𝑚𝑅2=const (đối với bóng đặc)

Jb=2

3𝑚𝑅2=const (đối với bóng rỗng)

J=1

12𝑚 𝑙2

Giả sử 𝜃 ≈ 0 chúng ta có:

sin(𝜃) ≈ 𝜃, cos (𝜃) ≈ 1, 𝜃̇ = 0

Biến đổi laplace (4) ta được:

(𝐽𝑏

𝑅 2+ 𝑚) 𝑠2𝑟(𝑠) + mg𝜃(𝑠) =0

( 𝑱𝒃 𝑹𝟐 +𝒎)𝒔𝟐 Hàm truyền điện áp cấp cho động cơ:

𝜃(𝑠)

𝑉(𝑠) = 2.749

𝑠2+40.23𝑠

III Thiết kế matlab simuulink cho hệ thống

1 Thông số thiết kế

Khối lượng

(m)

Bán kính (R)

Gia tốc (g)

Độ vọt lố ( POT)

xác lập ( txl)

2 Thiết kế sơ đồ

Đặt C= −𝑚𝑔

( 𝐽𝑏

𝑅2 +𝑚) ⟹ 𝑟(𝑠)

𝜃(𝑠) = 𝐶

𝑠2

Phương trình đặc trưng của hệ thống: 1+ Gi (𝐶

𝑠2)= 0

⟹ 𝑠2

Đồng thời ptđt có dạng: 𝑠2+ 2𝜀𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛2 = 0

Điều kiện: POT<15%

POT= 𝑒

−𝜀𝜋

√1−𝜀2 ⟹ −𝜀𝜋

Chọn 𝜀 = 0.6

txl<4.7

txl = 4

𝜀𝜔 𝑛 ⇒ 𝜔𝑛 > 1.42 chọn 𝜔𝑛 = 1.5

⟹ { 𝑠2+ 1.8𝑠 + 2.25 = 0

𝑠2+ A C s + B C = 0 ⇒ {

𝐴 =1.8

𝐶

𝐵 = 2.25

𝐶

IV KẾT QUẢ

1 Matlab

2 Simulink

3 Đồ thị

Kết luận:

ymax≈ 0.1875

yxl≈ 0.175

⇒ 𝑃𝑂𝑇 = 0.1875−0.175

0.175 100 = 7.14%

txl≈ 4.2s